關於 今日 既 我 無 極限 ，我們在網路上蒐集到這些相關的討論、資訊與評價

《恥辱》

👿：好耐無見

🥸：稀客喎，你最近點啊？等等，如果你轉左做保險既就唔需要喇

👿：放心，無轉，我都係寫野

🥸：咁就好，疫情好多人轉左做保險，真係講明先好，唔係一陣約食飯約飲野，最後講一輪先話想要單，但我又比唔到單佢地就尷尬喇，無謂浪費大家時間嘛

👿：最近如果有Job，我可以接，麻煩你幫我留意下

🥸：你竟然主動接Job？之前我彈比你又推又盛，你最近唔多掂？

👿：還好，但我需要搵多少少，唔可以再咁任性

🥸：遲醒都好過唔醒既，當年我都話你任性，叫你儲返多少少錢，你當時咁瀟灑，依家係咪諗返我講既野無錯先！當年你聽我講，你依家就未至於咁煩啦

👿：係，我太遲先長大，所以依家要急起直追

🥸：喂先生，唔係話追就追，你真係當我係遙控器？想暫停就暫停，想快進就快進，我係凡人，只係一直播放

👿：我無咁既意思，只係如果你有野需要幫手，可以隨時搵我，價錢可以商量

🥸：唔係商唔商量既問題，你唔係度既時候，我已經搵左幾個人，同佢地夾左唔少時間，疫情工作都少，我要抽出黎比你，咁呢幾年一直幫我手既人我又點交代呢？

👿：明既明既，如果佢地唔得閒，又或者你想有再平既價錢，我可能幫到你手

🥸：不如你黎幫我打工啦，我最近都想請個全職，唔想再夾自由人

👿：唔……全職我幫唔到手

🥸：價錢可以傾，大家咁熟，我出到33比你，都唔錯啦

👿：係吸引既，但我真係唔得

🥸：好好好，我唔希望兩三年後，你又搵返我，然後後悔你今日無做呢份工啦

👿：我唔會既

🥸：你發生咩事

👿：需要錢

🥸：需要錢你就應該做全職啦，最多我比彈性你

👿：唔係彈性問題，而係我有自己打算

🥸：唔講得你需要錢黎做乜？

👿：唔太方便

🥸：如果要借……以我地交情，我可以當係借住糧比你先，20萬，係我極限

👿：多謝你先，暫時唔需要，如果我需要，我一定會搵你

🥸：好，有句野我想同你講，恥辱，會令一個男人成長，一時恥辱比起一世失敗簡單得多，比心機！

👿：知道，我明你講既野，多謝

🥸：搵日飲野，我介紹朋友你識，今時今日識人好過識字

👿：當然好，你比時間我就得

🥸：我再搵你

#長傾不見 #好久不見 #蔣薇

【處處極限不存在的函數】
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　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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　　那麼，該怎麼辦呢？
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　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

【為什麼學微積分要先學極限？】
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　　微積分是一門關於微分與積分的學問，微分是探究瞬間變化程度的學問，積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率（瞬時速度），那就需要微分；又例如計算一區域在地圖上的面積，那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動，又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形，那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積；但是，一般而言，運動物體不會是等速度運動，而地圖上的區域大多是不規則的，因此，微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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　　不過，既然是要學「微分」和「積分」，那關「極限」什麼事呢？是這樣的，在有微積分以前，人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度，也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題，我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索，看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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　　就瞬時速度而言，我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度，也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想，一個正在用不規律速度行駛的車子，他前進的速度本來就會有時快、有時慢，那麼，我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢？如果這個量值越大，就代表速度越快，反之代表速度越慢？這乍聽下來好像可行，但在還沒有微積分的時代裡，若再進一步細想下去，就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度，就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置；然而，瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說，實作上在求瞬時速度的時候，會遇到一個難題，那就是只有一個時間的位置，所以無法求速度。
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　　為了解決這個問題，我們退而求其次地，在所關心的時間點以外，物體運動的時間範圍內，離所關心的時間點附近再取一個時間點，然後用這兩個時間點的速度，來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字，顯而易見地，就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度，因為只要多取出來的時間點不一樣，就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用，而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡，我們必須引進一個新的概念，那就是「極限」。
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　　既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度，那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢？這是一個相當好的想法，雖然可能還有很多細節需要處理，但基本上這個逼近的動作，已經解決了算瞬時速度的問題，這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣，都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣（當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的，而這部分確實後來的數學家有順利解決，我們在此暫不討論，也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章）。
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　　因此，後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度，而這個方案裡面的計算方式，在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後，就發展成了日後我們講的微分，而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念，其動作最後也就是我們講的「取極限」，所以為什麼在學微分之前要先學極限？因為微分這個動作，其本質就是取極限的過程。
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　　積分也有類似的過程，為了算不規則的區域面積，我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形（邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點），然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積；但很顯而易見地，這些矩形面積和並非原本要求的區域面積，所以我們就把這些矩形分割得越來越細，只要這些矩形能夠分割得越細，他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近，姑且不論其實作的細節，這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程，也用到了「極限」的概念。
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　　所以如果你打開微積分的課本，卻在一開始看見要學一整章的「極限」時，請不要意外，因為學數學就像蓋一棟樓一樣，你或許期待微積分這棟樓能建得高大，但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基，而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好，後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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　　而要學習極限，雖然有一段路要走，但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片，如果想從零開始學習微積分的話，可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起，我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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香港今日社論2020年08月08日(100蚊花旦頭)
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明報社評
行政長官林鄭月娥公布中央協助本港防疫框架，包括加強新冠病毒檢測和設立社區醫療設施。人類須與新冠病毒共存情况下，這兩個項目切合本港需要，其中加強病毒檢測，可以讓本港掌握更多疫情狀况，有利於商業活動運行，經濟不至一直沉落。期望政府妥善安排，市民積極配合，使病毒普及檢測工作有序順利開展，為社會和經濟回復相對正常狀態，創造條件。新冠病毒其中使人不安之處，是一個人感染之後，沒有病徵，卻可以傳播病毒給其他人而發病。這類隱性感染者有可能是超級傳播者，成為社區重大隱患。本港第三波疫情確診個案，迄昨累積約3850宗，其中40%本地個案不知道源頭，顯示第三波疫情高踞不下（到昨日還有89宗確診），或與四成個案源頭不明有一定關係。

蘋果頭條
美國財政部香港時間周五晚突然公佈有關香港官員的制裁名單，包括11名特區政府多位主要官員及中共對港事務的官員，當中除特首林鄭月娥、港澳辦主任夏寶龍、副主任張曉明及中聯辦主任駱惠寧外，港區國安委秘書長陳國基、現任及前任警務處處長鄧炳強與盧偉聰等亦榜上有名。早前獲兼任港區國安委秘書長，特首辦主任陳國基晚上接受《蘋果》訪問時回應指，自己對美國制裁「冇回應」，又指自己在美國沒有資產。他說：「總之我哋依正規矩去做嘢」。對於上任特首辦主任最終令到自己被美國制裁，可感後悔？他說：「我冇後悔、冇後悔。」早前特首林鄭月娥曾回應可能被美國制裁時，亦指自己在美國沒有資產，以及認為美國對她作出制裁無理。

東方正論
爭議多時的全民檢測終於落實。港府公布，三間國家級在港機構將負責為全港市民檢測病毒，費用全免，最快兩星期後展開。誠然，本港疫情嚴峻，政府檢測能力已到極限，要求中央出手可謂應有之義。然而，全民檢測仍有許多問題未解，包括並非強制性，而且沒有居家令等配套配合，加上不少市民逢中必疑，政客逢中必反，在種種條件皆不成熟下，隨時事倍功半，好事也變壞事。特首林鄭月娥昨日率領官員一同宣布新防疫措施，最矚目的是改建西區中山紀念公園體育館為「火眼實驗室」，由內地支援隊成員協助，並由三間內地在港機構負責全民核酸檢測。

星島社論
美國財政部昨日宣布制裁十一名中港官員，包括香港特區行政長官林鄭月娥、律政司司長鄭若驊、保安局局長李家超、警務處處長鄧炳強、港澳辦主任夏寶龍及副主任張曉明、中聯辦主任駱惠寧等。十一名被制裁官員在美國的財產將被扣押。美國財政部昨日稱，今次制裁，是基於總統特朗普在上月十四日發布的行政命令，認為中國最近所為從根本上削弱香港自治與民主進程，遂對於從事「惡性活動」者作出制裁。財長努欽發表聲明說：「美國與香港人站在同一陣線，我們將使用我們的工具和權威，來打擊那些削弱香港自治的人。」

經濟社評
新冠肺炎疫情持續，本港的病毒檢測連月來遭詬病既少且慢，港府早前求助中央後，終能大幅提升能力，最快兩星期後展開全民社區檢測。人命關天，坊間卻出現抹黑陰謀論，諸如基因樣本將送內地，不單屬無的放矢，蠱惑人心，更是草菅人命，因政治利益喪失良知，公眾可從新聞中見到這些政棍敗類。全民檢測是邁出抗疫一大步，港府應盡快虛心與醫療專家敲定採樣方式、收發樣本等細節，且多加解說背後考量，增加誘因鼓勵檢驗，以換取最大抗疫效果，助社會、經濟盡快復常。