電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
https://play.google.com/store/books/details?id=Fw_6DwAAQBAJ
有同學問 Calculus 微積分 於其他科有咩 Application 應用
剛拍左 8 條 Application on Physics 物理上的應用
有興趣可以睇睇,希望大家鍾意。
Calculus on Physics 1 物理微積分1︰ https://youtu.be/kg5rMnLdWxs
Calculus on Physics 2 物理微積分2︰ https://youtu.be/RCehnLyCCvY
Calculus on Physics 3 物理微積分3︰ https://youtu.be/bMzgnhJUNmE
Calculus on Physics 4 物理微積分4︰ https://youtu.be/AbO1VjfiaSk
Calculus on Physics 5 物理微積分5︰ https://youtu.be/QSU43vhP7aw
Calculus on Physics 6 物理微積分6︰ https://youtu.be/gbrQUZyrH0g
Calculus on Physics 7 物理微積分7︰ https://youtu.be/FeQHZfZvHAk
Calculus on Physics 8 物理微積分8︰ https://youtu.be/6j9WFvdJBK4
Calculus on Physics 9 物理微積分9︰ https://youtu.be/mGwtlGLf5xg
Calculus on Physics 10 物理微積分10︰ https://youtu.be/B7AHTmfYqlc
Calculus on Physics 11 物理微積分11︰ https://youtu.be/QWBaoB9S3XU
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Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2,
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level,
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated,大家密切留意
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Pure Maths 再現系列 Playlist: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
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向心力公式證明 在 Re: [問題] 繩波波速的推導- 看板Physics 的推薦與評價
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言:
: 大家都知道,繩波的波速 v = √(F/μ)。
: 我查了一些書,這個公式可以用解波動方程式得到,v是相速度。
: 但若以高中程度,我看課本或參考書上,都是用1.因次推導 2.圓週運動
: 我看不懂的是圓週運動這個推導方式。
: 這個方法大致上是這樣:
: 故意取一個和波同樣速度的座標系。這樣繩子看起來就會以相反方向運動。
: (不知道為什麼一定要這樣取)
因為好算
本來在靜止座標中,繩子上的每一點在原處做橫向運動
而繩子的波形不斷變化(一直往前跑)
所以每一點的運動變得很複雜(假如不是周期波的話)
但是這樣一取,變成反過來,波形不動,
那繩子就可以簡單的看成很多質點沿著固定的曲線軌道在跑
: 然後說在某瞬間,繩子高點處,一小段恰作圓週運動(超級無法理解)。
在曲線軌道上運動的質點的向心力就是 m v^2/r
r 是那一點的曲率半徑,方向是曲線的法線方向(指向凹的那一邊)
所謂曲率半徑的意思是說,一個曲線上的一小段的彎區程度
和半徑為r的圓一樣,也就是說,這個曲線的一小段,可以當作是一個圓的一小段
整條曲線就把它當成是很多不同大大小小的圓各取一小段接成的
所以當然任何一點上的運動都可以當作是圓周運東囉
至於為什麼要取最高點是因為最高點的一小段的左右可以當成是對稱的
這樣會比較好算
: 於是就計算此段繩子受的向心力,然後就用圓週運動公式推出v。
: 以上推導可以在Halliday普物波動(1)裡面找到。
: 不知道有沒有人可以解釋這個推導。
: 或是乾脆放棄這個方式(我自己總覺得這個方式很牽強),有別的推導方式。
: 但是要適合高中程度的。
: thanks~
別的推導方式的話...
比較簡單的
可以直接分析一小段繩子的張力,導出波方程式
但是從波方程式看出波速要用到一點點微分方程
不曉得這樣適不適合高中程度
B
╱
/
A
A, B是一小段彎曲的繩子,之間的長度假設是 Δl
設A點處的切線方向和B點處的切線方向與水平的夾角分別是θa θb
A點受力為
水平 - T cos θa
鉛直 - T sin θa
B點受力為
水平 T cos θb
鉛直 T sin θb
這小段繩子受的合力為
水平 T ( cosθb - cosθa)
鉛直 T ( sinθb - sinθa)
因此這段繩子的加速度為
..
y * (μ Δl )= T Δ Sinθ
當Δl 很小時
Δl ~ secθ * Δx
Δsinθ ~ cosθ * Δθ ~ cos^3θ (d^2y/dx^2) Δx
( tanθ = dy/dx => sec^2θ dθ/dx = d^2y/dx^2 )
..
=> μy = T * cos^4 θ d^2y/dx^2
這邊我們必須假定振幅不大時 整條繩子上θ都很小 , cosθ ~ 1
..
=> y = T/μ y'' ( .. 表示對時間微分兩次,''表示對x微分兩次)
這個方程式的通解是
y = f( x ± √T/μ t) , f是任意的函數(也就是這個波的波形)
不會解的話可以直接代回去驗證看看
一般來說看到這個式子我們就知道 這個波的速度為 √(T/μ)
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