時間長度： 0:46 發布時間： 2017年11月18日[PDF] 三角形的四心之向量關係式文中用到一些現行高中教材中的公式及定理, 及解題技巧。 如三角形的重心及內心的向量關係,. ... <看更多>
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先證明(2)
假設AI直線交BC於E點
AE是角平分線 （內心定義）
由內分比 BE:EC=AB:AC=c:b
所以BE=a*c/(b+c) c/(b+c)是BE佔BC的比例
EC=a*b/(b+c)
看三角形ABE BI是角平分線
由內分比 AI:IE=BA:BE=c:[ac/(b+c)] （由上）
=1:[a/(b+c)]=(b+c):a
假設O是任意一點 AIE共線 也知道AI:IE=(b+c):a
由向量共線定理 向量OI=[a/(a+b+c)]向量OA+[(b+c)/(a+b+c)]向量OE -(A)
接下來要把向量OE改一下
BEC共線 BE:EC=c:b
再由向量共線定理 向量OE=[b/(b+c)]向量OB+[c/(b+c)]向量OC -(B)
再把(B)代回(A) 消掉一些東西
就可以得到向量OI=[a/(a+b+c)]向量OA+[b/(a+b+c)]向量OB+[c/(a+b+c)]向量OC -(2)
把(2)的O改成I (因為上面說O是任意點)
得到向量II=[a/(a+b+c)]向量IA+[a/(a+b+c)]向量IB+[c/(a+b+c)]向量IC
=0向量
左右同乘以a+b+c就得到 0向量=a向量IA+b向量IB+c向量IC -(1)
(3)就是把(2)改一下
假設O(0,0) A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)
所以I座標就是[a/(a+b+c)](x1,y1)+[b/(a+b+c)](x2,y2)+[c/(a+b+c)](x3,y3)
就是(3)了
其實知道怎麼導也不會比較好記
會推了以後不妨記成"加權平均" 針對各邊的長度
(2)式中各向量的重要性和長度有關 有點像共線定理所以要除以a+b+c
讓三個分量係數加起來等於1
要記的話記(2)就好了 其他兩個都算是(2)的延伸
另外 如果令(2)的O=A（或O=B或O=C） 也可以得到另外的公式
向量AI=[a/(a+b+c)]向量AA+[b/(a+b+c)]向量AB+[c/(a+b+c)]向量AC
= [b/(a+b+c)]向量AB+[c/(a+b+c)]向量AC
而重心公式就是直接平均 各向量一樣重要
同理 也只要記憶 向量OG=1/3向量OA+1/3向量OB+1/3向量OC就好了
令O=G就可以得到某個公式
再令O為原點 又是另一個座標公式
也可以令O=A 得到另一個式子
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※ 編輯: itsweb 來自: 140.112.252.219 (01/21 13:43)
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