不定积分一章的难点主要在于不定积分运算的各种技. 巧,本章重点介绍这些技巧以及他们的使用时机。 1.1 不定积分的定义. 首先我们给出不定积分的定义. 定义1.1. 设函数 ... ... <看更多>
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代換 積分 使用 時機 在 Re: [問題] 微積分需要背到什麼程度- 看板Transfer 的推薦與評價
你知道夾擠定理以及那些時機適合使用嗎? 如|x*sin(1/x)|≦|x|→0 是一個經典的例子。 .你知道底數與指數都為x的函數時可以使用換底公式嗎? .你 ... ... <看更多>
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icchenk; 個人積分:4554分 文章編號:80372740. 4554分. 4樓. 2021-01-06 10:30. 使用時機:長時間下山要用,使用引擎煞車,可以避免汽車煞車片過熱的 ... ... <看更多>
代換 積分 使用 時機 在 Re: [微積] 代換積分法的技巧- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《wa007123456 (大笨羊)》之銘言:
: 各位好
: 小弟最近才剛學到一些基本的積分技巧
: 還有變化最多的 "代換積分法"
: 小弟很笨 只能處理類似
: ∫(4x+3)^9 dx 很明顯的積分(把 u=4x+3)
: 但是對於
: ∫1/√x(1+√x)^2 dx 就顯得棘手
: 我想把 u 設成 u=1+√x 去當中間變數去做
: 可是後面往往會搞不清楚自己在做甚麼
: 例如 我會故意想寫成
: du=(1/2√x)dx
: 然後 又把上式變成不對的形式
: ∫(1/√x*u^2) dx ...... <=可以這樣寫嗎?
: 然後再把dx換成du ....
: 結果就錯了
: 因為我是自學 顯得有點吃力
: 希望各位版友能提供意見學習 感謝><
你的問題應該在於混淆了令中間變數之後的代換
事情是這樣的
就拿你的 ∫(1/[√x(1+√x)^2]) dx 為例
當你令了一個中間變數之後 (例如 u = 1+√x)
操作方向一般來說有兩個
一是上式直接微分, 變成 du = (1/2√x) dx
然後在被積函數裡想辦法湊出微分後的右半邊
這裡可以看到把分母的 √x 分開之後, 乘 2 除 2 可以得到我們要的東西:
∫(2/(1+√x)^2) (1/2√x)dx
湊出東西來之後那一團就代換成 du, 再把剩下的 x 換成 u
就能得到 ∫(2/u^2) du
另一個方向是將原變數以中間變數表示, 以上例就是 x = (u-1)^2
對這裡做微分得到 dx = 2(u-1)du 把這個直接代進原積分式裡化簡
其他的 x 也一樣換成 u
這樣就變成 ∫(1/[(u-1)u^2]) 2(u-1)du 一樣能化簡成 ∫(2/u^2) du
兩個方向的選擇基本上以好做為主, 好湊就用前者, 不好湊還是能用後者來代
你所謂簡單的狀況只是微分的式子裡面不含變數, 所以兩種做法看起來一樣
(u = 4x+3 => du = 4dx; x = (u-3)/4 => dx = du/4
不管用湊的用代的接下來的過程都差不多)
但當裡面有變數時, 前者會留下原變數 (du = (1/2√x) dx 在 du 和 dx 之外是 x)
後者會留下中間變數 (dx = 2(u-1)du 在 du 和 dx 之外是 u)
形式不一樣操作也就不一樣, 然後你就把兩種操作給混在一起了才會搞不懂
要記住的是變數變換的目標是把所有原變數換成中間變數
那要怎麼換就要看你所得到的關係式才來決定要怎麼換
--
'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.30.32
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1496314784.A.5B6.html
※ 編輯: LPH66 (140.112.30.32), 06/01/2017 19:00:48
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