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※ [本文轉錄自 wildmonkey 信箱]
作者: [email protected]
標題: [轉貼]純律與十二平均律
時間: Sun Jun 6 21:28:21 1999
發信人: NWS@cis_nctu ( ), 信區: 'Club-Orchestra'
標 題: [轉貼]純率與十二平均率
發信站: 交大資科_BBS (Sat Jun 5 21:36:36 1999)
來 源: NWS.Dorm13.NCTU.edu.tw
作者 KevinLan (Posaunenblaeser) 看板 NTUWindBand
標題 好吧... 欠了一陣子了...
時間 Tue Apr 28 02:25:43 1998
───────────────────────────────────────
上次說要解釋純率計算的問題...
結果好像欠了一陣子了...
趁現在版面有點乾就補上來吧...
ok...
就從古文明開始講起好了...
**
還記得國中數學的畢氏定理吧?
現在要提的就是那個傳說中以畢達哥拉斯為首的學派.
他們曾經研究振動的弦,
發現音樂的音程乃是受到整數比的支配.
彈撥一根緊張的弦, 使它發出一個音以後,
我們可依簡單的整數比值,
改變弦的長度, 而得到不同音程的音高.
如: 若全長發出的音高為 C , 則以一半的弦長發聲可得高八度的 C',
以 2/3 弦長可發出 G , 以 3/4 弦長可發出 F ,
以 4/5 弦長可發出 E , 以 8/9 弦長可發出 D , etc...
( 理由後面會解釋 )
( 他們會做這樣的研究, 除了實際的經驗以外, 也是有其背景的.
因為他們抱持著數的神祕主義, 認為 "every thing is number",
而甚至賦予各種數字不同的哲學意味. )
自此之後,
詳細的發展源流或許不可考證,
但最後人們得到的一個結論是:
完美音程的構成仰賴於簡單的整數比例.
若以簡單的整數比例來定音律,
則音樂的和聲是美好而悅耳的.
關於這點我們也可以有較為積極的解釋:
若是兩個聲波之間有簡單的整數倍比例, 如二比三,
則以六個單位的時間觀之, 亦可得一週期函數.
再者, 兩者相疊產生之干涉波 (聽起來就是所謂的啪音吧)
亦與原來的頻率成整數比.
詳細寫的話,
我們引入兩個物理上與數學上的知識:
1. 連續函數可以寫成三角函數的級數和
2. 所有聲波都是週期函數.
則聲波的疊合可以被簡化成下面這個例子:
cos(k1x-w1t)+cos(k2x+w2t)
= 2 cos[1/2*(k1+k2)x-1/2*(w1+w2)t] cos[1/2*(k1-k2)x-1/2*(w1-w2)t]
由此可知,
兩聲波干涉所產生的波動頻率為原本兩者之平均,
而振幅以兩者頻率差的一半變化.
( 所以啪音聽起來都嗡嗡嗡的... 嗡的越慢表示頻率差越小. )
若是比例很簡單,
則和聲的效果就會比較和諧 -
因為整個和聲的感覺很單純,
不會有太多奇奇怪怪頻率的干涉波在裡面.
以上是我們試圖以物理與數學的角度解釋何以整數頻率比的和聲較為美好.
( 也許最後問題會歸於 "到底人腦子裡面是怎麼聽聲音的?".
可是這個問題恐怕太難了些, 我是完全不知道答案的,
所以就請各位自由心證吧. )
再回到音律的問題來.
以整數比來定音律的結果,
在十二平均律誕生之前,
音樂家們採用的純律之頻率比例如下:
( 在同一調性之中 )
Do : Re : Mi : Fa : So : La : Si : Do
= 1 : 9/8 : 5/4 : 4/3 : 3/2 : 5/3 : 15/8 : 2
而值得注意的是, 一個八度的頻率差為兩倍.
這樣的訂定是很自然的,
因為 1:2 是兩個不同音之間能有的最簡單關係了.
仔細觀察的話,
上面這一列之中所使用到的比例大多為分母很小的分數.
( 考慮通分後的分母為最小再配合一點其他的條件的話,
這列數字幾乎可以被唯一確定. 各位不妨自己驗證. )
而相鄰之音與音的比例:
Do : Re = 1 : 9/8
Re : Mi = 1 : 10/9
Mi : Fa = 1 : 16/15
Fa : So = 1 : 9/8
So : La = 1 : 10/9
La : Si = 1 : 9/8
Si : Do = 1 : 16/15
不出 9/8, 10/9, 16/15 三者.
不難發現, 此音律中諸比例之決定其實並非刻意,
而是在一些簡單的比例的組合如 3/2, 4/3, 5/4 的組合之下所能自然的得出的.
如: (3/2)/(4/3) = 9/8
(4/3)*(5/4) = 5/3
(5/3)/(3/2) = 10/9
(4/3)/(5/4) = 16/15
因此在遠古文明的弦樂器上,
此音階的產生即十分的自然.
只要看著弦長度大約某個分數長的位置按著然後演奏,
就可以自然的產生所想要的音程,
而一些簡單而容易奏出的音程自然漸漸的演變成音階的形式.
而即使在今日,
弦樂器上最自然的調性仍是以此律產生.
然而在此音律之下音樂並無法自然的移調.
舉例如下:
若 Do 的頻率為 1 個單位,
則 Fa 的頻率為 4/3 個單位;
若移調至以 Fa 為主音, 考慮此調下的 "La" ,
則頻率為 (4/3)*(5/3)=20/9 個單位.
也許你會說: 從 Fa 開始算的第六個音, 那就是高八度的 Re 嘛.
可是高八度的 Re 頻率應該是 2*(9/8)=9/4 個單位,
而 20/9=2*(10/9) 在原本的音階中找不到.
因此為了使移調能順利的完成,
一個完整的音律系統必須再囊括入所有移調產生的不同頻率.
有興趣的人可以檢查一下:
一次移到屬音的移調要多引入三個頻率,
而反覆進行此步驟十一次, 可得共需引入 11*3 = 33 個頻率.
而加上原本音階中的 7 個,
也就是一個完整的八度之間被引用的頻率有 7+33=40 個之多.
此移調的困難同時困擾著東西方的音樂家.
( 以下這段中國的律制, 恰好手邊有資料, 所以寫的詳細了一點.
沒興趣的可以自行跳過 )
在古代的中國, 最重要的音律制度為律呂.
律呂有十二個音, 六陰六陽, 陽為律, 陰為呂, 故稱律呂,
所以稱為律呂, 這十二個律管是所有中國音階的基本.
用不同的管長來規定各音的音高.
最長的管名黃鐘, 長九寸, 用三分損益法生其餘各管,
即, 第二管比第一管短三分之一 (六寸), 第三管比第二管長三分之一 (八寸),
如此損、益、損、益直至第十三管.
若是如此造出的第十三管恰好是第一管的二分之一,
造出黃鐘的八度音, 半黃鐘來, 那是非常理想的一件事.
不幸不是如此.
( 中國人只重實際卻不懂無理數的道理就得吃這種悶虧. |Q
往下看還有更白癡的. )
( 從某種角度來說中國從來沒有真正的科學. |QQ )
其餘管長按長短排好, 各音程也不等長.
因此, 各管不可能都拿來做音階的主管.
雖然多少世紀以來,
中國的音樂理論家都絞盡腦汁的想達到這個 "旋相為宮" 的最終目標.
但三生損益法的第十三管既然比半黃鐘稍高一些,
於是漢朝京房繼續三生損益法到六十律.
六朝宋錢樂之覺得京房所以繼續追尋的緣故, 是因為第十三管不是半黃鐘,
不能指鹿為馬. 現在弄到十八管離半黃鐘近了一些, 鹿變成驢了,
但仍不能指驢為馬. 於是又繼續三生損益的一直到三百六十律.
離真正的半黃鐘近多了, 驢也長得像騾子了, 但還是不能指騾為馬...
從十二律算到六十律, 再算到三百六十律, 始終得不到二分之一的管長.
從現在數學的角度來看, ( 唉... 別說現在, 幾千年前的希臘人也知道啊... )
我們很清楚用三分損益的方法永遠得不到二分支一管長的八度音.
一直到 1596 AD 的時候, 明世子朱載堉才解決了這個謎, 發明了十二平均律,
將八度等分成十二個相等的音程. 這就是歐洲的十二平均律.
中國的發明者比歐洲的發明者 Marsenne 早了四十多年,
但是個人以為這實在沒什麼好阿Ｑ的.....
ok,
講了半天,
到底什麼是十二平均律呢?
十二平均律就是把一個八度分成十二等分,
每一等分之間相差一個相等的比例.
由中學的數學我們知道這樣就是一個等比級數,
首項 1 , 第十三項為 2 , 故比例為 2^(1/12),
即二的十二次根.
如此一來,
則不論以哪個音為主,
其他音的角色都是相同的,
都是 1:2^(1/12) 一直疊上去.
至此轉調的問題得以解決,
如鋼琴之類的鍵盤樂器也得以問世.
因為: 原本一個八度中間要塞四十個頻率, 根本難以做成容易操作的樂器,
現在只要十二個就夠了.
不過,
從定義可以看的出來,
這些指數次方的頻率比似乎跟我們一開始的經驗不太合...
不是說音律要定成整數比和聲才會完美嗎?
可是二的非整數有理數次方是不可能為有理數的, ( 比如說根號二 )
那又怎麼談 "整數比" 呢?
所以我們來看看這個十二平均律跟純律差多少.
首先, 八度音是十二平均律的基礎,
所以兩種律制下的八度音都是一樣的.
再來看看純律的完全五度 3/2 = 1.5 ,
用十二半音來算這是從 Do 出發之後所遇到的第 7 個半音,
而 2^(7/12) = 1.4983071...
各位注意到了嗎?
後者其實很接近 3/2 , 以至於只有很小的差距,
然而平均律的五度還是比純律的完全五度低了一點.
而在十二平均律下和聲依賴的就是這種不是那麼完美的比例做近似.
類似的作法,
我們可以得到底下的對應關係:
Re: 9/8 = 1.125 <-> 2^(2/12) = 1.1224620...
Mi: 10/9 = 1.25 <-> 2^(4/12) = 1.2599210...
Fa: 4/3 = 1.33.. <-> 2^(5/12) = 1.3348398...
So: 3/2 = 1.5 <-> 2^(7/12) = 1.4983071...
La: 5/3 = 1.66.. <-> 2^(9/12) = 1.6817928...
Si: 15/8 = 1.875 <-> 2^(11/12) = 1.8877486...
注意到了嗎?
有些音其實兩種律制差的可不少喔.
這是直接以頻率來看,
但相對的誤差在這麼多小數位數下畢竟很難直接看出來.
如果希望有個像調音器一樣可以算出相差的百分比的方法,
可以用以下的式子:
e = log(r)/log(2)*12 ( 以 2^(1/12) 為底取對數 )
其中 r 就是這個音在純律之中的比例.
比如說以 r = 3/2 代入,
則:
e = log(3/2)/log(2)*12
= 7.0195500..
~ 7 + 1.96%
由此我們可以知道完全五度的頻率(3/2)在十二平均律下是相差 7 個半音
再多約百分之二.
若是我們已經有一個準確的 Do 當基準音,
則為了求得完全五度的 So ,
我們可以先奏出十二平均下準確的 So , 再微微升高約百分之二.
底下把一些有用處的比例計算如下: (依分母分子大小排列)
3/2 -> 7.01955 ~> So + 1.96%
4/3 -> 4.98045 ~> Fa - 1.96%
5/4 -> 3.86314 ~> Mi - 13.69%
7/4 -> 9.68826 ~> bLa - 31.18% (很低, 可是出現在銅管樂器的泛音列中)
6/5 -> 3.15641 ~> bMi + 15.64%
7/5 -> 5.82512 ~> #Fa - 17.49%
8/5 -> 8.13686 ~> #So + 13.68%
9/5 -> 10.17596 ~> bSi + 17.60%
9/8 -> 2.03910 ~> Re + 3.91%
15/8 -> 10.88269 ~> Si - 11.73%
16/15 -> 1.11731 ~> #Do + 11.73%
45/32 -> 5.90224 ~> #Fa - 9.77%
表中所列的比例在演奏和聲的時候都是可以參考的修正指標.
甚至是其中低的很誇張的那個 7/4 , 在演奏屬七和絃的時候也會用到.
以上是有關律制的部份.
接下來則是有關如何應用在樂器的演奏.
管樂器的發生原理,
是利用簧片或者嘴唇的振動,
產生樂器內空氣柱的振動,
然後經共鳴產生樂音.
在同一管長的樂器內,
所有能共鳴的波長為此管長的整數分之一倍.
若為開管原理發音之樂器則為 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
若為閉管原理發音之樂器則為 1, 1/3, 1/5, 1/7, ...
( 以上開管與閉管之差異詳見高中物理課本 )
( 管樂團中以閉管原理發聲的樂器只有豎笛 )
以前者而言,
每隻樂器的管長振動的音,
我們稱之為基音,
而往上以 1/2 管長振動的我們稱為第一泛音,
以 1/3 管長振動的為第二泛音, 依此類推.
而相對應的頻率則以 2 倍、3 倍、... 增加.
( 由此可以看出管樂器上有自然的純律音律可尋 )
以銅管樂器而言,
在完全不按鍵也不拉滑管的情況下,
所能演奏的音高彼此之間即約以 1:2:3:4:... 之比例增加.
不過樂器在設計時或許有經過製造者的調整, 可以改變某些泛音層的音高,
這需要由演奏者自行嘗試與檢查.
而以銅管的按鍵樂器而言,
通常第二鍵會降低約半音的音高,
第一鍵降全音, 第三鍵則降約三個半音, 但很少單獨使用.
然而此種以增加管長來改變音高的設計,
由於音程的距離是以比例來計算,
如果降半音與降全音的第二第一鍵是準的,
兩者同按就會不準. 同樣的情形也發生在其他的組合上.
因此以銅管演奏者而言, 不準的情形實在很多也很複雜.
要演奏出準確的音高, 每個音都應該與以嘗試並找出準確的修正方式.
但由於每把樂器的結構都不見得是完美的,
所以實際上可能會高會低還得經由經驗來確認,
在這裡就只告訴各位有這種現象,
往後該怎麼做就看個人啦.
ok, 現在假定大家都知道怎麼把音調成跟調音器一樣準確了.
那我們如何判定在演奏和絃之時該如何調整自己的音高呢?
此時可以照演奏的調性與和絃,
找出自己在和絃中的比例,
再予以修正.
舉例而言:
大三合弦 Do:Mi:So 的比例為 4:5:6 ,
故若以演奏 Do 的人為準,
演奏 Mi 的人所該吹奏的頻率為 5/4 倍,
經剛才的計算得到應該低 13.69% ,
而這就是完美的大三和絃所需要的音準.
舉更誇張的例子的話,
屬七和絃的 4:5:6:7,
演奏 7 的人得吹的很低, 低 31.18% ,
才能得出完美的和絃.
當然, 你可以說,
算這麼多幹嘛?
( 其實用電腦算, 一轉眼就是一個 table, 也不用花什麼力氣... )
為什麼不用耳朵就好?
事實上, 這樣說是對的,
音樂畢竟是聽覺的藝術.
耳朵聽起來好聽才是唯一的重點.
什麼畢達哥拉斯學派的什麼整數比例假設都不如耳朵聽來的直接.
然而除了人類天生聽覺的天賦,
我想偶爾附加一點樂理的知識也是好的.
而且,
我相信這種涉及學理上的計算的東西,
以大學生來理解應該是很容易的事情,
至少絕對可以比從小學音樂的人還理解的透徹.
與其聽學音樂的人知其然而不之所以然的告訴你結果, (簡稱"唬爛")
還不如以自己所具有的知識與能力來追根究底.
當然, 最後還是得強調一點:
如果你覺得這樣的原理對你而言一點都不親切,
那就別管它.
知其然而不之所以然畢竟不是我們的目的.
如果覺得不想理解這種東西,
那就把它丟在一旁, 相信自己的耳朵吧.
不過, 如果你說:
吹樂器的時候哪能想那麼多, 哪有辦法這麼仔細?
那我只能告訴你:
不管是依靠耳朵或者經驗或者知識, 確實是需要想這麼多.
能做到多少是一回事, 可是真正專業的演奏者是不會忽略這種細節的.
最後聲明一下,
以上內容多半都是沒有查資料的平日心得,
以音樂學的角度也許不怎麼入流,
甚至還錯誤百出, 我想也是難免.
寫這篇的目的主要也只是希望多少讓團裡沒看過的人看一下有這樣的東西.
若是有寫錯的地方還希望各位不吝指證.
畢竟我個人寫錯事小, 誤導了別人可是事大.
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