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球座標拉普拉斯 在 Re: [理工] [工數]-ODE為何又稱作Laplace？ - 看板Grad-ProbAsk 的推薦與評價
※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1C6p7qCG ]
: 作者: andy2007 (...) 看板: Math
: 標題: [其他] ODE為何又稱作Laplace？
: 時間: Fri Jun 18 16:44:34 2010
: 就如標題一樣，這是學姊當時口試的題目
: 教授問說：為何ODE又可以稱作Laplace？(學姊說她當時聽到是這樣問的)
: 這個題目如果是各位前輩會怎麼回答呢？
: 程度很差，請各位前輩們指教，謝謝各位前輩 <(_ _)>
我們在處理工程或物理問題的時候,會遇到的問題
對於像是保守場的位能函數或是穩態熱傳下的溫度分布
均滿足Laplace方程式 ▽^2(U)=0 u=u(x,y,z)
也就是 d^u/dx^2 + d^u/dy^2 + d^2u/dz^2 = 0 (應該是偏微分,但顯示不出)
要處理這個問題,採用球座標較為方便
因此,u在球座標下具有以下的形式 u=u(r,θ,Φ)
▽^2(U)= .....https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation
太難打了,參考上面連結的 In spherical coordinates
對於此物理問題,只要搭配邊界條件,可將u(r,θ,Φ)進行變數分離
令u(r,θ,Φ)=R(r)T(θ)F(Φ) 帶入Laplace方程式
並且整行方程式同除以(R*T*F*sinθ) 可得以下
r^2(R``/R)+2r(R`/R) = -[(T``/T)+cos/sin*(T`/T)+1/sin^2*(F``/F)]
``為二次微分 `為一次微分
上式等號兩邊自變數無關,若等號成立,必然兩側均為常數
因此令等號兩側均等於-λ(此即為特徵植)
(T``/T)+cos/sin*(T`/T)+1/sin^2*(F``/F) = λ
此式在同乘sinθ 可得 sin^2(T``/T)+sin*cos*(T`/T)+λsin^2 = -(F``/F)
上式等號兩側自變數又無關,再令等號兩側均等於K(出現第二個特徵植)
所以這樣不就得到三個方程式!!
r^2(R``)+2rR`-λR = 0
F``+ KF = 0
sin^2(T``)+sinθcosθ(T`)+(λsin^2-K)T = 0
這三個方程式都是常微分方程式 O.D.E
事實上,會有微分方程式也是因為在解這些Laplace時產生出來的
所以可以說明你的口試題目!!
以上是我的想法
希望你能了解微分方程式的由來.
也希望你看得懂.
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