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lim趨近於0 在 Re: [微積] 高斯函數- 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
:
: 這題的話 我是上下微分
: 但次方還有高斯不知怎處理
: 求詳解
1.
┌ ┐^(cotx)
│ sinx │
lim │───│ = 0
x→0+ │ x │
└ ┘
<pf> 那個次方只是讓你覺得很複雜騙你放棄而已
關鍵在(sinx/x)的觀察，我們都知道當x→0+時他是趨近於1，那到底比1大還是小
令f(x) = sinx - x , x>0 可以證明出sinx < x for all x > 0
因此0 < sinx/x < 1 , for all 0<x<π
即得[sinx/x] ≡ 0 for all 0<x<π
2.
┌ ┐^n
│ sin(n) │
lim │────│ doesn't exist
n→∞ │ n │
└ ┘
<pf> 雖然當n趨近於無限大時，sin(n)/n趨近於0
但若sin(n)/n是正的會導致[sin(n)/n]^n = 0
sin(n)/n是負的會導致[sin(n)/n]^n =(-1)^n
所以接著就是嚴格證明他真的不存在
這邊要用到這個性質：{sin(n):n€N} is dense in [-1,1]
取r=-0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_n_j，收斂到r=-0.5
如此一來 -1 < sin(a_n_j) / a_n_j < 0 for large j
因此[sin(a_n_j) / a_n_j] ≡ -1 for large j
得到[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) = (-1)^(n_j)
這個結果貌似對1與-1無限次取值，因而子列不存在極限值故原數列發散
但可能n_j恆是偶數或是奇數也說不定 我也沒辦法保證
只好再取另一個子列確保原數列是發散的，如下
取r= 0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_m_j，收斂到r= 0.5
如此一來 0 < sin(a_m_j) / a_m_j < 1 for large j
因此[sin(a_m_j) / a_m_j] ≡ 0 for large j
得到[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) ≡ 0
綜合以上，假設原數列收斂到L
因為子列[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) 收斂到0，所以L=0
則另外子列[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) 也會收斂到0，矛盾！
因為此子列不是1,-1亂跳就是收斂到1或是-1
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