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【搬運計畫：極限篇｜重點十之三：老大比較法 (下)：叉叉接旨刺 log｜精選範例 10-3-1｜張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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這個範例蠻重要的\
取極限遇到底數和指數都是變數時
可先取 exp 再取 log 使原式產生變化
再利用極限遇到連續函數可直接無視的特性
將題目再化成老大比較法的題型，最後再用我們的口訣「叉叉接旨刺 log」即可解開這類題型
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各位再次晚安
剛剛分享完丈哥的微積分習題講解
接下來換分享我的微積分習題講解
這次要跟大家分享的是夾擠定理的精選範例
這兩題都是我過去在教微積分時的經典題
第一題主要訓練遇到底數和指數部分都有未知數時的處理方法
第二題則是訓練放大和縮小函數的思維
都有一點技巧
屬於在熟練夾擠定理的論證格式以後再來鑽研的題目
分享給大家
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各位午安
今天來分享求極限的一個題型：指數函數分式求極限
這個題型在台灣的高中數甲裡面也是常見的題目
其概念實際上跟多項式分式求極限也是一樣
所以就把這個主題放在多項式分式後面講
值得一提的是
大學微積分教科書比較不會是這樣的編排順序
是因為當講到多項式分式求極限時
指數函數和對數函數他們都還沒介紹
所以在大學裏面反而比較少見這樣的題型
這種現象等到微分篇的時候會再來一次
因為大學微積分用書把指對數放到蠻後面的章節才介紹
但由於我編寫的微積分是針對唸完台灣高中數學的學生去設計
所以在已經有指對數的觀念的情況下
才特別把指對數的內容提前整合
大概是這樣
然後還是一句老話
如果喜歡我們的教學影片的話
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也歡迎分享給更多正在學習微積分的朋友們
謝謝～
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指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
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指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
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【摘要】
這個範例蠻重要的，取極限遇到底數和指數都是變數時，可先取 exp 再取 log 使原式產生變化，再利用極限遇到連續函數可直接無視的特性，將題目再化成老大比較法的題型，最後再用我們的口訣「叉叉接旨刺 log」即可解開這類題型
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【習題】
重點十之三：https://drive.google.com/file/d/1O2hcZgPw87gFClgabCwuO-CMVIPPEw9g/view?usp=sharing
偶數題講解影片：https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXih3a_3DDXOUk0hRHMfg53_
簡答：https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus/files
微積分討論群：https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【附註】
本影片適合理、工、商學院學生觀看
【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
重點一：極限的直觀定義 (https://youtu.be/hZT2fOcxSJw)
重點二：極限的嚴格定義 (https://youtu.be/gCkhy0aODZk)
重點三：一些基本函數的極限 (上集) (https://youtu.be/qoIOFz1D_W4)
重點四：極限運算定理 (四則運算篇) (https://youtu.be/d6PzP8ApFgk)
重點五：極限運算定理 (合成篇) (https://youtu.be/h2X2yyGyWHQ)
重點六：去零因子求極限 (https://youtu.be/vqoc59G-gRI)
重點七：去絕對值求極限 (https://youtu.be/PYzasrBZWWA)
重點八：高斯符號求極限 (https://youtu.be/EXKQQS17k2Y)
重點九：含無窮符號之極限 (https://youtu.be/RhKkx7DO_kM)
重點十之一：老大比較法 (上)：多項式分式 (https://youtu.be/Wr6rkCa1Neo)
重點十之二：老大比較法 (中)：指數函數多項式 (https://youtu.be/FYGzcSw0U0s)
重點十之三：老大比較法 (下)：叉叉接旨刺 log (https://youtu.be/YbvXCZmmff4)
└ 精選範例 10-3-1 👈 目前在這裡
重點十一：夾擠定理 (https://youtu.be/sTvtt4K85s0)
重點十二：lim_(x→0) sin(x) / x 專論 (https://youtu.be/sVohBWF-6ww)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
【數列與級數】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjcv6ChH_w0Y0WRkdbiP6xY)
【多變數函數的微積分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhoWH8tB00L6d3tWMV1l_o8)
【向量微積分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhVcuTj1IoCcYsRhJqoHN-y)
【附註】
1. 積分前篇和後篇自 2021 年 5 月起改成買張旭微積分上學期講義解鎖影片
2. 數列與級數以後的章節為下學期內容，為付費課程，購買後在張旭無限教室線上課程平台觀看
張旭微積分上學期講義購買頁面
👉 https://www.changhsumath.cc/calculusBook
張旭微積分下學期課程影片將不會在 YouTube 頻道上免費公開
若你覺得我的課程適合你，且你下學期也有微積分要修
可以參考購課頁面 👉 https://www.changhsumath.cc/calculus2nd
【張旭無限教室線上課程平台】
2021 年年初，我建置了一個線上課程平台
除了放我的線上課程以外
也有其他與我合作的老師們的課程
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本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
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如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
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高三上課檢討考卷時，提到指數函數與對數函數圖形相切，出給旁聽的大一學長當作業， ... 嗯，我把香港的題目看完了，真的很多國中題，就算高中題目也都很基本。 ... <看更多>
關於「指數函數與對數函數」標籤，搜尋引擎有相關的訊息討論：. [PDF] 指數函數與對數函數兩函數交點位置探討- 中壢高中在高一時曾遇過一個題目y = ax ... ... <看更多>
指數函數題目 在 [問題] 請問高一數學- 精華區tutor 的推薦與評價
請問大家一題
x 3
X = X
X答案是3.1 -1
那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
因為答案是-1.1.3
請問這種題目當底數X有什麼限制嗎?是不是不能等於0
如果不能等於0的話
那另一題
2x+1 5
X = X
則答案有卻有0耶
麻煩大家幫我解答囉
謝謝喔
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.59.14.139
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 08:12:55 2006
※ 引述《weihsia (小蝦子)》之銘言：
: 請問大家一題
: x 3
: X = X
: X答案是3.1 -1
: 那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
(-1)^(-1) = 1 / (-1) = -1
(-1)^3 = -1
所以 -1 也是答案啊
: 因為答案是-1.1.3
: 請問這種題目當底數X有什麼限制嗎?是不是不能等於0
: 如果不能等於0的話
: 那另一題
: 2x+1 5
: X = X
: 則答案有卻有0耶
: 麻煩大家幫我解答囉
: 謝謝喔
--
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要轉錄文章的人請注意三件事
1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.80.171
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: agga (小孩) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 09:38:21 2006
※ 引述《weihsia (小蝦子)》之銘言：
: 請問大家一題
: x 3
: X = X
: X答案是3.1 -1
: 那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
: 因為答案是-1.1.3
: 請問這種題目當底數X有什麼限制嗎?是不是不能等於0
: 如果不能等於0的話
: 那另一題
: 2x+1 5
: X = X
1 5
0 = 0 =0
但在上一例中,
0的0次方是無意義的
: 則答案有卻有0耶
: 麻煩大家幫我解答囉
: 謝謝喔
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 192.192.12.71
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: newfox (kkkk) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 10:24:33 2006
※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: ※ 引述《weihsia (小蝦子)》之銘言：
: : 請問大家一題
: : x 3
: : X = X
: : X答案是3.1 -1
: : 那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
可是指數定義中不是說底數大於0不等於1嗎？
照算的話答案是沒錯啦
記的以前高中老師說底數為負的話是一跳動數列
指數函數不是要連續嗎？
: (-1)^(-1) = 1 / (-1) = -1
: (-1)^3 = -1
: 所以 -1 也是答案啊
: : 因為答案是-1.1.3
: : 請問這種題目當底數X有什麼限制嗎?是不是不能等於0
: : 如果不能等於0的話
: : 那另一題
: : 2x+1 5
: : X = X
: : 則答案有卻有0耶
: : 麻煩大家幫我解答囉
: : 謝謝喔
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.139.46.129
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 11:08:07 2006
※ 引述《newfox (kkkk)》之銘言：
: ※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: 可是指數定義中不是說底數大於0不等於1嗎？
: 照算的話答案是沒錯啦
: 記的以前高中老師說底數為負的話是一跳動數列
: 指數函數不是要連續嗎？
重點是, 你說的是指數"函數"
但是, 這題只是一般的指數方程式
所以並不用限定底數要大於 0 不等於 1
--
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◆ From: 203.73.80.171
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: LeonYo (to be executive) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 14:58:48 2006
顯見目前有兩派說法..
大家討論討論..
要人家把書看清楚之前請"先"註明要人家把"哪一本"書看清楚
別人看的書和您看的書可能不一樣
寫的可能也不一樣
這個問題我認為先回溯到"指數"的意義來談
當然一開始是從"正整數指數"來談
一般的說法是, 乘法就是連加的簡化, 乘冪就是連乘的簡化
所以五乘以五是五連加五次, 五的五次方則是連乘五次
這應該是最原始的意義, 大家歧見可能不多
接下去指數律, 以及指數由正整數拓展到整數, 到有理數, 到無理數
應該都是各位老師很清楚的事, 也不用多談
但是在指數拓展的同時, 卻對底數加了多多少少的限制
其目的何在??目的是為了讓該"數值"為有意義的實數
為什麼要讓它有意義??
因為這樣函數圖形的作圖才有辦法畫出來
如果撇開這些限制不談,
問你-2+12^(1/2)i [負二加根號十二i]能不能開根號??
你會不會說無意義??開根號就是要你取二分之一次方不是嗎
這個底數是複數耶, 怎麼辦???
所以有沒有 [指數是無理數, 則底數必須規定為大於零的實數]這件事??
我看大概是沒有, 不然複數那一章節很多題目不用算了嘛
就回答老師[無意義, 你亂出題]就好了啊
所以為什麼要限制底數大於零, 是為了讓它的值為[實數]
為什麼要讓它的值是實數, 是為了[討論方便],
是為了[函數圖形][畫得出來]
是為了函數圖形[連續]
這道理很簡單, 以i為底, 當然可以, 我要寫f(x)=i^x也可以
問題是什麼, 這個函數在一般作圖的二維平面上畫不出來嘛
那要就沒辦法討論了啊(至少在高中數學沒辦法)
既然不能討論, 那要這樣的函數做什麼??
所以才限制底數是大於零的實數啊
我是念國編本的, 印象中他的理由是"為了討論方便",
並不是說"這樣不對, 這樣不行, 這樣沒有意義"
當然, 書不在我手邊, 也許我的印象是錯的
但我實在想不通, 沒事幹嘛去限制底數一定要大於零??
如果有這規定, 理由何在??和解原po的題目有無關連??
如果無關, 就是不必要的規定
: ※ 引述《newfox (kkkk)》之銘言：
: : ※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: : 可是指數定義中不是說底數大於0不等於1嗎？
: : 照算的話答案是沒錯啦
: : 記的以前高中老師說底數為負的話是一跳動數列
: : 指數函數不是要連續嗎？
: 重點是, 你說的是指數"函數"
: 但是, 這題只是一般的指數方程式
: 所以並不用限定底數要大於 0 不等於 1
: 推 phxcon:指數為有理數時, 高中數學規定底要為正, 跟是不是函數無關 02/20 13:17
: 推 Dinjang:這規定應該是針對函數 否則就沒有(-1)^2這種東西 02/20 13:34
: 推 phxcon:請把書看清楚。 02/20 13:41
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.200.18
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: blanki (開開心心過日子:D) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 15:04:43 2006
※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: 標題: Re: [問題] 請問高一數學
: 時間: Mon Feb 20 11:08:07 2006
:
: ※ 引述《newfox (kkkk)》之銘言：
: : ※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: : 可是指數定義中不是說底數大於0不等於1嗎？
: : 照算的話答案是沒錯啦
: : 記的以前高中老師說底數為負的話是一跳動數列
: : 指數函數不是要連續嗎？
: 重點是, 你說的是指數"函數"
: 但是, 這題只是一般的指數方程式
: 所以並不用限定底數要大於 0 不等於 1
:
: --
: 家教經驗談
: https://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
: 要轉錄文章的人請注意三件事
: 1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 203.73.80.171
: 推 phxcon:指數為有理數時, 高中數學規定底要為正, 跟是不是函數無關 02/20 13:17
: 推 Dinjang:這規定應該是針對函數 否則就沒有(-1)^2這種東西 02/20 13:34
: 推 phxcon:請把書看清楚。 02/20 13:41
: 推 Dinjang:唉.....樓上解x^2=1 的答案只有x=1嗎? 請別亂看書 02/20 14:35
: → Dinjang:請分清楚函數和方程式的不同..... 02/20 14:36
如果數值不是無意義，而是可以算的話，(-1)應該是正確答案。
因為只要符合方程式的都是答案，而(-1)^(-1)很明顯是可以運算的。
而高中數學上說無意義的地方是指如果指數那個地方是分數，
則必須定義底數要大於零才有意義。
像(-2)^(1/2)這是無意義的，但如果化作根號的形式，根號(-2)其值是等於√2 i
這就有意義了。
高中數學也有定義負整數指數的定義，
設a（底數）屬於R，a≠0，n屬於N， 1
則規定 a^(-n)= -----
a^n
就(-1)^(-1)來講，式符合上面式子的。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.18.78
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: phxcon (數學好難) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 15:08:46 2006
※ 引述《LeonYo (to be executive)》之銘言：
: 顯見目前有兩派說法..
: 大家討論討論..
: 要人家把書看清楚之前請"先"註明要人家把"哪一本"書看清楚
: 別人看的書和您看的書可能不一樣
: 寫的可能也不一樣
高中數學課本。這裡不扯到大學的複變,ok?
: 但是在指數拓展的同時, 卻對底數加了多多少少的限制
: 其目的何在??目的是為了讓該"數值"為有意義的實數
: 為什麼要讓它有意義??
: 因為這樣函數圖形的作圖才有辦法畫出來
這只是其中一個原因。
數學課本1-1上寫的不是這個原因,
每個版本都有提到,
我懶得講了,你們又不是我的學生。
: 問題是什麼, 這個函數在一般作圖的二維平面上畫不出來嘛
: 那要就沒辦法討論了啊(至少在高中數學沒辦法)
: 既然不能討論, 那要這樣的函數做什麼??
: 所以才限制底數是大於零的實數啊
: 我是念國編本的, 印象中他的理由是"為了討論方便",
國編本怎麼寫得我忘了, 相去應該不遠。
但顯然你也是沒好好念目前高中數學課本,才會不知道。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.130.37.75
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: LeonYo (to be executive) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 15:07:26 2006
※ 引述《blanki (開開心心過日子:D)》之銘言：
: 而高中數學上說無意義的地方是指如果指數那個地方是分數，
: 則必須定義底數要大於零才有意義。
: 像(-2)^(1/2)這是無意義的，但如果化作根號的形式，根號(-2)其值是等於√2 i
: 這就有意義了。
看你這麼一說害我想回去翻書到底怎麼寫的了....
我印象書上寫a^(1/2)=√a
: 高中數學也有定義負整數指數的定義，
: 設a（底數）屬於R，a≠0，n屬於N， 1
: 則規定 a^(-n)= -----
: a^n
: 就(-1)^(-1)來講，式符合上面式子的。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.200.18
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Dinjang (DD) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 15:13:38 2006
本來不太想回文 因為把這部份搞懂是老師自己的責任
我只希望你現在不是家教老師
你這句話正在錯在
高中規定底數的定義域 正是為了讓指數函數有辦法討論
而非和是不是函數無關
詳細的情形前兩篇網友的文章都寫的很清楚
論點也很正確
指數函數的底數才有定義域
方程式中的指數與未知數的定義域是題目決定的
題目若規定可以是複數 答案是i也很有可能
還有 指數函數和多項式都是函數
x^2=1 我舉的這個例子是方程式 不是函數 也不是多項式
看來你的問題還有連函數與方程式 方程式與多項式都搞不清楚
如果你是家教 建議把書弄懂
不要誤了學生.....
如果我口氣不好 請其他版友見諒
看了他的推文心情不太好....
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◆ From: 219.84.127.129
※ 編輯: Dinjang 來自: 219.84.127.129 (02/20 15:18)
※ 編輯: Dinjang 來自: 219.84.127.129 (02/20 15:19)
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作者: phxcon (數學好難) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 15:24:48 2006
※ 引述《Dinjang (DD)》之銘言：
: 推 phxcon:指數為有理數時, 高中數學規定底要為正, 跟是不是函數無關 02/20 13:17
: 本來不太想回文 因為把這部份搞懂是老師自己的責任
: 我只希望你現在不是家教老師
: 你這句話正在錯在
: 高中規定底數的定義域 正是為了讓指數函數有辦法討論
: 而非和是不是函數無關
(-2)^(1/2)=(-2)^(2/4)=[(-2)^2]^(1/4)=4^(1/4)=2^(1/2)
把上面算式好好看一看, 不說了
--
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作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Mon Feb 20 22:53:17 2006
※ 引述《phxcon (數學好難)》之銘言：
: ※ 引述《LeonYo (to be executive)》之銘言：
: : 但是在指數拓展的同時, 卻對底數加了多多少少的限制
: : 其目的何在??目的是為了讓該"數值"為有意義的實數
: : 為什麼要讓它有意義??
: : 因為這樣函數圖形的作圖才有辦法畫出來
: 這只是其中一個原因。
: 數學課本1-1上寫的不是這個原因,
基本上我先說, 我手上的書是龍騰版
而且, 我手上的是參考書, 所以如果有人手上有課本可以討論的
請更正
會拿參考書, 是不想流於大家都憑記憶的狀況, 所以我只是以書為準
1-1 講的是指數, 所以我想 phxcon 網友說的應該是這裡
以龍騰版來說,
1-1 的指數包含了幾個重點
1. 整數指數
2. 開根號
3. 有理指數
4. 指數的大小
而會和這個討論串有關的部份, 應該在 1. 和 3. 兩個部份
以整數指數的定義部份, 他的定義如下
設 a 為複數, n 為自然數
則, a^n 表示 n 個 a 的連乘積
換句話, 在這部份並沒有說 a > 0 且 a =/= 1
再來看有理指數的定義部份
書上提到的, 的確是跟 phxcon 網友所提的
設 a > 0, m, n 為整數, n > 0, r = m / n
則 a^r = a^(m/n) = a^m開 n 次方根
書上有提到, a <= 0 時
若 r 屬於 Q-Z (不是整數的有理數)時, a^r 是無意義
理由有兩個
1. r = 0 或 r 為負整數時, a 不可為 0, 因為無意義
2. 當 a < 0 時, 仿有理指數的定義時, 的確就如 phxcon 網友所提的式子證為矛盾
(此時討論的部份是指 r 若為分數時, 而且, 後面還有但書)
"但是"書上提到的 a > 0 的要求是在 r 為"分數"的時候
此時, 得把 r 做為最簡分數再討論
但是這樣子會使得問題處理難度太高, 高中不討論
然而, 書上並沒有說 (-1)^(-1) 這樣子的狀況是無意義的
所以此部份的處理若照前面的指數律的運算, 並不能說超出高中範圍
而且, 這部份硬從高中的部份拔掉
(我指的是單純指 a^(-1) = 1/a)
個人是覺得, 有點太過, 反而讓學生在學習的過程中留下一個"洞"
當然, 如果硬要說書上沒有說, 所以不能提, 個人沒有太大的意見
: 每個版本都有提到,
: 我懶得講了,你們又不是我的學生。
: : 問題是什麼, 這個函數在一般作圖的二維平面上畫不出來嘛
: : 那要就沒辦法討論了啊(至少在高中數學沒辦法)
: : 既然不能討論, 那要這樣的函數做什麼??
: : 所以才限制底數是大於零的實數啊
: : 我是念國編本的, 印象中他的理由是"為了討論方便",
: 國編本怎麼寫得我忘了, 相去應該不遠。
: 但顯然你也是沒好好念目前高中數學課本,才會不知道。
這部份, 書上其實什麼都沒提
只是很單純的就 a > 0 , a =/= 1 直接做討論
所以沒意見
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家教經驗談
https://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
要轉錄文章的人請注意三件事
1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道
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作者: wcl0304 (wcl0304) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 10:02:49 2006
※ 引述《phxcon (數學好難)》之銘言：
: ※ 引述《Dinjang (DD)》之銘言：
: : 推 phxcon:指數為有理數時, 高中數學規定底要為正, 跟是不是函數無關 02/20 13:17
: : 本來不太想回文 因為把這部份搞懂是老師自己的責任
: : 我只希望你現在不是家教老師
: : 你這句話正在錯在
: : 高中規定底數的定義域 正是為了讓指數函數有辦法討論
: : 而非和是不是函數無關
: (-2)^(1/2)=(-2)^(2/4)=[(-2)^2]^(1/4)=4^(1/4)=2^(1/2)
^^這邊等號有問題........
x平方在開根號和x開根號再平方不一樣,
最後才造成矛盾結果
: 把上面算式好好看一看, 不說了
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作者: allstars (大頭大頭) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 10:44:31 2006
※ 引述《weihsia (小蝦子)》之銘言：
: 請問大家一題
: x 3
: X = X
: X答案是3.1 -1
: 那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
雖然板上很多人說X=-1是一個解 但是我九成確定-1不是解
高中數學不討論底數為負 複變就有討論到
某位板友雖然很嗆 但是他說的是對的
我為了確定 我還用GSP畫圖
畫出X^X與X^3的函數圖形找出交點 結果沒有X=-1
X^X在X<0沒有圖形
: 因為答案是-1.1.3
: 請問這種題目當底數X有什麼限制嗎?是不是不能等於0
: 如果不能等於0的話
: 那另一題
: 2x+1 5
: X = X
: 則答案有卻有0耶
: 麻煩大家幫我解答囉
: 謝謝喔
--
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◆ From: 61.228.174.66
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作者: allstars (大頭大頭) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 11:32:48 2006
※ 引述《LeonYo (to be executive)》之銘言：
: 顯見目前有兩派說法..
: 大家討論討論..
: 要人家把書看清楚之前請"先"註明要人家把"哪一本"書看清楚
: 別人看的書和您看的書可能不一樣
: 寫的可能也不一樣
: 這個問題我認為先回溯到"指數"的意義來談
: 當然一開始是從"正整數指數"來談
: 一般的說法是, 乘法就是連加的簡化, 乘冪就是連乘的簡化
: 所以五乘以五是五連加五次, 五的五次方則是連乘五次
: 這應該是最原始的意義, 大家歧見可能不多
: 接下去指數律, 以及指數由正整數拓展到整數, 到有理數, 到無理數
: 應該都是各位老師很清楚的事, 也不用多談
: 但是在指數拓展的同時, 卻對底數加了多多少少的限制
: 其目的何在??目的是為了讓該"數值"為有意義的實數
: 為什麼要讓它有意義??
: 因為這樣函數圖形的作圖才有辦法畫出來
: 如果撇開這些限制不談,
: 問你-2+12^(1/2)i [負二加根號十二i]能不能開根號??
: 你會不會說無意義??開根號就是要你取二分之一次方不是嗎
開根號不會就是取二分之一次方
像某板友舉例的 (-2)^(1/2) 和√(-2) 是不一樣的東西
: 這個底數是複數耶, 怎麼辦???
: 所以有沒有 [指數是無理數, 則底數必須規定為大於零的實數]這件事??
: 我看大概是沒有, 不然複數那一章節很多題目不用算了嘛
但是高中數學絕對不會問(5+12i)^(1/2)答案是什麼
因為它就是無意義 你亂出題
可是他會問(5+12i)的平方根是什麼
如果學到複變 就會知道(5+12i)^(1/2)={3+2i -3+2i} 是一個集合
表示5+12i的平方根
再說清楚一點 很嗆的板友說 (-2)^(1/2)=(-2)^(2/4)=[(-2)^2]^(1/4)=4^(1/4)=2^(1/2)
我舉一個跟他很像的例子
[(-1)^(1/2)]^2 = [(-1)^2]^(1/2)
在高中數學這個等式問題 在複變的內容裡這個等式沒有問題
[(-1)^(1/2)]^2 = ({i -i})^2 ={1 -1} 這邊是集合乘以集合
[(-1)^2]^(1/2) =1^(1/2)= {1 -1}
至於指數函數的定義 資深板友vvbird就有提出來
n為自然數 a為實數 a^n=a自乘n次 它的定義就是這樣
(高一的時候限定a為實數 其實高中數學a可以為複數)
可是n不是自然數的時候 高中數學對於底數a就有一些限制了
至於是什麼限制 它也沒有明確的提出來
: 就回答老師[無意義, 你亂出題]就好了啊
: 所以為什麼要限制底數大於零, 是為了讓它的值為[實數]
: 為什麼要讓它的值是實數, 是為了[討論方便],
: 是為了[函數圖形][畫得出來]
: 是為了函數圖形[連續]
: 這道理很簡單, 以i為底, 當然可以, 我要寫f(x)=i^x也可以
: 問題是什麼, 這個函數在一般作圖的二維平面上畫不出來嘛
: 那要就沒辦法討論了啊(至少在高中數學沒辦法)
: 既然不能討論, 那要這樣的函數做什麼??
: 所以才限制底數是大於零的實數啊
: 我是念國編本的, 印象中他的理由是"為了討論方便",
: 並不是說"這樣不對, 這樣不行, 這樣沒有意義"
: 當然, 書不在我手邊, 也許我的印象是錯的
: 但我實在想不通, 沒事幹嘛去限制底數一定要大於零??
: 如果有這規定, 理由何在??和解原po的題目有無關連??
: 如果無關, 就是不必要的規定
: : 重點是, 你說的是指數"函數"
: : 但是, 這題只是一般的指數方程式
: : 所以並不用限定底數要大於 0 不等於 1
: : 推 phxcon:指數為有理數時, 高中數學規定底要為正, 跟是不是函數無關 02/20 13:17
: : 推 Dinjang:這規定應該是針對函數 否則就沒有(-1)^2這種東西 02/20 13:34
: : 推 phxcon:請把書看清楚。 02/20 13:41
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◆ From: 61.228.174.66
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作者: Dinjang (DD) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 12:45:00 2006
※ 引述《allstars (大頭大頭)》之銘言：
: ※ 引述《weihsia (小蝦子)》之銘言：
: : 請問大家一題
: : x 3
: : X = X
: : X答案是3.1 -1
: : 那-1也是答案嗎?有-1 這種東西嗎
: 雖然板上很多人說X=-1是一個解 但是我九成確定-1不是解
: 高中數學不討論底數為負 複變就有討論到
高中數學並非不討論底數是負數
而是在指數律和指數函數的部分不討論(因為無意義)
"高中數學不討論底數為負" 是有前提的
因為只針對這句話 高中數學不討論 (-1)的平方是多少嗎??
我想會有誤解是因為有時候我們把討論說的太簡潔
而省略掉重要的前提 這前提常常就是會產生不同答案的重要關鍵
: 某位板友雖然很嗆 但是他說的是對的
前面會回P網友的文章也是因為他說
指數是有理數 高中數學規定底數要為正
最好是有這種規定
明明規定提到的指數是fractional exponents而非有理數指數
在你認為他是對的之前 請再想一想
分數指數和有理數指數之間的不同
: 我為了確定 我還用GSP畫圖
: 畫出X^X與X^3的函數圖形找出交點 結果沒有X=-1
: X^X在X<0沒有圖形
我可以告訴你GSP為何沒有交點
因為GSP畫的是"函數圖形"
也就是他把X^X當成"指數函數"
你這樣處理當然會LOST掉一些答案
因為指數函數對於底數是有限制的 而原題的方程式並沒有
就像你若把這題取LOG做
也做不出1的答案
因為在你這樣做的同時 也引進了一些前提和假設
這是要非常注意的
--
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◆ From: 219.84.125.30
※ 編輯: Dinjang 來自: 219.84.125.30 (02/23 12:46)
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作者: LeonYo (to be executive) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 13:49:56 2006
這文可以回這麼長啊
總之, 簡單的說
在高中數學的範圍中
a)當指數為正整數時, 底數可以為任何數(包含複數)
b)當指數為負整數或零時, 底數可以為任何非零之數(包含複數)
c)當指數為分數(非整數)或無理數時, 底數只能為大於零之實數.
--
有錯用力電吧
另外, 國編本87下版, 對a^(m/n)的定義是[a^(1/n)]^m
他真的是先取了n次方根再取m次方, 括號不會騙人..
這個定義是有意義的, 如果把握住此原則, 就不會有p版友提出的那個等式存在
再者, 複變取分數指數是集合沒錯, 用國編本的定義仍然可以運算
--
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◆ From: 140.112.152.30
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作者: andan (二分之一的幸福) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 15:42:02 2006
看完了以上的討論串
主要原因在於大家對題意沒有共識!
看成函數或是方程式造成了大家的困擾
題目只寫了
X 3
X = X
到底是問"解出所有滿足的X?"
還是問"解出滿足下列指數函數的X呢?"
在此不論我個人傾向哪種說法
想請教為人師表的各位
難道這不是題目本身的問題嗎?
畢竟它讓人"可能"誤會了它原本的意思了!
不是嗎?
數學，一門嚴謹的科學，是不應該有這種誤會的!
這不是數學的本質跟內涵。
數學應該是建立在題意很清楚的情況下，
用嚴格的邏輯推演整個過程，得出唯一的真理。
最後，回到題目本身。
若是第一種題意，請問回答 -1 也是解，這樣有錯嗎?!
如果是第二種，那自然沒有 -1 嘛!
其實問題就在於大家對題目有沒有共識，
就這麼簡單而已。
數學不光只是拿著一本書，
而數學的精神才是教育學生的根本，
建立根本，教育的改革才有希望!!
--
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◆ From: 140.113.22.206
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作者: phxcon (數學好難) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 16:15:56 2006
※ 引述《Dinjang (DD)》之銘言：
: ※ 引述《allstars (大頭大頭)》之銘言：
: : 雖然板上很多人說X=-1是一個解 但是我九成確定-1不是解
: : 高中數學不討論底數為負 複變就有討論到
: 高中數學並非不討論底數是負數
: 而是在指數律和指數函數的部分不討論(因為無意義)
: "高中數學不討論底數為負" 是有前提的
: 因為只針對這句話 高中數學不討論 (-1)的平方是多少嗎??
: 我想會有誤解是因為有時候我們把討論說的太簡潔
: 而省略掉重要的前提 這前提常常就是會產生不同答案的重要關鍵
: : 某位板友雖然很嗆 但是他說的是對的
: 前面會回P網友的文章也是因為他說
: 指數是有理數 高中數學規定底數要為正
: 最好是有這種規定
就是有這個規定!!
叫你看書你還不看，人家都看了，就你還在這邊自說自話。
有理數跟整數你該不會搞不清楚吧,
看了你這篇, 我才知道你的集合概念與邏輯很差。
前面提到(-1)平方, 當然是1。
我說, 指數為有理數時, 底必須為正數。
而你就想
∵2是有理數, 而(-1)平方的底是-1, 造成不能算(-1)的平方
==>我就錯了
我說, 你一定不是念數學系的。不然一定畢不了業。
順便一提, 我想很多人大概也不知道為什麼a^(1/n)=n次根號a
因為只有課本會提這個。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.130.37.75
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Dinjang (DD) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 17:21:58 2006
※ 引述《phxcon (數學好難)》之銘言：
: 就是有這個規定!!
: 叫你看書你還不看，人家都看了，就你還在這邊自說自話。
: 有理數跟整數你該不會搞不清楚吧,
: 看了你這篇, 我才知道你的集合概念與邏輯很差。
: 前面提到(-1)平方, 當然是1。
: 我說, 指數為有理數時, 底必須為正數。
: 而你就想
: ∵2是有理數, 而(-1)平方的底是-1, 造成不能算(-1)的平方
: ==>我就錯了
: 我說, 你一定不是念數學系的。不然一定畢不了業。
: 順便一提, 我想很多人大概也不知道為什麼a^(1/n)=n次根號a
: 因為只有課本會提這個。
唉~前面很多網友書都查了
只有你的書跟別人不同
你的意見只PO了一行
"指數是有理數 高中數學規定底數為正"
誰知道你講的是指數律
是指數函數 還是一般數值的指數
我跟你說 底數可以是負的
高中數學是可以算(-1)^(-1)
雖然底數是負的 無法符合所有的指數律
但是是有意義的
再來討論你這句話
"指數是有理數 高中數學規定底數為正"
要證明這句話是錯的 我只要找到一個反例就可以證明你的論點是錯的
這個反例我隨便舉就是 (-1)^2=1
也就是我可以找到 指數是有理數 而底數是負的狀況
因此你的論點是有例外的.....是有反例的
所以是錯的 這你懂嗎??
這種邏輯 高中生也會 我想也不用唸數學系了....
GOOGLE隨便找一下 EXCEL打開來算 書翻一下
指數若是整數 底數就算是負的都是有意義的
我是不懂這麼簡單的東西 網友也找了很多
你還這麼堅持......
這話題堅持這麼久了 如果你沒有新東西 我也不回了
因為對於已經懂的網友 一點幫助都沒有...
--
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◆ From: 219.84.60.61
※ 編輯: Dinjang 來自: 219.84.60.61 (02/23 17:27)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: phxcon (數學好難) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 20:44:45 2006
※ 引述《Dinjang (DD)》之銘言：
: 再來討論你這句話
: "指數是有理數 高中數學規定底數為正"
: 要證明這句話是錯的 我只要找到一個反例就可以證明你的論點是錯的
: 這個反例我隨便舉就是 (-1)^2=1
: 也就是我可以找到 指數是有理數 而底數是負的狀況
: 因此你的論點是有例外的.....是有反例的
: 所以是錯的 這你懂嗎??
算啦, 回完這篇我就不再回了。你們又不是我學生, 懶得再教你們。
我講的那句話是有理數指數的「定義」, 不是「命題」。
八成這兩個東西你分不清楚。
順便講一下, 什麼叫「公設」很多人也搞不清楚。
這種書上就定義好的東西,叫你們看高中數學課本不去看(某些人),
還能這樣扯這麼久, 難怪數學底子不好。
念數學不先把定義搞清楚, 高中數學還可以混過去, 念數學系就行不通了。
最後, 丟一個問題給教高中數學的人,2的根號3次方要怎麼解釋。
如果你答不出來的話, 一樣, 翻翻課本, 南一版有。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.135.230.30
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: phxcon (數學好難) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 20:59:27 2006
: → wcl0304:聽你放屁?2是不是有理數你隨便找人來問看看 02/23 16:46
我什麼時候說過2不是有理數。
: 推 jerrylau:我想p網友的意思是Z只是Q裡面的一部分,若指數要推廣到Q時 02/23 16:57
: → jerrylau:就必須限制底數為正. 若指Z運算..則指Q運算..必正確 02/23 16:58
: → jerrylau:但是指Q運算...則指Z運算...未必正確 02/23 17:03
: → jerrylau:必須定義底數為正,Z包含在Q裡面,不要忘記Z以外的Q還很多 02/23 17:0
: → jerrylau:故指數由整數推廣到有理數時,必須涵蓋所有有理數運算 02/23 17:0
: 推 jerrylau:我覺得就是因為有反例,所以推廣到所有有理數時必須限制 02/23 17:4
: → jerrylau:底數為正,這樣這個律 才會正確 02/23 17:4
幫你整理一下。
: 推 xian:他要嘛就跟13684那篇一樣完整寫出定義 我就不相信 他在叫小朋 02/23 17:02
: → xian:教打錯 友時 會直接丟個一句 指數為有理數時, 底必須為正數 02/23 17:04
我當然不會直接丟這句話, 為什麼這樣定義的原因我後來寫了,
結果還是有人看不懂。
－－－
潛水去了，後會無期。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.135.230.30
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Thu Feb 23 23:30:25 2006
: 推 phxcon:有理數就是分數,不知道你們在番什麼 02/23 20:00
不好意思, phxcon 網友, 你這句話是有問題
我也不用"我想", 我們也是照書來說
依 "Richard Courant & Fritz John" 所著
"Introduction to Calculus and Analysis Volumne I"
在 page 2 的最後一行所寫的
A rational number can always be write in the form p/q,
where p and q are integers and q =/= 0.
換句話說, 正確的說
有理數是"可以"寫成 p/q 的形式, 而且, p, q 是整數, 且 q 不等於 0
依照這樣子的定義來說
2 = 2 / 1, 所以 2 也是有理數的一部份
甚至, 任何整數 n 均可寫成 n = n / 1
換句話說, 整數是有理數的子集合
也就是說, 每個整數都是有理數
所以, 你說, 有理數就是分數, 這句話是有待商榷的
而其他網友說 2 是有理數, 就定義上來說, 並沒有錯
--
家教經驗談
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作者: youfly (哈啾少年) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Fri Feb 24 05:07:05 2006
※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: : 推 phxcon:有理數就是分數,不知道你們在番什麼 02/23 20:00
: 不好意思, phxcon 網友, 你這句話是有問題
: 我也不用"我想", 我們也是照書來說
: 依 "Richard Courant & Fritz John" 所著
: "Introduction to Calculus and Analysis Volumne I"
: 在 page 2 的最後一行所寫的
: A rational number can always be write in the form p/q,
: where p and q are integers and q =/= 0.
: 換句話說, 正確的說
: 有理數是"可以"寫成 p/q 的形式, 而且, p, q 是整數, 且 q 不等於 0
: 依照這樣子的定義來說
: 2 = 2 / 1, 所以 2 也是有理數的一部份
: 甚至, 任何整數 n 均可寫成 n = n / 1
: 換句話說, 整數是有理數的子集合
: 也就是說, 每個整數都是有理數
: 所以, 你說, 有理數就是分數, 這句話是有待商榷的
這邊想請問一下 分數的定義是什麼?
如果整數n可表為n/1
難道它不是分數?
如果是 1/e , 1/π , √2/5 .....
那就好像既是分數又是無理數
又p板友說 "指數是有理數 規定底數為正"
很明顯D板友已經找到"2"的反例
當然p板友也強調他沒有說過2不是有理數
只可能真正邏輯不清楚的是p板友
此外 p板友一再強調 高中課本怎麼說
豈不聞"盡信書不如無書"?
連原文書都有可能出錯
更何況是現在這麼多版本的高中課本
高中課本怎麼規定
只是考慮高中生的程度
只討論到實數的範圍
所以會有底數為正的規定
(只要規定底數為正 絕對不會有複雜情形發生 一切問題解決!
但某些情況是 就算底數為負 指數為有理數 其值還是簡單實數 才因此造成爭議!)
另外原始的問題 是在問-1是不是該方程式的解
很明顯-1的-1次方 是可以算的
D板友的某篇文章說的很清楚了
: 而其他網友說 2 是有理數, 就定義上來說, 並沒有錯
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◆ From: 220.136.69.86
※ 編輯: youfly 來自: 220.136.69.86 (02/24 05:29)
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作者: allstars (大頭大頭) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Fri Feb 24 08:02:25 2006
※ 引述《Dinjang (DD)》之銘言：
: ※ 引述《allstars (大頭大頭)》之銘言：
: : 雖然板上很多人說X=-1是一個解 但是我九成確定-1不是解
: : 高中數學不討論底數為負 複變就有討論到
: 高中數學並非不討論底數是負數
: 而是在指數律和指數函數的部分不討論(因為無意義)
: "高中數學不討論底數為負" 是有前提的
: 因為只針對這句話 高中數學不討論 (-1)的平方是多少嗎??
我想你誤會我的意思了.....
(-1)^2 次方為2 在我另一篇就說到
次方為自然數N時 表示底數自乘N次
這邊說的高中數學不討論底數為負 指的是次方為其他東西
: 我想會有誤解是因為有時候我們把討論說的太簡潔
: 而省略掉重要的前提 這前提常常就是會產生不同答案的重要關鍵
: : 某位板友雖然很嗆 但是他說的是對的
: 前面會回P網友的文章也是因為他說
: 指數是有理數 高中數學規定底數要為正
: 最好是有這種規定
: 明明規定提到的指數是fractional exponents而非有理數指數
: 在你認為他是對的之前 請再想一想
: 分數指數和有理數指數之間的不同
: : 我為了確定 我還用GSP畫圖
: : 畫出X^X與X^3的函數圖形找出交點 結果沒有X=-1
: : X^X在X<0沒有圖形
: 我可以告訴你GSP為何沒有交點
: 因為GSP畫的是"函數圖形"
: 也就是他把X^X當成"指數函數"
: 你這樣處理當然會LOST掉一些答案
: 因為指數函數對於底數是有限制的 而原題的方程式並沒有
這個我就沒想那麼多了
因為我的直覺式 異類方程式求解 畫函數圖求交點
這樣吧 我等等去問我教授 問問看在高中數學有沒有(-1)^(-1)這種東西
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◆ From: 61.228.178.55
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作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Fri Feb 24 09:01:12 2006
※ 引述《youfly (哈啾少年)》之銘言：
: 這邊想請問一下 分數的定義是什麼?
: 如果整數n可表為n/1
: 難道它不是分數?
: 如果是 1/e , 1/π , √2/5 .....
: 那就好像既是分數又是無理數
可表成分數, 不見得就一定是寫成分數的"形式"
因為分數是寫成 p/q 的形式, 而且 p, q 均為整數, 且 q 不為 0
所以 n 只是"可以"寫成分數
而有理數的定義寫得很清楚
只要是"可以"寫成分數的就是了
以下恕刪
--
家教經驗談
https://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
要轉錄文章的人請注意三件事
1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道
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◆ From: 203.73.80.171
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作者: allstars (大頭大頭) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問高一數學
時間: Fri Feb 24 14:14:11 2006
: 這個我就沒想那麼多了
: 因為我的直覺式 異類方程式求解 畫函數圖求交點
: 這樣吧 我等等去問我教授 問問看在高中數學有沒有(-1)^(-1)這種東西
我問教授 他說 "看它是怎麼定義的"
意思就是 (-1)^(-1)= 1/(-1)= -1 沒有問題
然後我再問 高中數學有教到這種東西嗎?
教授回答高中不會去討論這個
所以 X^X = X^3 的解 有 -1 可是高中生"應該"不曉得(-1)^(-1)是什麼東西
當然我們是知道的 你跟高中生解釋他也能夠"直覺式地"理解
比如教國中生X^2 = -1 告訴他解為±√(-1) 國中生可以接受
可是國中生不一定真的可以完全瞭解
為什麼我要講這個勒 因為之前有人提出
這個方程式 要問"滿足方程式的解" 還是"滿足指數律的方程式的解"
大家顯然都認為是前者
因為我個人是讀師大 對於教學有一些看法
或許和各位不同 希望大家互相包容一下
我覺得提出上述問題不太妥當 解方程式當然就是找出滿足的解
其解也應該是在高中生所學習到的範圍內(也就是要滿足指數律)
如果解出來的答案 (在我們的觀點不是不對)
和高中生所學有牴觸 那就很奇怪了
就是說若解有(-1) 那高中生必然應該學習到(-1)^(-1)是什麼東西
再舉回國中生解X^2 = -1的例子 其解必然是±√(-1)
但是國中生不瞭解 它只會覺得很奇怪 為什麼根號內有負的
所以只能告訴國中生"無(實數)解"
不管怎麼樣 這個題目的解超過高中的範圍
即使它是很簡單的 段考 大考決不會考這種東西
我不知道原po的題目從哪裡出來的 小弟猜測
有很多補習班名師都會出參考書 有些補習班名師
其實都是不是數學系畢業的 像我知道就有東海微生物系號稱台大數學
因為他們對數學比較沒有嚴謹的要求 所以會有一些奇怪的題目
我自己教到指數的部份 也有很多類似原方程式的題目
但是都會有一個條件 " X > 0 "
SO..............................................
我也不知道要接什麼話下去.......糟糕 詞窮了 = ="
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