杜氏數學 官方網站: http://www.HermanToMath.com
賭Sir 幫你急救 DSE 數學: https://HermanToMath.skx.io
----------
?️賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人
?全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M2】、【IAL 12科Maths】、【AL Pure+Applied】、【CE Maths+A.Maths】的數學導師
?全港第一最多訂閱粉絲的數學教育YouTuber
?YouTube觀看次數超越700萬、訂閱粉絲超過50000人
?著作:《YouTuber新手到網紅》、《5**數學男人嫁得過》、《碌葛男人嫁得過》、《賭波男人嫁得過》(獲Google嚴選2018年度50大最佳書籍)
----------
賭Sir收集著數派街坊:
❤️YouTuber Go網絡課程 全港最平+獨家 報讀優惠:
?報讀初班 $600 (原價$800):https://www.youtubergo.com/payment/b-hermantomath-0600.html
?報讀初班+中班 $1500 (原價$1800):https://www.youtubergo.com/payment/bm-hermantomath-1500.html
官方網頁:https://www.youtubergo.com/
❤️無限操數王(epractice) 全港最平+獨家 優惠(可同時使用):
?50%OFF 半價優惠碼:MC83-AI93-NFW0-331E
?25%OFF 額外邀請碼:J7N9-RDRP-NFAH-OH13
官方網頁:https://www.dsemth.com/
❤️Tidebit全港最穩妥的比特幣(Bitcoin)交易所:http://bit.ly/2LIWA4J
❤️Uber免費送你$25優惠:https://www.uber.com/invite/2utyzr
----------
杜氏數學 官方網站 http://www.hermantomath.com
----------
相關影片:
《【緣份數學】同一天生日,易過擲公字?Birthday Paradox 生日悖論【上集】》
https://www.youtube.com/watch?v=7i-LbdlVtzw
《The Birthday Paradox》
https://www.youtube.com/watch?v=ofTb57aZHZs
《Is the Birthday Paradox a Paradox?》
https://www.youtube.com/watch?v=-SQq0vfzrrg
----------
大家位咁多好,我係賭Sir。
澳洲人類學家維度卡同基維爾合著嘅著名學術論文《人類直覺與機率計算》之中提及過:
「人類嘅直覺,絕不擅長估算機率。」
唔知大家身邊有冇一啲閒時會過吓大海、賭兩手嘅朋友?我就有啦。隔籬屋陳仔時不時上完啲賭船,返嚟就同我講,有個咩咩盤口,好鬼抵賭,個莊家啲樣仲蠢過香港啲官。有次我好奇真係問佢張賭枱賭乜,叫佢講我知個規則,然後我返歸計一次利潤嘅期望值,一如所料,陳仔先係蠢過高官嗰個。
人類嘅直覺,喺進化嘅過程中,有啲情況都算好準,但有啲情況之下,可以係非常之差,唔用數學嘅話,根本完全想像唔到個真相係點,甚至睇到個真相之後,反而會懷疑個真相係咪真係架?
依家錄影廠裏面,有23個人,若然我同你對賭一千蚊,若然呢度23個人當中,至少有兩個人同月同日生日,你就輸一千蚊畀我,無嘅話,我就輸一千蚊畀你。你制唔制?
十個有九個都會仆到嚟同我賭,話曬都一年365日咁多,個廠得23個人咁少,同月同日嘅可能性肯定唔高,起碼唔會五十五十、一半半機會先啦,同我對賭嘅話,實可以佔我便宜。
但原來事實剛好相反,原來係我佔你便宜,用中學嘅數學已經可以計到你知,喺23個人裏面,有人同月同日生日嘅機率,其實足足有50.7%,超過一半!強調多次,竟然係我佔緊你便宜。
若然個廠再多啲人,有41個人嘅話,如果你仲同我賭嘅話,有人同月同日出世嘅機率,其實已經超過90%!一年365日之多,個廠得40個人之少,你嘅贏面竟然係個位數字,非常違背人類嘅直覺,原來睇落咁有緣份嘅事情,發生嘅機率咁鬼高。當然,若然你要溝女就唔好咁講啦!
呢一個就係機率學嘅經典例子之一,叫做生日悖論(Birthday Paradox)。
再舉一個設身啲嘅例子,隔籬屋陳仔有時都賭波,佢成日投注作客嘅球隊,因為作客球隊通常都賠率高啲,但明明踢嘅都係嗰班人,只係轉咗另一個球場啫,個球場大細又有規定嘅,無咩大分別嘅。
但原來統計數字可以睇到,以英超為例,綜觀近幾十年嘅賽事,主隊贏嘅賽事佔46%,但作客贏嘅賽事只係得27%,所謂嘅主場之利,原來係真有其事。
所以咩叫抵賭呢?究竟係值得「賭錢落去」抑或係值得「倒錢落海」呢?唔計過條數,打死你都唔好信啊!
益者三友like share comment再見!
----------
# 賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人
# 全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M2】、【AL Pure+Applied】、【CE Maths+A.Maths】和【IAL 12科Maths】的數學補習導師
# YouTube Channel超過500萬Hit Rate、超過40000 Subscribers
# 全港第一訂閱粉絲最多的數學教育YouTuber
# 全港唯一數學補習YouTuber獲YouTube官方邀請出席首屆FanFest Creator Camp
# 全港唯一於2017年以手機App開Live授課 時薪過萬 的數學補習導師
# 暢銷書《賭波男人嫁得過》&《碌葛男人嫁得過》作者賭Sir
# 前者更獲Google嚴選2018年度50大最佳書籍之一
# 我們一起加油吧 !
----------
真‧完美戰績:
新制中六DSE: (2016 M2 + 2017 M1)
?數學必修 (Mathematics) 一take過 奪5**
?數學延伸M1 (Calculus and Statistics) 一take過 奪5**
?數學延伸M2 (Algebra and Calculus) 一take過 奪5**
舊制中七高考: (2011)
?純粹數學 (Pure Mathematics) 一take過 奪A
?應用數學 (Applied Mathematics) 一take過 奪A
舊制中五會考: (2009)
?數學 (Mathematics) 一take過 奪A
?附加數學 (Additional Mathematics) 一take過 奪A
國際高考International Advanced Level: (2017 + 2018)
?Core Math 1 2 一take過 奪A
?Core Math 3 4 一take過 奪A
?Further Pure Math 1 一take過 奪A
?Further Pure Math 2 一take過 奪A
?Further Pure Math 3 一take過 奪A
?Mechanics 1 一take過 奪A
?Mechanics 2 一take過 奪A
?Mechanics 3 一take過 奪A
?Statistics 1 一take過 奪A
?Statistics 2 一take過 奪A
?Statistics 3 一take過 奪A
?Decision Math 1 一take過 奪A
----------
精選系列節錄:
《DSE數學 發憤學生必看!》系列
https://www.youtube.com/watch?v=1mVTSqpY-9Q&list=PL_CM4U5au2k1xNBwQFtwjDGYHKvI6LkEe&index=5
《攞分唔使識得計 奇技淫巧》系列 (以 DSE Maths PaperII 為骨幹的免費課程)
https://www.youtube.com/watch?v=u9lM-7a4ivQ&list=PL_CM4U5au2k1xdQroee0QXyNUJ3n5QE6L&index=1
《名校試題》系列
https://www.youtube.com/watch?v=UY8pxw-OC4E&index=1&list=PL_CM4U5au2k1n86kvgdkPBDqchYdsciCs
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
ial dse分別 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的最佳解答
杜氏數學 官方網站: http://www.HermanToMath.com
賭Sir 幫你急救 DSE 數學: https://HermanToMath.skx.io
----------
?️賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人
?全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M2】、【IAL 12科Maths】、【AL Pure+Applied】、【CE Maths+A.Maths】的數學導師
?全港第一最多訂閱粉絲的數學教育YouTuber
?YouTube觀看次數超越700萬、訂閱粉絲超過50000人
?著作:《YouTuber新手到網紅》、《5**數學男人嫁得過》、《碌葛男人嫁得過》、《賭波男人嫁得過》(獲Google嚴選2018年度50大最佳書籍)
----------
賭Sir收集著數派街坊:
❤️YouTuber Go網絡課程 全港最平+獨家 報讀優惠:
?報讀初班 $600 (原價$800):https://www.youtubergo.com/payment/b-hermantomath-0600.html
?報讀初班+中班 $1500 (原價$1800):https://www.youtubergo.com/payment/bm-hermantomath-1500.html
官方網頁:https://www.youtubergo.com/
❤️無限操數王(epractice) 全港最平+獨家 優惠(可同時使用):
?50%OFF 半價優惠碼:MC83-AI93-NFW0-331E
?25%OFF 額外邀請碼:J7N9-RDRP-NFAH-OH13
官方網頁:https://www.dsemth.com/
❤️Tidebit全港最穩妥的比特幣(Bitcoin)交易所:http://bit.ly/2LIWA4J
❤️Uber免費送你$25優惠:https://www.uber.com/invite/2utyzr
----------
杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
----------
Title:
懂得加減乘除的人就是賭場機率專家?
----------
Subtitle:
為何機率咁簡單,卻需要電腦運算?
----------
Script:
上回提到,要預測長賭命運,就要計算EV;要計算EV,就要計算機率;要計算機率,就只需要數數目。
這當然只是故事的一部份而已,有些情況不是數數目就能了事,例如投注六合彩要麼中頭獎,要麼沒有中頭獎,只得兩個可能性,但我們不能因而聲稱中頭獎的機率為二份之一。這個例子與「擲毫要麼公,要麼字,因而機率各佔二份之一」的不同之處,在於擲毫的結果,一般我們會相信是均等,所以才可以使用「切蛋糕」法則。
賭場遊戲也有不少類似情況,例如骰寶(Sic Bo),俗稱買大細,每一局的結果,都可以分成「大」、「小」和「圍骰」三款。很明顯,一般人都會相信大和小的機率均等,但圍骰的機率卻相對低,因此,我們不會採用「切蛋糕」法則,聲稱這三款的結局各佔機率三份之一。
由此,我們需要更利害的方法——「強化版」樹狀圖。
強化版樹狀圖,將事件發生機率標記在分枝上,變相濃縮了沒差的資訊。以上方的樹狀圖為例,把擲不到1點的情況濃縮成一個情況,佔六份之五的機率,這有利計算擲出「圍一」的機率:
每一條路線,都是一個情況。每一個情況,都由數個階段構成。階段與階段之間用乘法連繫,情況與情況之間用加法連繫。
下一個階段?乘! 下一個情況?加!
由上圖可見,圍一的機率是 ,如此類推,圍骰包括圍一、圍二、圍三……圍六,總共有六個情況,因此圍骰的機率是 ,
(至此,我們僅用了乘法和加法。)
若以百分率表示,即 。
由於大和小的機率相同,因此從100%的機率之中,剔除了圍骰的2.78%,再各分一半,便是大和小分別的機率了。
大和小機率分別是:
(終於用齊加減乘除了!)
有了強化版樹狀圖,你便能進一步將隨機事件濃縮地考量,以百家樂(Baccarat)為例,你從維基百科(Wikipedia)搜索到百家樂「莊、和、閒」三款結果的機率:
(節錄自:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%A8%82)
根據圖表,莊勝的機率是0.458597。留意這個用點數表示機率的方法,是分數和百分率以外表達機率的常用方法,點數的好處是方便運算。例如,連開三口莊有三個階段:第一口莊、第二口莊、第三口莊,根據強化版樹狀圖的乘法理論,連開三口莊的機率可這樣計:
0.096448089這個數字代表了什麼呢?你需要將它乘以100,得出9.6448089,它就變成百分率了,即大約有9.64%的機率(接近一成)會連開三口莊。
點數 × 100 = 百分率(%)
不難看得出:賭局規則越複雜,機率便越難計算。以百家樂為例,補牌規則相當複雜,加上莊勝只能賺取0.95注,勝率以人手來計實在太繁複,這就是電腦出場的時候了。大約的流程是:先寫一串電腦程式碼,教電腦了解賭局的規則,然後由電腦取代人手,列出所有可能性,再由電腦數數目,以分蛋糕法則計算機率。但由於寫程式太過複雜,在這入門課就只略述至此。
----------
杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
A ── IAL Core Math 1 2
A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
----------
精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
ial dse分別 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的最佳解答
杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
----------
Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計?
----------
Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算?
----------
Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
----------
杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
A ── IAL Core Math 1 2
A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
----------
精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
ial dse分別 在 想知GCE A-Level同HKDSE有幾大有分別? 不如親自體驗! 的推薦與評價
GCE A-Level/ IAL考試可分2次考試報考六個單元,每次考3個, ... 根據培生香港(Pearson)的資料顯示,IAL化學科與DSE化學科的課程大綱相當近似,DSE ... ... <看更多>