【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別?」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先,絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結:https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片:https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了,忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學,其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢?
我這邊簡單條列幾個
例如:
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1)).(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先,高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數:指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊,不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片:https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容:
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧?
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢?
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎?
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍?
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習,累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力,也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力,在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片:https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦,講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完!」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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同時也有49部Youtube影片,追蹤數超過73萬的網紅予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」,也在其Youtube影片中提到,別解などが浮かんだ人はぜひコメント欄へ! みんなで積分を楽しもう٩( 'ω' )و!! 『今週の積分』シリーズは毎週月曜日7時半にアップしています。 「ひたすら積分したい受験生」「すっかり鈍ってしまった大学生」「一週間を数学から始めたい社会人」におススメです。 早起きのリズムを作るのにも適してい...
e -y 積分 在 Flying with Justin 酒店/航空常客攻略 Facebook 的精選貼文
拿JAL Diamond 去Match 國泰(失敗)
話說因為上年忘記註冊Double FOP活動(自選一個月額外100%定級積分獲取比率保級),加上JAL同一活動自2020起改為只額外得50%,保級無望,乾脆把各大航司都發Email嘗試一下Status Match/Challenge
國泰Email回覆,除了日航會員卡證明外,也要求一個國泰或港龍的訂位(高Fare Class: F, A, J, C, D, I, W, R, E, Y , B , H , K , M , L , V)隨手訂了一個香港-紐約頭等艙來回,也是我輩子訂過最貴的機票 - 25萬多港幣 (大家冷靜,是有Free cancellation的)
國泰竟回覆我飛完第一段去程(HKG-JFK,140 TP)便幫我升等到銀卡。。。就。這。樣。
默默地趕快把機票取消了。。。
#還去Match星宇了還沒回覆 #當然還有去MatchANA也還沒回覆 #還有哪一家有高人指點嗎 #還好有JGC起碼有藍寶
e -y 積分 在 財經旅遊達人法比安 Facebook 的精選貼文
半小時要破千,感謝大家
<3 <3 <3 <3 <3 <3
記得設定搶先看 才不會錯過消息
#活動保留更改或最終解釋權
我那時候一直猶豫要送機票折價券
還是要送升等券
既然大家直撥要升等券那就升等券唄
基本上升等後,你可以累積的積分跟里程
都是升等後的里程跟積分!超佛
#老規矩稅費以及提名費自負
不過這跟升等價值比起來都九牛一毛
如果你拿來升等台港經濟到豪華經濟
我真的會氣死。
有關升等券規範範例如下:
得獎後一日內要開立一個月內要用掉,申領必須在您的航班出發日期前最少3天於網上提出。
適用於國泰航空及國泰港龍航空營銷及營運之任何飛行距離的航班。
計劃申領艙位提升預訂券前,請先確認訂位並簽發認可「子艙位」的機票:經濟客艙「子艙位」Y、B、H、K、M、L及V ,特選經濟客艙「子艙位」W 及 R ,或商務客艙「子艙位」J、C、D 及 I 。
經濟客艙「子艙位」Y、B、H、K 、M、L及 V 將提升至特選經濟客艙「子艙位」E。若航班未有提供特選經濟客艙,有關機票將提升至商務客艙「子艙位」I,視乎機位供應情況。
特選經濟客艙「子艙位」W 及 R 將提升至商務客艙「子艙位」I,視乎機位供應情況。
商務客艙「子艙位」J、C、D 及 I 將提升至頭等客艙「子艙位」A,視乎機位供應情況。
可供預訂的艙位提升不可與「亞洲萬里通」客位提升獎勵及同行貴賓獎勵同時使用。
可供預訂的艙位提升不設候補機制。
可供預訂的艙位提升須繳付適用稅項及其他附加費。
可供預訂的艙位提升按指定會籍級別而作安排,並不適用於處於會籍假期的會員。
有關申領、更改及取消必須於航班出發日期前 3 至 360 天於網上提出。
取消可供預訂的艙位提升亦將取消已確認機票訂位。
不可就相同航段要求超過一次可供預訂的艙位提升。
任何重新訂位或更改日期將受原有級別機票的條款及細則規範。
艙位提升不適用於兌換機票、免費贈送機票、團體機票、旅遊同業/旅行社折扣優惠機票或其他免費機票。
艙位提升不適用於國泰假期套票。
網上預辦登機服務及於機場辦理登機手續均適用於已提升級別的航班。
若出現任何航班異常情況,會員可聯絡馬可孛羅會會員服務中心尋求進一步協助。
國泰航空保留權利闡釋有關條款及細則。
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