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【這題怎麼算？至少有三種方法，你用哪一種？】
.
上次在講為何需要極限嚴格定義時
我有問過這題
不少同學知道答案是 1
.
但是為什麼？
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學數學時
最重要的事就是問為什麼
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方法 1️⃣
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有些同學講
因為當 x 越靠近 0 時
sin(x) 和 x 比值越靠近
所以極限是 1
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這方法蠻直觀的
但不是直接畫圖看左右極限
因為上圖並非 sin(x) / x 的圖形
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方法 2️⃣
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有些同學則使用羅必達法則
分子分母個別微分，再求極限
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但這方法有點問題
特別是針對初學者
因為在初學極限時
是沒有微分可以使用的
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方法 3️⃣
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那麼初學者要如何得到這題的極限呢？
可以參考我頻道影片
👉 夾擠定理｜觀念講解
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大家是用什麼方法算出這題極限呢？
在下面留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
COVID-19 的兒科急診日記
重要新聞
美國口罩政策大轉彎，由於Delta變異株肆虐，美國CDC 7/27呼籲打完疫苗在疫情熱區室內仍應戴口罩。
美國官員表示，調查發現打完疫苗後染疫個案的體內病毒量，與未打疫苗者相當，仍可能散播病毒。
美國官員強調這是個「艱難決定」，更新口罩指引是反映最新科學證據。
原因為何?
就是擔心--「突破性感染」
我們來看一篇新的論文
新英格蘭醫學雜誌（NEJM）7/28發表一篇來自以色列的重要研究，這篇文章為現實環境中接種後的突破性感染風險提供了參考。
「研究重點先說明」
1. 在完全接種疫苗的醫護工作人員中，突破性感染發生率為0.4%，且大多數人幾乎沒有症狀，也沒有進一步傳播給他人。
2. 以色列的這篇研究，85%突破性感染的病毒分離株為Alpha突變株。
3. 突破性感染者在感染期間的某個時間點具有高病毒載量。
4. 突破性感染與中和抗體水準不高有關。
這項研究在以色列最大規模的Sheba醫療中心進行，研究人員分析了2021年1月20日-4月28日期間醫護工作人員中的突破性感染情況。
2020年12月19日至2021年4月28日，Sheba醫療中心所有12586名醫護人員中，11453人（91%）接種了兩劑BNT疫苗。
突破性感染率低，僅為0.4%。
完全接種疫苗的醫護工作人員中共1497名（13.1%）接受過核酸檢測，其中共發現到39例新冠突破性感染（定義為接受第二劑BNT疫苗 ≥11天後檢測到核酸陽性，且接種後6天內沒有報告明確的暴露或症狀）。
而且，每發現一個突破性病例，就有超過38人接受檢測，總體檢測陽性率為2.6%。研究團隊指出，這一陽性率遠遠低於當時以色列全國人口中的整體陽性率。
如果考慮所有完整接種疫苗的人數，突破性感染率很低，僅為0.4%。
這些突破性感染病例中85%（28/33） 的病毒分離株經檢測為Alpha突變株，在研究期間，Alpha突變株是以色列最普遍的流行毒株。
接種疫苗後感染的症狀輕微、傳染性低。
這39例發生突破性感染者平均年齡為42歲，大多數（64%）是女性。
整體來看，接種後感染的大多症狀並不嚴重。
在所有39例突破性感染中，26例（67%）有輕微症狀，沒有人需要住院治療。
不過，值得注意的是，雖然症狀輕微，但持續時間可能不短。31%感染者在診斷後14天仍有殘留症狀；在診斷後6周後，19%感染者報告仍有長期症狀，包括失去嗅覺、持續咳嗽、疲勞、虛弱、呼吸困難或肌痛。
此外，74%（29例）突破性感染者在感染期間的某個時間點具有高病毒載量（核酸PCR檢測Ct值<30），其中17例（59%）的同步抗原檢測快速診斷測試（Ag-RDT）結果呈陽性。
詳細流行病學調查未發現任何繼發感染，也就是說，這39例突破性感染沒有造成進一步傳播。
突破性感染的可能原因是甚麼?
突破性感染與中和抗體水準不高有關！
結果發現，突破性感染者在感染前中和抗體水準明顯更低（GMT[幾何平均效價] 192.8 vs 533.7），中和抗體效價與未感染者的比值僅為0.361。
在突破性感染者中，感染前的中和抗體效價越高，病毒載量越低（N基因Ct值較高）。
此外，突破性感染者在感染前的S蛋白特異性IgG抗體水準也更低（GMT水準與對照組比值0.514）。
基於這些發現，論文總結指出，罕見的突破性感染與中和抗體水準不高有關，考慮到病例具有傳染潛力，且通常症狀不明顯，可能帶來相應防疫控制的挑戰。
最後，無論如何，接種疫苗仍是防重症或死亡最有效方式，即便是面對Delta變異株，疫苗也能降低病毒在社區間傳播，但是打完兩劑疫苗就一定不會染疫?
答案已經很清楚了！
圖：登山都是一種突破性的挑戰！
本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
若是想買完整課程請到
👉 https://www.changhsumath.cc
【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
【摘要】
本影片統整了大學微積分中常用的檢查一個級數是否收斂的八個方法 (比值審斂法、根值審斂法等)，並列舉了不少習題
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【習題】
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【講義】
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【學習地圖】
EP01：向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02：泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03：級數審斂法統整與習題 👈 目前在這裡
EP04：積分技巧統整 (https://youtu.be/Ioxd9eh6ogE)
EP05：極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06：極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07：常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08：重製中
EP09：反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10：多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
EP11：Laplace 轉換 (https://youtu.be/GZRWgcY5i6Y)
EP12：Fourier 級數與 Fourier 轉換 (https://youtu.be/85q-2nInw7Y)
EP13：換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14：Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 (https://youtu.be/9c-lCLV4F0M)
EP15：極限、微分和積分次序交換的條件 (https://youtu.be/QRkGLK7Iw4c)
EP16：機率密度函數 (上) (https://youtu.be/PR1NSAOP_Z0)
EP17：機率密度函數 (下) (https://youtu.be/tDQ3o8uQ_Ks)
持續更新中...
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本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
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#積分技巧 #解題技巧 #經驗法則
我是JC老師
電腦相關課程授課超過6000小時的一位 Photoshop 課程講師
由於實在太多同學向JC老師反映，希望可以有線上課程學習，所以就決定錄製一系列的 Photoshop 線上影片教學
而且不加密、不設限、不販售，就是純分享，希望可以幫助到有需要的朋友們
如果這部 Photoshop 教學影片對你有幫助的話，請幫我按個讚，給我點鼓勵，也多分享給需要的朋友們喔~
Photoshop 線上教學影片目錄：http://bit.ly/2A9PH3B
Photoshop 線上教學影片範例下載：http://bit.ly/2A9TcHu
JC-Design網站：http://jc-d.net/
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JC-Design LINE ID：@umd7274k
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仿製印章工具
● 可以將影像中的某一部份，繪製到同一個影像中的其他部分之上，也可以繪製到顏色模式相同的任何開啟文件之中。
● 也可以將某個圖層的一部分，繪製到另一個圖層之上。
● 「依製印章」工具很適合用來複製物體或移除影像中的瑕疵。
● 必須先按Alt定義取樣點
● 然後再繪製到其他區域
● 加按Shift可以做垂直、水平
● 選項列
◆ 切換仿製來源面板 ：
◆ 在「仿製來源」面板中，最多可以同時建立五個不同的取樣來源。
◆ 關閉文件之前，這些取樣來源都會儲存在「仿製來源」面板中。
◆ 百分比「W」(寬度) 或「H」(高度)：縮放樣本來源
◆ 旋轉樣本來源：輸入角度值或拖曳圖示 。
◆ 重設變形：將樣本來源重設回原先的大小與方向
◆ 若要在套用繪圖筆畫時隱藏覆蓋，請選取「自動隱藏」。
◆ 若要將覆蓋剪裁到筆刷大小，請使用「已剪裁」選項。
◆ 若要設定覆蓋的不透明度，請在「不透明」文字方塊中輸入百分比值。
◆ 若要設定覆蓋的外觀，請從「仿製來源」面板底部的彈出式選單中，選擇「正常」、「變暗」、「變亮」或「差異化」等混合模式。
◆ 若要反轉覆蓋中的顏色，請選取「反轉」。
◆ 對齊：持續取樣像素，即使放開滑鼠按鍵，也不會失去目前的取樣點。取消選取「對齊」，則可以在每次停止再恢復繪畫作業時，繼續使用最初的取樣點像素。
★ 取樣：從您指定的圖層中取樣資料。
★ 若要從作用中圖層以及其下的可見圖層取樣，
★ 「目前及底下的圖層」； 如果只要從作用中圖層取樣，請選擇「目前圖層」； 若要從所有可見圖層取樣，
★ 「全部圖層」。若要從所有可見圖層取樣 (除調整圖層外)，請選擇「全部圖層」，並按一下「樣本」彈出式選單右側的「忽略調整圖層」圖示。
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***延伸教學連結***
3ds Max 2015 線上教學影片目錄：http://bitly.com/2dUGqn3
AutoCAD 2015 2D 線上教學影片目錄：http://bitly.com/2dUGm6Y
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● 也可以將某個圖層的一部分，繪製到另一個圖層之上。
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◆ 重設變形：將樣本來源重設回原先的大小與方向
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◆ 對齊：持續取樣像素，即使放開滑鼠按鍵，也不會失去目前的取樣點。取消選取「對齊」，則可以在每次停止再恢復繪畫作業時，繼續使用最初的取樣點像素。
★ 取樣：從您指定的圖層中取樣資料。
★ 若要從作用中圖層以及其下的可見圖層取樣，
★ 「目前及底下的圖層」； 如果只要從作用中圖層取樣，請選擇「目前圖層」； 若要從所有可見圖層取樣，
★ 「全部圖層」。若要從所有可見圖層取樣 (除調整圖層外)，請選擇「全部圖層」，並按一下「樣本」彈出式選單右側的「忽略調整圖層」圖示。
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比值定義 在 Re: [請益] 小六數學比值的表示方法- 精華區teaching 的推薦與評價
※ 引述《cyaling ()》之銘言：
: 請問
: 比值寫成分數時 可以用帶分數表示嗎
: 上回請假
: 代課老師來代課時
: 跟小朋友說 比值沒人在寫帶分數的
: 為了批改的方便
: 我都是規定學生
: 只要遇到假分數一律要寫成帶分數~
: 還請大家幫忙告知一下~ >"<
個人意見:
"遇到假分數一律要寫成帶分數"
與
"比值沒人在寫帶分數的"
各有其道理, 也就是: 各有其適用性.
但如果把 "各有適用性" 的規則擴充適用, 而成了表面性
的 "遇到假分數一律要寫成帶分數" 及 "比值沒人在寫帶
分數的", 就只是一種 "套公式" 的思考.
假分數是否要寫成帶分數? 要! 特別是日常生活應用及國
小算術. 其用意是在表現一個 "量". 生活上表現一個量,
假分數有時候也可以, 但通常是帶分數比較方便而有意義.
因此, 小學算術要求 "假分數要化成帶分數" 是合理的,
也是必要的. 但其必要性, 是在於 "要表現量" 這個基本
想法.
以 "表現量" 這想法來看, "比值" 是否要化成,或可化成
帶分數? 如果你的 "比值" 是一個 "量",例如比較兩個人
的平均成績, 我們說: 甲生成績比乙生成績的比值是 1.2
或 "1又1/5",這比說 "6/5" 要好. 因為 1.2 指出了甲生
成績比乙生高 20%, "1又1/5" 指出甲生成績比乙生高1/5,
而 "6/5" 則未明白指出以上事實.
然而, 假分數是否一律要化成帶分數? 比值是否也不例外?
這是兩個問題.
從 "量" 或 "值" 的觀點, 假分數是否一律要化成帶分數?
不! 在中學以上的數學, 在一些應用領域, 我們並不這樣
做. 各位回想進入中學以後, 有多少時候你在數學教本及
自己的練習中看到把假分數化成帶分數的? 我們寫一個多
項式 (3/2)x^2+(4/3)x-(5/4), 這樣的例子你看過把係數
表示成帶分數, 或認為應把它們寫成帶分數嗎?
為甚麼到中學時不常, 甚至幾乎都不把假分數化成帶分數,
只會約分成最簡分數? 因為中學以上的 "數學" 涉及的不
再是生活上的 "量", 而是抽象的 "數". 個人的意見是小
學以下涉及的數字是 "量", 中學以上是 "數", 因此我一
直堅持老舊的稱呼: 小學 "算術", 中學以上是 "數學".
就 "數" 的觀點, 帶分數反而是複雜的,"1又1/5" 代表的
是 "1 + 1/5", 是一個式子; "6/5" 則是有理數的標準形
式 (高中數學: 有理數的定義).
回到比值的問題. "比值沒人在寫帶分數的"? 如果就 "比"
而言, 把它寫成帶分數是很奇怪的.
"一個矩形的長寬比是 1 又 1/5"
與
"一個矩形的長寬比是 6 比 5"
哪個較清楚展示了 "比" 的概念? 以 6/5 表示比值,呈現
的是 "兩數或兩個量的比" 的概念, 而小數或帶分數表現
的是兩者比較以後的 "結果" 或結論. 長寬比的比值寫為
"1 又 1/5" 說的是 "長比寬相對而言大了 1/5 的比例",
而 "6/5" 說的是 "長與寬相比等同(值)於 6 與 5 相比".
總之, 每一個 "定理", "公式" 或 "規則" 都有其適用範
圍. "一律如何如何" 的想法有意無意地忽略了這個範圍,
個人不贊同.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.15.188.87
關於結語之前那一段舉例兩種說法用 "比" 而不是 "比值",
無可避免會有 "不當" 或 "錯誤" 之議. 當然, 用 "比值"
是比較不會有爭議的. 不過,"比" 與 "比值" 之區分的強
調, 是我們的教材使然? 或是非如此區分不可? 觀察實際
生活的用法, 究竟教材中強調的有沒有那麼重要, 這是我
原文討論主題之外的問題. 不管對錯, 我仍決定保留原來
陳述.
※ 編輯: yhliu 來自: 163.15.188.87 (12/31 16:35)
... <看更多>