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※ 引述《fattybb (我愛小肚寶~)》之銘言：
: 1 X-1
: ∫ ----- dx = ???
: 0 lnX
: 拜託各位高手了~~
有兩種作法
1
1. Let F(t) = ∫ (x^t - 1)/lnx dx
0
then it's obvious that F(0) = 0
1
∫(x-1)/lnx dx = F(1) - 0 = F(1) - F(0)
0
1
F(1) - F(0) 可以寫成 ∫(dF/dt) dt = F(1) - F(0)
0
1 1
dF/dt = (d/dt)∫ (x^t - 1)/lnx dx = ∫ (d/dt)((x^t - 1)/lnx) dx
0 0
利用指數微分的公式 f^g --> (f^g) * ( (f'/f)g + (g')ln|f| )
1 x=1
= ∫ x^t dx = (x^(t+1))/(t+1) | = 1/(1+t)
0 x=0
1
代回去, 得到 F(1) - F(0) = ∫ 1/(1+t) dt = ln2
0 #
2. 作法二, 令 u = ln(x) , e^u = x , (e^u)du = dx
1 0
∫ (x-1)/lnx dx = ∫((e^(2u) - e^u)/u )du
0 -∞
將 e^(2u) - e^u 視作是另一個積分, 範圍 [u,2u]
0 2u
= ∫ ∫(e^t)/u dtdu
-∞ u
利用積分順序互換
0 t
= ∫ ∫ (e^t)/u dudt
-∞ t/2
= ln2
#
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僅供參考
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◆ From: 125.232.3.188
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