九月開學季，我梳理了給孩子們在課内學習、課外學習共七點建議。祝廣大學子們充分開展更多元的學習範式，提升自我的創新創造力！
我在《李開復給青少年的十二封信》書裏，也談過人工智能時代的教育，我覺得很適合在現在這個開學季再次分享給大家。比起應試考試中的分數，如果同學們具備“3C”的三大能力—— Curiosity（好奇心）、Critical thinking（批判式思維）、Creativity（創造力），未來更有可能實現自己的夢想。
■ 課內學習的4個建議：要充分利用好在學校裏上課的時間。
1. 要知其然，也要知其所以然
有同學問我：“怎樣學習知識，才能真正記住呢？每年考完試後，好像就把所有的知識還給老師了。”
我給這位同學的回答是：“我學懂的知識以及知道如何實踐的知識，我現在都還記得；在工作中常用的知識，我全部記得；我自己感興趣的知識，記憶更加清晰、準確，就算有不記得的，也可以快速推算出來；相反，那些靠死記硬背學到的知識，或者自己不感興趣的知識，我已經全忘掉了。”
也就是說，死記硬背只能過考試關，而不能獲取受益終生的知識。你們在學三角形面積定理時，一定都會背“底乘以高除以二”的公式。但是，你有沒有理解這個公式是如何推理出來的，為什麼三角形的面積是這樣計算的。記住這個公式和探索這個公式是如何推導出來的，學習的效果是不一樣的。有的同學學習化學，如果每天只是機械地背誦一些反應式，肯定會覺得枯燥無味，但如果掌握了每個反應式內在的規律，並能和現實中的化學現象聯繫起來，就會理解化學這門學科的意義所在，自然就會對這門學科產生興趣。
只有懂得了知識背後的道理，才能在遇到新的問題時舉一反三，才能在需要的時候，靈活地將自己掌握的知識付諸實踐。
2. 要多問問題
會提問也是一種能力，而且你也會因為提問而加深對問題的理解。
我的女兒在學習指數的時候，不理解指數是什麼，更不相信在真實生活中指數有什麼用處，就主動來問我。我用計算銀行存款的思路來指導她，比如存入 100 元，每年的利息是 10%，那麼 10 年後，你的存款是多少？
通過這樣的計算，她終於明白了，原來指數知識和日常生活息息相關。而她能得到對這個問題的認識，也是因為她主動提問獲得的。
多提一個問題，你就擁有一種多瞭解這個世界的可能性。只有不懂就問，才能真正學到有用的知識。
3. 要勤奮
能夠實現自己的夢想的人，一定是勤奮的。
去美國讀中學之前，我只學過半年英語，因此，語言障礙成為我面臨的最大難關。剛開始，同學和老師說的話，我幾乎一句也聽不懂，那種感覺非常痛苦。那“催眠”一般的語速，總讓我在課堂上打起瞌睡。有時候，聽到同學們因為老師的一句笑話笑得前仰後合，我才從夢中驚醒，但還是摸不著頭腦。天書一般的英文，開始讓我有些望而卻步，後來，我乾脆帶幾本中文的武俠小說到課上去讀，因為覺得怎麼聽也聽不懂，還不如看小說。
然而，我心裏又是暗暗憋了一股勁的。於是，我找了一大本英文單詞書來背，經常背到半夜，不會的就一次次地翻厚厚的中英對照詞典。不過，沒多久，我就發現這並不是學英文的最好方法。因為，即使當時記住了一個單詞，但是使用率不高的話，就會完全忘記。我終於悟到了，在沒有語境的情況下，背單詞是沒用的。
後來，我還是下定決心用多交流的方式來學習英文。下了課，我不再膽怯，站在同學中間聽他們說話。如果 5個詞當中有 4個聽懂了，只有一個聽不懂，我也會趕緊問，同學們會再用英文解釋一遍給我聽。回家以後，我會默默回憶我聽不懂的單詞，然後記下來。而上課的時候，遇到聽不懂的內容，我也勇敢舉手問老師，請求老師再說一遍。
我遇到了一位好老師，她甚至犧牲自己的午飯時間幫我一對一地補習英文，她複印了小學一年級的課文，每天拿來給我念。從簡單的課文起步，我們堅持了一年。在這一年裏，我的英文水平迅速提高。學校裏所有的老師還允許我享受“開卷考試”的特殊待遇，她們讓我把試卷帶回家，並且告訴我題目裏不認識的單詞可以查字典，但是不能看書找答案。我每次回到家都嚴格按照老師說的做，遇到題目裏不認識的單詞就去查字典，但是從來沒有去翻書找過答案。因為，我覺得這是老師給我的最大信任，我不能辜負這份信任。
通過種種渠道的學習，我的英文終於逐漸接近同齡人的水平了。一年以後，我完全可以聽懂老師講的話了，英文會話也沒有問題了。到了初中三年級，也就是到美國兩年之後，我寫的作文居然獲得了田納西州的前十名。我想，這和我年齡小，容易接受新的語言不無關係，但也和我勤奮的學習有關。
4. 要培養獨立思考的能力
我在人生的各個階段，都獲益於獨立思考的能力。甚至想不到的是，這種批判式的獨立思考的能力，“救”了我的命。
在我五十二歲生日前不久，我在一次體檢中被查出肚子裏有數十顆“腫瘤”，經過反復復查，我被醫生宣判得了第四期淋巴癌。在毫無防備的情況下，我突然感受到死神和自己離得那麼近；我氣餒、懊悔、內疚，但是，治療過程中的一件具有轉折意義的事件發生了。
我遇到了一個好醫生。我的主治醫生唐季祿給我打氣：“淋巴癌第四期真的沒那麼嚴重，它跟肝癌、肺癌第四期是不太一樣的。”他告訴我，網絡上有兩篇專門討論“濾泡性淋巴癌存活率的預估方式”的論文，如果我有興趣，可以找出來看看。我認真地研究了唐醫生推薦的那些學術文章，發現淋巴癌的分期方式已經有四十多年了，可以說過時且不精准了。如果說只看標準的分類，我因為腫瘤數太多，所以必須歸類為第四期。但是只看腫瘤數量是最準確的嗎？根據我研究的那幾篇論文，分期的目的就是預測存活概率和時間。那麼，最準確的預測方法就是尋找和我病情足夠相似的人，根據他們的不同因素，如年齡、症狀、血液指數、腫瘤數量及大小等 20多種，和他們的實際存活結局來理解哪些因素是最重要的，並且把這些因素整合起來。這樣的研究肯定要比四十多年前的粗分類來得准！
自己研究病情，就像是自己坐在副駕駛座上，可以隨時掌握路況。醫生的治病策略、用藥思維，你至少並不是茫然無知。我又拿出以前做學術的精神，把全部20幾個特徵與我的檢查結果相對照，發現我雖然屬於第四期，但整體狀況其實沒那麼悲觀。原來醫學上對所有淋巴癌的分期方式，至少對我的病情來說是不正確的，我的情況是較輕的。於是，我突然從“第四期癌症頂多幾個月”，變成“至少還有好幾年”可以活。倘若好好照顧自己，更有可能終身不再復發！這個發現有如一線曙光，從此之後，癌症所帶來的一切負面影響，就開始悄悄起了變化。
批判性地看待醫學上對淋巴癌的分類，通過獨立思考，獨立研究的方式來獲得對自己病情的準確判斷，讓我自己從精神上獲得了新生。
■ 課外學習的3個建議：課堂外的時間，我鼓勵同學們，去探索你們熱愛的東西，多實踐，多多鍛煉自己的創造力。
5. 要動手實踐
美國華盛頓兒童博物館的牆上寫了這樣一句格言：“我聽到的會忘掉，我看到的能記住，我做過的才真正明白。”
我記得小時候，我的父親曾讓我們幾個兄弟姐妹解答這樣一個問題：用 6 根火柴拼成 4 個大小一模一樣的正三角形。通過動手實踐，我們都找到了正確的答案。這樣的實踐讓我對相關的幾何和空間知識記憶深刻，也訓練了我使用新穎的思維解決問題的能力。
我在高中時參與美國的高中生創業嘗試課程，創辦自己的公司。我們當時的公司非常簡單，就是從當地的建材市場買來鋼材，然後利用週末時間到工廠裏加工這些鋼材，我們把鋼材切成很小的一塊塊圓環，然後在圓環上刻上簡單的雕花。在負責推廣的過程中，我們發現學生的家長並不需要這樣的圓環，最後產品幾乎是內部消化掉了。
這次的親身實踐，讓當時 15 歲的我意識到，真正好的產品，不是求人去買的，而是必須有市場需求。有了這樣的認識，我在第二次的創業嘗試中就會把市場需求作為我創辦的公司的方向。從需求出發，生產有需求的產品，牢記這樣的理念，第二次的創業嘗試獲得了成功。這些對於創辦公司的經驗，都是我從實踐中一點一滴積累起來的。
只有實踐，你才能知道你的想法是否可行。
6. 要追隨自己的興趣愛好
只有做自己真正喜歡做的事情，才能做到最好。
我在上大學時，一直以為自己喜歡法律，將來想做一名律師。可是上了幾門課後，我發現自己對此毫無興趣，於是跟家人商量轉系，數學是我的一個備選項。但是，當我加入了“數學天才班”後，發現我的數學突然從“最好的”變成“最差的”。我雖是田納西州的冠軍，但當我與來自加州或紐約的“數學天才”交手時，才發現自己真的技不如人。我深深地體會到那些數學天才是因為“數學之美”而對它癡迷的，而我並非如此。我一方面羡慕他們找到了最愛，一方面遺憾自己並不是真的數學天才，也不會為了它的美而癡迷，因為我不希望我的人生意義就是為了理解數學之美。
我想到了計算機，我在高中時就對計算機有濃厚的興趣，有一次，為了解答一個複雜的數學方程式，我寫了一個程式，然後把結果打印出來。當時因為機器運行的速度太慢，我沒有等到結果打印出來就回去了。週一回到學校，我才知道我們學校所有的打印紙都被我打光了。雖然挨了老師一通罵，但我的心裏有了一股欣喜，原來這個數學方程式有無數的解，我走後，程式一直在運行，計算機就一直在打印結果。
對計算機的興趣此時在我的心中醞釀，雖然當時計算機專業算是個默默無聞的專業。接下來，我選修了一門計算機編程課，幾個月的課上下來，我發現了自己在計算機方面的天賦。我和同學們一起做編程，他們還在畫流程圖，我就已經完成了所有的題目。考試的時候，我比別人交卷的時間幾乎早了一半，我不用特別準備，也能拿高分。
通過學習計算機 , 我有了一種前所未有的震撼：未來這種技術能夠思考嗎？它能夠讓人類更有效率嗎？計算機有一天會取代人腦嗎？我感受到了一種振奮，解決這樣的問題是我一生的意義所在。
我每天都像海綿一樣吸收著知識，在一門公認為是計算機專業最難通過的“可計算性和形式語言”課上，我考了 100 分，也就是A+ 的分數，創造了該系的一個紀錄。大三大四時我就開始和研究生一起選修碩士和博士課程，接手各式各樣的項目，在這些項目中，我嘗試著攻克一個又一個的難關。畢業後，我在計算機方面創造出了一些成果。
我覺得自己是幸運的，因為我在很年輕的時候，就找到了自己熱愛的事情，並且願意為之付出一生的努力。
7. 要多培養自己的創造力
我的中學是在美國的橡樹嶺讀的，當時的感受就是，學校的功課很輕鬆，每天的家庭作業很少，但是每天有很多稀奇古怪的項目。比如，當時歷史課教到美國印第安人的時候，不是用課本告訴你發生了什麼，而是讓一個團隊寫一個話劇，或者是進行關於移民者和印第安人的辯論。
這些項目都沒有一個標準的答案，但會引導我們從不同的角度看問題，但我們的創造力和想像力，可以在這些稀奇古怪的題目中得到鍛煉。
後來，我回到北京創辦微軟中國研究院面試時，對前來面試的學生也注重的是對他們思維方式的考驗，我們向面試者提出了這樣的問題：
o 為什麼下水道的蓋子是圓形的？
o 估計一下北京一共有多少個加油站。
o 你和你的導師如果發生分歧怎麼辦？
o 給你一個非常困難的問題，你想怎樣去解決它？
o 兩條不規則的繩子，每條繩子的燃燒時間為 1小時，請在 45分鐘燒完兩條繩子。
這些題目雖然聽上去很“怪”，但我們出題的本質也不一定要聽到正確答案，而是要從回答問題的思路中聽到面試者的思維方法。
孩子們，比起試卷上的分數，我認為你們底層的思維能力，會是更珍貴的能力。你在學習每一門科目時，鍛煉出來的能力是未來最能幫助你們的事情。就像你學了代數，也許不會去研究數學，但是這對鍛煉你的思維有幫助；你學了英文，不一定會出國，但是英文可以在瞭解世界最前沿的文獻、在有效交流方面幫助你；你學了畫畫，不一定成為畫家，但是你在學習畫畫的過程中鍛煉的觀察力、空間力、想像力會對你有幫助。
過去，我們對教育成功的衡量標準是學生能不能記得被教的東西。但是未來，教育的精華體現在即使你忘記了所有你學的東西，你還具備思維方式、智慧和能力。
當你已經忘記了歷史事件發生的年代，你還是知道歷史帶給我們的人類的智慧和教訓；當你已經不會編程了，你還是有編程帶給你的邏輯思維；當你已經不會背莎士比亞的詩了，你依然懂得文學的美，這些才是教育的精華。
二項式定理計算機 在 Re: [其他] 二項式定理與多項式- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言：
: 在不定義0^0=1的前提下，
: n只能為正整數，
: 公式要如何寫才正確？
: 多項式：
: 對於項次為n+1項之多項式，
: c[0]+c[1]*x^1+c[2]*x^2+...+c[n]*x^n
: n為非負整數。
: 在定義0^0=1的前提下，
: 上式=Σc[k]*x^k{k=0到n}
: 在不定義0^0=1的前提下，
: 公式要如何寫才正確？
原本實在是不想回的....
我想你把Sigma的概念給想錯了，Σa_n只是一個記號而已，他不是公式。
Sigma的引進是為了"記和"。
在數學上，我們常需要計算一些數字的和，例如
a_1+a_2+...+a_n，
但是用"..."這樣的符號來表示是非常的語意不清。於是數學家就發明了
利用希臘字母來表示和，於是就引進了Sigma這樣的符號概念。然後大家
約定
Σ_{k=1}^{k=n}a_k =a_1+a_2+...+a_n (連加n項)
重點是在於後面的和，Sigma只是用來表示這樣的和而已。
而大家在討論多項式的時候為了不想要記a_0+\sum_{k=1}^{k=n}a_kx^k，
所以就約定x^0=1，然後多項式a_0+a_1x+...+a_nx^n就約定寫成
\sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k=a_0+a_1x+...+a_nx^n
這是方便起見。而二項式定理的情況也是類似，例如
(x+y)^n =x^n+ {n\choose 1}x^(n-1)y+...+{n\choose n-1}xy^{n-1}+y^{n}
於是約定x^0=1, y^0=1，然後就可以把和"表示成"
\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}x^(n-k)y^{k}
但實際上你要永遠清楚你在處理的問題是在求和，不是在sum =Sigma上。只是這樣的
符號實在是太好用了，好用到我們其實是可以直接用這符號來處理數學問題。
而多項式f(x)=\sum_k a_kx^k給了你，是告訴你f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n。而帶值
的方式是
f(a)=a_0+a_1a+...+a_na^n。
這在我上面那一篇回應你的0^0=1的內容就提到了。"變數"跟"數"的概念是不一樣的。
數的概念可以推廣，這也是為甚麼後來需要發展代數理論的關係。這裡的數我們談實
數體的數或複數體的數。甚至是更一般的體(field)的數都可以用來研究多項式。事實
上多項式的系數並不需要要求在一般的體，你可以研究係數在一般的環的多項式。
"變數"的概念就不同了，在代數學中你可以抽象的引進形式上的符號(formal variable)
建構一套以這個變數為出發點的代數理論。
數學在過去一兩百年已經完整的建構了最基礎的分析，代數體系。這是經歷了數百位
著名的數學家的努力才足以完成。數學不只有算術，最重要的是他必須要建立一套嚴
謹的理論:在公設系統出發之下建立的任何命題，推論，定理都是不能產生自相矛盾的。
你當然可以更改公設系統發展出另外一套的數學理論。例如從歐幾里得幾何學到
非歐幾里得幾何學的發展就是這樣的一個過程。只是你建立的數學系統是否能用到數學
其他的領域才是最重要的。
如果你真的想繼續討論下去，你真的必須要用更多的理由來說服大家0^0=1是重要的。
上面的代數理論並不是為了逃避0^0=1才發展的。這是為了建構完整的多項式理論發展
的，(推廣多項式到更一般的環上)在推廣這樣的理論時根本就用不到0^0=1。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 195.37.209.182
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (12/02 20:49)
你的定義只能局限在某些問題，卻不能推廣到更一般不含1的環上，我的專業回答
就是告訴你這件事。如果你真的想討論，建議你去讀高等代數，再來討論。
不然你是無法跟數學專業的人溝通的。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/04 20:44)
集合的二元運算有很多種，假設a,b是實數，你可以定義a*b =a+b+1。
那麼0* b = b+1就不是你說的0了。
如果你能花點時間學習代數學，你就可以體會為什麼數學家經歷了這幾百年要如此的
定義。你要跟人溝通之前，你也應該尊重別人的專業。科學的目的就是客觀，是大家
必須認可的。如果你只想堅持自己的意見而不聽別人的想法，溝通。那麼你的東西永
遠都不會被拿來使用，永遠不會被承認是科學。
所以推薦一下:Herstein, Topics in algebra
Hungerford, Algebra
Jacobson, Basic Algebra
S.Lang, Algebra
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/04 22:02)
這個定義目前來說也只是一個notation，還不能說他有甚麼意義。
因為你沒辦法說1是甚麼，0是甚麼。
那假如我們今天的出發點是，假設R是一個具有單位元素的環。
我們記0^0=1。那麼我們希望定義一套理論，是合理的使用0^0=1。
好，假設今天是交換環，ab=ba, ab屬於R。
那麼我們可以證明多項式定理(或二項式定理)成立(n>=1)。
可以說明0^0=1讓二項式定理在n=0成立。
但多項式環R[x]中的x，並非R中的元素。你並不能說x^0=1，就是來自於偷用0^0=1。
因為即使你定義了0^0=1，a^0=1，這些a都是存在在R中與x無關元素。
這就是你沒搞清楚的點。x是一個變數，並不一定要屬於R。
你的0, 1, a,b 都是R中的東西。所以x^0=1並沒有偷用你0^0=1
的定義。
即便是你考慮實係數多項式|R[x]，x也是一個變數，並非實數。
如果你只能要求x是實數，那麼代數理論會走不下去。因為
|R[x]=|R
當x是實數的時候。也就是說，你根本就沒有多項式理論，更不用談
體擴張，更不用講代數幾何了。所以照你的定義才是真正的危險。
數學理論可以不用發展了，代數幾何課本都可以拿去茅坑丟掉。
所以你要搞清楚一點，0^0=1跟x^0=1是兩回事，這兩者的意義根本就
不同。這就是為什麼大家叫你去讀代數學的書。你根本連變數跟係數
都分不清楚，你要怎麼讓大家去信服你的理論。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/07 08:51)
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/07 08:52)
假如f:X-> R是一個實值函數，其中X可以代表著複數集合或是實數集合(或是定義在其他
field的子集合，甚至是一般的集合都可以)。
如果f(x)=c，其中c式一個常數。那麼請問f(0)等於多少?
如果把多項式視為定義在體上的函數也無不可，那麼就你的問題，我們來看。
f(x)=a_0 + a_1x+...+a_nx^n
試問f(0)等於多少?要不要用到0^0的定義?答案當然很顯然，f(0)=a_0，這不需要用到
0^0=1。我們只是把1記為x^0，所以 f(x)=a_0x^0+a_1x+....+a_nx^n。
定義g(x)=a_0，那麼f(x)=g(x)+\sum_k=1^n a_kx^k。
那麼請問f(0)為多少?答案g(0)，也就式a_0。那這裡有沒有用到0^0=1?沒有。
你所謂的公式不是式，我已經強調很多遍了，那只是notation。你的函數本身
在常數項a_0 =a_0x^0，只是代表著把1記為x^0 (咱們就先考慮複數體，有1的)
那麼0^0=1也非必要定義。
當a,b是數(實數，複數，或是任何交換環中的元素)時二項式定理成立。
當x,y是變數(variable)的時候，x,y之間不存在任何關係，二項式定理不存在。
當x,y是非交換環中的元素，且xy不等於yx時，二項式定理不成立。
二項式定理你去看中學課本，會告訴你x,y是數。
你應該搞清楚x,y是數跟變數的差異，就會知道你搞不清楚的點在哪。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.144.231 (12/08 09:20)
yee大師的意見很好。我認為教學的時候要講清楚公式的使用條件。
而二項式定理我也會告訴學生，當b=0時， (a+b)^n =a^n 是不需
要用到任何公式的，因為這是指數律的定義。a^n = a*...*a 有n個。
當a,b均是不為零的時數時，我們可以如何計算呢?a^0=1=b^0在
a,b均不為零的時候是沒有爭議的，因此(a+b)^1= a^1 +b^1
(a+b)^n =a^n+...+b^n,這裡的...yee大師應該知道是甚麼。
既然當a,b均不為零時，a^0=b^0=1，我們就把
(a+b)^n = sum ..., 這裡的...yee大師也知道是甚麼.
在教學的時後的確要小心，真的不能亂用。
特別是會告訴她們0^0在數學界的共識就是未定義，不要聽信網路上的謠言說0^0=1。
老師們在教書的時候要特別小心的告訴學生，使用公式定裡的條件是甚麼。
因為這是數學系的基本訓練。yee大師一個業餘的數學家可以做到如此程度，熱血，
也真是令人無比佩服。
本來不想談政治的。不過我們就好像一個是李登輝，一個是馬英九。
馬英九說有九二共識，李登輝說九二沒有共識。無法有交集。
但政治的敏感話題跟科學是兩回事。政治上很多事情很模糊，可是數學的定義
是不允許模糊。所有世界上著名的數學家都不認為你說的0^0=1有其必要性，
因為我們在學代數理論時，從頭到尾都沒談到0^0=1。任何一本代數課本都沒提。
但是知道為何他不被定義為1就是因為他具有爭議性，例如我們跟你無法在0^0=1
上取得一個共同的認知，那麼最好的共識就是讓他沒定義。即便是定義了他，
我們也沒有實際的用途。二項式定理我們通常會使用在(x+y)^n，當n不為零時。
如果你讓n=0定義為1，你實際上只是在使用1，並沒有使用到0^0=1。
或許更可以理解的說法是"把1記為x^0。"你的f(x)=a_0，你帶任何值都是a_0，
是常數函數。
我們一值都在說明，除了你之外，大家都可以理解。是你無法接受這種說法。
數學家也是很忙，沒空理這種問題。只是出於一個想法，希望寫一些東西，
能夠讓其他人不被你的這種說法誤導，同時也讓大家更清楚代數理論的重要
在哪。因為很多數學系的學生覺得代數很抽象就不去學，但實際上他是一套
建立"數學架構"的過程。
挑戰權威當然很好，可是你必須要有根基。如果你把這樣的精神拿去解
homological mirror symmetry conjecture，我會很佩服。但如果要用0^0=1
來批判數學界怎樣就不必了。因為那是沒意義的，數學界是已經達到共識
0^0是甚麼。
也歡迎你來讀數學。Witten是從經濟轉到物理，相信你也可以從你現在的領域
跨足數學的。當然，前提記得有空可以看一看
Topics in Algebra, by I.N. Herstein
這一本真的是很好的入門書，淺顯易懂。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 07:52)
請問閣下有幾年的教學經驗?
不知道你怎們教 學生甚麼叫a^n?有用到0^0=1的定義嗎?
即便你每次都忽略沒看到，我們還是很有耐心。
交換群是具有群結構並且二元運算是教換的，跟變數的關係在哪?
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 12:40)
成立的原因並非二項式定理，你並不能說因為二項式定理的關係所以(a+0)^n = a^n。
這邏輯就不對了，因為你是先有了指數律，才有二項式定理。
但你可以說，(a+b)^n=a^n是當b=0時的二項式定理。
而成立的原因是指數律的定義，並不需要0^0=1。
一般的書不會提這種形式的二項式定理，因為這是非常顯然的，
來自於指數律的定義。那如果要仔細寫的話，你也是可以把這段話含進去，
但那只是指數律而已，你並沒有真正講甚麼東西。
二項式定理的精神在於當a,b均不為零的時候你想去計算(a+b)^n。
其中一項為零，就單純的回到指數律。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 13:05)
真的要寫出來試得寫成(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+...+C(n,n-1)xy^{n-1}+y^n
這才是二項式定理的公式，Sigma只是把這個公式寫成notation的形式
為了要說明...是甚麼
然後產生命題，定理。只要在他那套公設系統下，他的邏輯命題一切不互產生矛
盾的，基本上，你的理論就是合理。
但是二項式定理，跟多項式理論不成為你定義0^0=1的理由就在於他已經是個完備
的的理論，並不需要用到0^0=1的定義。這一點你一直無法認清。而理由下面那篇
文也已經給出來了。
數學不是一門誰比較老，誰說話就比較大聲的學問。一切都是根據定義出發。
但是他是一門專業的學問，如果你要批評專業，你就必須要從專業出發。這是
為甚麼一再的建議你閱讀代數書的原因。代數書提供的是二項式定理，還有
多項式理論的理論知識。如果你要從非代數得的角度出發也可以，從分析的觀點
0^0=1不被允許理由就是lim(x,y)->(0,0)x^y極限不存在。那麼從代數的角度，
0沒有乘法反元素，以及多項式理論不需要用到0^0=1自然就給了他不被定義的理
由。如果從集合論的角度出發0^0=1被定義為1是有意思的。理由xcycl已經說明了。
今天，所有的數學理論基本上都是由分析學與代數學出發，分析學既然無法接受
那樣的定義你當然得從代數學出發。為何數學家的共識是讓他不被定義好?
一個好的定義是必須要通盤(universally true)的正確，並且是跨領域的。
一個東西非常有用，即便看起來不是對的，數學家也會想辦法讓他有他的理論。
最好的例子就是迪拉克分配函數。迪拉克分配函數並不是函數，他的物理定義是:
δ(x-x_0) = 無限大 當x=x_0, =0 當x不等於x_0。
這種東西當然不是函數，因為實數不存在無限大。數學家為了讓這套理論成立，
發展了分配理論(distribution theory)。L schwartz因此拿到費爾茲獎。
數學上有太多理論的發展就是因為他看起來不太對，但是又太有用了，所以才
努力的建構出一套系統，讓他在那套系統下的意義是對的。
更不用說弦理論中的模空間理論或是量子場論中許多牽扯無限的東西。
上面談到的homological mirror symmetry也是一個例子。當物理學家恣意的
使用超對稱理論解釋兩種超弦理論的對偶性，這套理論實在是太美了，美到
數學家需要建構一套理論去陳述他。
今天0^0=1並沒有那樣的魅力，至今看不出他的用處在哪。當然很歡迎您來發展。
數學是有其彈性，但他沒有用，大家就不會去定義他。頂多只是把他當notation。
上面寫的Dirac delta function也只是一個notation，實際上你必須要把他看成是
線性泛函才有意義。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/13 10:07)
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/13 13:34)
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