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jordan form範例 在 [線代] 三階方陣的Jordan form - 看板Math 的推薦與評價
有個問題想請教大家，但希望解題的方法能侷限在Friedberg線代4e的7.1節The Jordan
Canonical Form I，不涉及7.2節The Jordan Canonical Form II的點圖，因為不才希望
先掌握7.1節的內容。
2 2 3
問題:求矩陣A=( 1 3 3 )的Jordan form
-1 -2 -2
這題來自一位UCLA老師放在網路上的講義，權且貼出當作驗算:
https://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCFBases.pdf
https://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCF.pdf
以下是我的解法，用的是7.1節學到的東西:
先求characteristic polynomial，得det(A-tI)=-(t-1)^3，所以1是A唯一的eigenvalue，
而且它的algebraic multiplicity是3。令K為A對應1的generalized eigenspace、E為A對
應1的eigenspace。
目標:Find a basis β for K so that β is a disjoint union of cycles of
generalized eigenvectors of A corresponding to 1.
根據Theorem 7.4.(c)，dim(K)等於1的algebraic multiplicity，也就是3，所以β只有
三種可能:
1.β is a disjoint union of three cycles of length 1.
2.β is a disjoint union of two cycles of respective lengths 1 and 2.
3.β is a cycle of length 3.
-2 -3
計算E，發現E=span{( 1 ),( 0 )}，所以dim(E)=2，這讓我排除第一種可能，否則
0 1
三個cycle的initial vector會讓E有三個向量線性獨立，問題來了，不才之前碰到的都
是dim(E)=1，可以一口氣砍掉第一種可能跟第二種可能，接著就順順的做下去，但是現在
只能砍掉一個，我該怎麼辦？我大概看了那份UCLA的講義，它似乎暗示著只能走第二種可
能，那第三種可能是怎麼排除的呢？請賜教，謝謝。
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:31:15
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:32:31
剛剛算了一下，得到一個初步的結果:
It can be shown that if x is the end vector of a cycle of length 3,
0 0 0 0
then (0 0 0)x≠(0). 顯然，β沒有一個向量能滿足這個條件，因此不需考慮第三種
0 0 0 0
可能。這題似乎就這麼結束了，但我覺得不太踏實，會不會有矩陣不具備上述條件？我是
說，會不會有矩陣只能排除第一種可能？上述的美好結果具有一般性嗎？
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 13:48:13
narrow down three possibilities of β to a single one. Something like an
existence problem. Anyway. Thanks.
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 11:39:35
Still, the problem (not for the matrix A) remains to be solved, and I hope
someday I can figure it out after finishing section 7.2. Intuitively,
I think the question can be answered by the uniqueness of Jordan forms
up to the order of Jordan blocks.
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※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 17:28:28
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