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【張旭無限教室 第一期老師群介紹列車啟動！EP06】
【微分方程：林劭老師】
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台大數學研究所畢業的林劭老師
要教大學微分方程實在是太輕鬆了！
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今年暑假
林劭老師、萊恩老師、丈哥和張旭老師
四人將聯手製作工程數學教學影片
林劭老師負責微分方程的部分
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微分方程是大多數工數的第一章
對很多理工學院來說相當的重要
因為那就是把現實世界的問題模型化以後
用微積分這個工具解出答案的一個範例
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像物理學、化學、生物學甚至是社會學
在研究他們領域的問題時
就很容易會出現微分方程
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這個時候如果你學過微分方程
就能解決這類問題
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不過，在解決實際問題以前
把微分方程學好
當你在修工程數學這門科目時
第一次段考就能拿高分
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今年八月
林劭老師將會拍攝微分方程教學影片
部分公開於張旭老師的頻道
若你下學期要修工數或微分方程了
這樣的課程值得一看！
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林劭老師微分方程完整課程
預計今年九月起陸續在張旭無限教室上架！
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更多相關連結請看本文下面
張旭老師的留言👇
佳句在此：坊間同樣流傳馬英九以僑生身份加分進入台大，但是同樣未獲證實。不過據和陳文成交談過的人，聽到馬英九談話後，認為兩人的資質差異明顯。我想大概就和聽到唐鳳與柯文哲談話時的感受差不多吧。
★★★★★★★★★★★★★★★
沈榮欽
儘管身處武漢病毒時期，台灣自製的「飛鼠一號」火箭依舊預定於日前發射，可惜因為天候不良而延期。飛鼠一號是晉陞太空科技公司的第一枚火箭，晉陞太空是由董事長陳彥升與台灣民間企業家合資成立，曾經在NASA工作的陳彥升回憶道，當初願意從美國回到台灣，就是為了幫助台灣發射衛星。
陳彥升說他也和很多台灣人一樣，高三就加入國民黨，認為是忠黨愛國。直到1981年他從美國回台灣辦婚禮時，正好發生陳文成命案，他心中大受震動，久久不能平復，回美國後積極從事台灣民主運動。
1981年回台灣的還有另一位哈佛大學博士馬英九，近日他批評蔡政府不願出口口罩給中國後，又因為武漢肺炎包機事件以人權批評蔡政府。在國內人權帽子亂飛之際，我忍不住寫下陳文成與馬英九的大事記，為人權做個小小的註解。
*****
1950年，陳文成出生於台北縣，馬英九出生於香港。
1965年，陳文成與馬英九進入建國中學就讀。
陳文成在建中時期聰明絕頂，數學尤佳，經常教導同學；熱情洋溢，又好運動，文武雙全。
馬英九高中時期喜踢足球，據同學說數學不佳。坊間流傳馬英九以僑生身份加分才能進建中就讀，但是未獲馬英九證實。
1968年，陳文成與馬英九進入台灣大學就讀。
陳文成原本計畫就讀台大醫學系，但是因為色盲，以聯考成績全國第二名進入台大數學系就讀。陳文成在台大數學系就讀時，依舊表現極為優異。
馬英九就讀台大法律系時，積極參與國民黨活動以及參加保釣運動。
坊間同樣流傳馬英九以僑生身份加分進入台大，但是同樣未獲證實。不過據和陳文成交談過的人，聽到馬英九談話後，認為兩人的資質差異明顯。我想大概就和聽到唐鳳與柯文哲談話時的感受差不多吧。
1972年，兩人入伍服役。陳文成服役時順便發明了「自動計價器」，並在台灣擁有專利。
1974年，兩人退伍。馬英九以國民黨中山獎學金赴美紐約大學就讀法律碩士。陳文成則進入台大數學研究所就讀。
1975年，陳文成以密西根大學獎學金進入密西根大學就讀數學研究所。
1976年，陳文成與馬英九同時取得碩士學位。陳文成繼續在密西根大學就讀數學博士，馬英九進入哈佛大學就讀法學博士。
陳文成在美國就讀期間，開始參與台灣民主運動，馬英九則是化名為「葉武台」，擔任國民黨的抓耙仔，告密參與民主運動的留學生。
1978年，陳文成因為表現極為傑出，在極短的時間內取得數學博士，並且發表論文於學術期刊，學界頗為驚艷，因此得以進入當時鼎盛的卡內基學派的卡內基美倫大學擔任教職。
馬英九繼續在哈佛大學就讀，根據後來自述，當時因為參與太多的政治活動，所以博士唸得不順，曠日費時。
1981年，陳文成與妻子和新生兒返台時，被警總約談後，竟然陳屍台大校園，據信與他在美國從事台灣民主運動時，被抓耙仔告密有關。
同年，自稱參與過多政治活動的馬英九，終於在哈佛大學畢業。返台後，參加已經因「走後門」而被廢除的甲等特考，當時三位考生中，馬英九筆試並非最高分，但是口試後立刻逆轉，通過甲考而進入政府部門服務，一直到後來擔任總統為止，陳文成的沉冤依舊未雪。
ps.
其實陳文成與馬英九對比的故事，就是絕佳的電影題材，比之韓國的《1987：黎明到來的那一天》、《我只是個計程車司機》、《辯護人》，戲劇張力有過之而無不及呀。
1981年，卡內基美隆大學校長Richard Cyert 聽說他們學校統計系有位助理教授陳文成，回台時在政府約談後，死於台灣的台灣大學校園內，Cyert 本人也是統計與經濟學出身的，對這個消息感到十分震驚，他知道台灣並非民主國家，對於愛好民主的陳文成是否遭到當局政治謀殺感到不安，立刻派遣學校代表與法醫到台灣了解經過。
儘管台灣警方在第一時間就公布陳文成乃是畏罪自殺，但是疑點重重，Cyert 並不相信，立刻發表聲明，希望國民黨政府能公佈真相，並聯繫美國國務院，希望能夠立刻聯絡台灣當局，確保陳文成的妻子-\-\陳素貞母子的安全。更在接受美聯社訪問時，直接表示他認為陳文成很可能死於政治因素。
Cyert 親自主持了校內的追悼會，並在美國國會的聽證會上，抨擊台灣警方與監察院的調查報告，表示陳文成的死亡令台灣人民感到恐懼。然後親自寫信給台灣總統蔣經國，不僅希望能夠讓真相水落石出，更要求確保陳素貞母子的安全，並在經濟上給予他們協助。
代表Cyert 的法醫表示陳文成死於謀殺，而非自殺，但是要求將遺體進一步的分析卻遭到台灣當局的拒絕，只得倖倖然回到美國。當時美國大學內有不少台灣的職業學生，專門搜集國外台灣人情資，包括哈佛大學等常春藤名校都有，如知名的葉武台，於陳文成遇害當年取得博士學位返台。陳文成事件後，Cyert 在卡內基美隆大學內設置熱線，禁止職業學生與特務打小報告，一經證實，學校會立刻開除職業學生，絕不寬貸。
Cyert 後來又與美國國會合作，對台灣政府施壓保障人權，甚至要求美國政府停止對台軍售，直到台灣改善人權為止，因此當時的台灣政府並不喜歡他。
Cyert 是卡內基學派三巨頭之一，以Herbert Simon 為首，卡內基學派的特色是跨領域研究，以Simon 為例，他是政治系出身，專攻理性的限制，沿著這條線，每隔一段時間就換個領域，研究經濟學時期獲得諾貝爾經濟學獎，研究人工智慧時期獲得圖寧獎，此外，他還研究過公共行政、政治學、心理學、社會學與組織理論等學問，每一門都獲得該領域的最高獎項，但是當中只有心理學算是長期興趣。所以人們說Simon 有五個腦袋，問題是他隨便拿出哪一個，都比你更聰明。好不容易等到他年紀大了之後，人們說Simon 終於慢下來了，不過還是比你我更快一點。
卡內基學派在政治上較偏自由派，Simon 在尼克森與季辛吉之後，便一直與中國保持學術往來。三巨頭之中，Cyert 的行政能力最佳，所以除了共同創辦卡內基美隆大學商學院之外，還一路從院長當到校長，中間雖然經過麥卡錫主義的威脅，但是依舊一路挺過。
Cyert 他們的興趣是要辦一個不一樣的商學院，所有科系教授混合辦公室，鼓勵跨領域研究，更鼓勵用餐時彼此聊天，不過我也曾聽說，Simon 在學校餐廳的聊天，有時也會令人心裡有點不快，明明是自己最擅長的領域，但是這老先生總是硬要在你的主場對你灌籃。
Cyert 他們創辦出一個十分特異的商學院，聘請一些特殊的教授，比如說Miller 本來對財務沒興趣，後來加入後被說服這是一個具有未來性的領域，因此獲得諾貝爾獎，還有Modigliani 也成同樣成為財務理論之父，得到諾貝爾獎。
跨領域也代表商學院中有彼此相衝突的學者並存，例如和卡內基學派相反的理性預期學派也是由Muth在那誕生，Lucas 後來也因此得了諾貝爾獎。
卡內基學派更促成了當時的博士班學生Williamson日後創立了影響力更大的交易成本學派，後來也獲得諾貝爾獎。順道一提，Williamson 的第一位助理Sargent 後來也是諾貝爾獎得主。
同時，Cyert 也是令卡內基美隆大學至今仍為世界電腦頂尖學府的重要人物，他在八零年代要將全校網路化，雖然在今天顯得稀鬆平常，但是高昂的費用，在當時極為罕見。Cyert 運用其高明的行政手段，先令不少學校教授體會其重要性，再一舉提出，果然順利過關，至今學校仍然受益，從Google 到 Tesla，無不搶著雇用該校師生。
組織理論與策略學者更不用說了，名人輩出，Cyert 和 March 的廠商行為理論正是這種跨領域的產物，至今仍是經典。當時他們還聘請了White，他獲得理論物理學博士之後，又跑去拿個社會學博士，用數學寫社會學並非當時主流，不為多數學校所喜，卻是卡內基所好，所以他也到卡內基美隆任教，後來到哈佛社會系，指導博士班學生Granovetter，開創了甚具影嚮力的社會網路理論，至今仍大行其道，White 之後又到哥倫比亞大學社會系去，卻找個機械博士Watts，開啟了小世界理論的研究，大放異彩，再次影響了多個領域的研究。
總之，Cyert 等三人開放的心胸，開啟了一個了不起的時代，雖然今日Cyert 與 Simon 皆已過世，獨留March 在人間，卡內基學派也煙消雲散，但是他們所開創出的燦爛煙火，曾經如此放肆地照耀黑暗的天際，彗星尾巴拖曳的光亮與溫度至今猶存人間。
是誰摔死了陳文成？
陳文成的死亡報告上面寫著:「高處墜落，出血過多休克致死。」收到這份報告時，他的父親陳庭茂生氣的說：「哪有墜樓的人頭、 手、足都完好的道理？我兒子絕不是墜樓死亡，絕對不是，我不要那張死亡證明！」
我們先說說，誰是陳文成。
陳文成，18歲參加聯考，以全國第二名成績考上台大數學系，退役後考上台大數學研究所，半年後拿到美國密西根大學數學所獎學金，赴美一年後拿到碩士學位及精算師執照，僅僅兩年後就以第一名成績拿到博士學位，並留在美國大學任教。
在美期間，陳文成始終心繫台灣，當時任教的大學校長曾勸他歸化美籍，陳文成回答：「台灣是我的故鄉，台灣的山才是山，台灣的水才是水。」他積極參與同鄉會的各項人權遊行，曾當眾焚毀蔣經國照片，並在寄給美麗島雜誌的捐款支票上，光明正大寫了自己的姓名，也埋下了禍根。
1981年5月19日，闊別六年後，陳文成帶著妻子及未滿一歲的兒子從美國返台探親，第一次，也是最後一次。
6月30日，陳文成遭警總約談，問了他兩個名字，陳文成當下沒想起來：好客的他，曾經人介紹，讓其中一人在他家中借宿一晚，那人當時正四處奔走找人翻譯《美麗島》雜誌。
7月1日，陳文成原本買好機票這天回美國，但警總不發出境證走不了，意外回不了美國的陳文成，晚上家人聚餐時刻意隱瞞了被約談的事，陳庭茂先生之後都一直記得，陳文成當天那一語成讖的謊：
「爸，我想我這一去不知道什麼時候回來，所以想多待幾天，陪你。」
7月2日，三個大漢闖進陳家門出示警總傳票，陳文成的太太表示要保留傳票，但對方不肯給，說是要拿回去交差，就這樣，未留下任何憑據，陳文成被三人帶走，時間是早上8點半。
為了心愛的故鄉和家人，他千里歸來，但佔據故鄉的殖民政府卻將他從家裡帶走，一去不返。
7月3日的清晨6點，陳文成被發現陳屍在台大校園草皮，他的人生，永遠地停留在31歲。官方的說法是「畏罪自殺」，死亡證明書寫的是「高處墜落，出血過多休克致死」。
警察不讓家屬到現場認屍，一直拖延到晚上7點半，家屬才在殯儀館見到他的屍體。他的父親陳庭茂先生在他所著的《我的轉捩點》一書中，是這樣描寫當時他見到的、他最心愛的兒子：
「手肘、手指都是刺洞，大腿瘀黑，頭歪在一邊。眼睛睜得大大的，我幫他閤上眼，一碰他的頭，血就從嘴角流下來。媳婦說，阿爸，阿成這樣睡比較舒服，我們不要動他了好不好⋯」
這絕不是自殺。抱著這樣的信念，從那天起，已高齡70歲的陳庭茂老先生，開始在戒嚴時期的台灣，親力親為地投入黨外運動，並在情治單位監視下召開記者會，親自提出七大疑點：
一、台大研究圖書館草地如果是第一現場，那麼一定留有大量血跡，可是現場並沒有，而且阿成伏臥之處有玻璃碎片，如果從高處落下，這些玻璃為何沒有造成新的傷痕?
二、阿成的皮帶為什麼會繫在胸口和腹部之間?為什麼沒有穿襪子?他生前並不是這種打扮?
三、阿成的恥骨破裂三公分，這種傷不是跳樓所可能造成的，顯然受到外力撞擊。
四、如果臀部先著地，那麼肋骨怎麼會斷十三根?
五、如果胸部先著地，那麼恥骨不可能破裂。
六、「證人」鄧維祥說阿成死前去他家吃芭樂汁、葡萄、煎蛋、洋火腿，但是解剖結果阿成胃內空無一物，阿成顯然在死亡前八小時內沒有吃過東西。
七、命案現場為什麼沒有保留，家屬尚未認屍就草率移屍?
代表陳文成任教的卡內基美隆大學前來台灣驗屍的法醫魏契（Cyril Wecht），則在他所著的《為民主而死》中，留下這樣的紀錄：
「我對陳文成的遺體做過解剖，也對他墜落的現場進行過檢視(inspection)， 兩者都提供了使我認為與自殺不符的證據。」
「第一，他的遺體被發現時，是仰躺在溝子上的，背部朝下；第二，他的所有的傷只侷限在他的肋骨、胸骨和脊髓柱。以實際狀況而言，陳文成不可能爬上護欄跳落自殺而在離建築那麼近的地方以背部著地，並不是說跳樓的人會盡量跳得遠一些，而是他會要跳離建築物 (clear the building)。已有證據證明陳文成的身體曾撞到二樓的平台，一個人不可能跳高起來又跳出去(jump up and out)，然後身體再回到靠近建築物的地方，這不合邏輯。」
「假使是自殺，我懷疑應該有其他頭部、頸部、臉部或手部傷。假使是自殺，我想陳文成的遺體會墜落在離建築物較遠的地方，不是在水泥地上，而是在草地上， 他會嚴重受傷，但不會是致命傷。陳文成身上的傷，比較像是他被某種方式導致無法自主(incapacitated in some fashion)後，再被抱起來越過護欄直直地丟下。」
但答案是什麼？真相在哪裡？這些疑問，直到陳庭茂老先生闔上雙眼時，依然等不到一個回答。到現在，37年了，終於，我們等到了促轉會、等到了楊翠主委、等到一群真正用心在轉型正義的台灣人，試圖回答這個問題。
是誰摔死了陳文成？
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根據三立新聞網的報導：【不過該商家提出的合格證明其實指的是「未檢出」而非「零檢出」，對此，藝人陳嘉行（焦糖）也痛批「這個在牛肉麵店老闆出示證件檢驗報告『未檢出——是萊劑殘留符合標準規範』（很重要的觀念）就已打臉那些蹭熱度的人的藍白政客。」他說，「未檢出」代表這些吃「有萊克多巴胺飼料」的美牛，肉品在進口到台灣時，儀器檢測「未檢出」萊劑殘留，或萊劑殘留在標準值內，絕對不是「0檢出」。】我實在很不想浪費我的智商跟這些低學歷不讀書的側翼（不是每個側翼都低學歷，有的是高學歷沒良知，但這個是低學歷沒有錯），文組不懂科學也就算了，還拿來鬥爭，是要多可笑？這世界上沒有零檢出這種東西，這是民進黨主張的反智標準！世界上所有的測量儀器都有極限值，你以為可以跟你中山大學研究所一樣忽然掰出一個粉絲團十萬讚不管智商多低都可以入學的標準嗎？儀器極限值裡面沒有出現結果，就表示以儀器的極限值沒有測出來，還有殘留在標準值裡面怎麼會叫未檢出？就是會出現數字，但那個數字符合你自己立法的標準啊！這麼不科學的屁話民進黨也要來掩護，還一堆叫側翼出來認知作戰統一口徑，簡直把人民當白痴，側翼是白癡但不是我們白癡啊！還標準值咧，呿。
另外，最近一堆新聞用標題作戰法，說甚麼高端大家搶打，不打就打不到了，說甚麼系統被弄到當機，說甚麼大家都愛，但如果真的大家都這麼愛，怎麼可能六十萬劑打來打去打不完，預約個半死一直往下開放，沒有就是沒有，是不是我數學又出錯啦？結果不是我數學不好，是刻意弄出來的啦！
看看中時對於新北的報導：【高端疫苗將於23日起開打，因預約人數不如預期，中央疫情流行指揮中心向下開放20歲到35歲預約，新北市副市長劉和然今在疫情說明會表示，新北市20到35歲民眾有83萬5千人，截至今天中午截止，有3萬6777人登記，登記率僅4.4％，代表有接近95％的20到35歲，並未選擇這次疫苗施打。而第六輪高端疫苗施打，新北市配發到15萬6048劑疫苗，截至今天中午共有10萬9271位預約施打，預約比例70.2％。】光登記就大概每二十五個人有一個登記，其他二十四個人都不想打，這樣叫做搶破頭？
好啦，接著又是三立新聞網的超科學報導：【苗栗縣議會在17日臨時會，國民黨團提臨時動議，內容是苗栗縣政府施打的疫苗必須經過國際認證才能給縣民施打，成為率先對國產疫苗不信任「開第一槍」的縣市。但中央1922疫苗預約平台第6輪高端疫苗預約登記，苗栗預約率竟衝破9成，苗栗縣議員曾玟學就說，苗栗縣民著實以數據打臉對國產苗的「不信任案」。】不聽不知道，一聽嚇一跳，九成ㄟ！苗栗縣民預約率衝破九成ㄟ，這都快比發雞排去領的比例要高啦！
就拿也有新聞公布數據的台中來比較好了
台中 苗栗
人口 282萬 54萬
意願登記 15.3萬(5.4%) 1.5萬(2.7%)
預約登記 6萬(2.1%) 0.688萬(1.27%)
他媽的，結果是有登記的只佔全苗栗人口數的2.7%，真正到最後預約登記的只有意願登記的47%!哪來甚麼九成啦!而且那則新聞連意願登記人數有多少都寫錯!洗地洗不乾淨很糟糕ㄟ!
根據聯合報的報導：【國產高端疫苗將在明天開打，由於其保護效力一直未正式公布，不少人對於其保護效力有疑慮，台大小兒感染科醫師李秉穎表示，高端疫苗與美國研發的Novavax疫苗都是屬於次蛋白疫苗，後者的保護效果可以達到90%，推估高端的保護效果應該也在85到90%之間，比起mRNA的95趴要差一點，但比腺病毒疫苗好。】馬的說喝符水都客氣了，今天國際笑秉的說法竟然沒有科學根據到路邊阿婆都想笑了，因為這判斷力完全沒有任何的科學實驗證據，就是李笑秉覺得都是屬於次蛋白疫苗，而高端差一點所以就推論出保護效果來了!保護力這連疾管署公布的高端的仿單都不敢寫ㄟ，結果他可以說都是次蛋白就是保護效果接近!那我跟金城武都是人類，所以我們魅力也接近嗎?
又是三立新聞網的報導:【今年4月2日，台鐵太魯閣號408次列車，因撞擊掉落邊坡的工程車，導致出軌發生嚴重事故，釀49人死亡、200多人輕重傷，事後外界紛紛要求釐清事故責任，工程車負責人李義祥被依法起訴。近期，運安會的調查報告出爐，主任楊宏智指出，太魯閣號事故除了人為疏失外，因該列車誤點6分鐘，認為如果當時準時發車，恐不會發生事故，甚至認為當時李義祥有嘗試要通報，可惜時間不足，表示「他已經盡力了」。】那天李義祥不該開工，不該加班，邊坡不該這麼沒有防護措施，貨車掉下去之後也沒下去示警，結果調查出來反而是誤點的問題，李義祥盡力了?獨立機構運安會是不是把自己當成政府維安會了?說好的中立調查呢?
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2021/1/9 下午 2 點半開始
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1/11 (一) 清大線上考衝直播 (https://youtu.be/40jazDBHxRg)
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2021/1/8 晚上六點半準時開始
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容志輝教授 台大數學研究所 【Mathematical Control Theory】第十一堂：Transmission Poles and Zeros. 179 views 1 year ago. ... <看更多>
有台大數學所的大大在嗎？ 研究所. 2021年9月9日07:51. 本人預計要參加今年貴系的推甄，但實在都找不到什麼相關的資料，希望有前輩可以出來幫幫小弟我QQ 我主要想要 ... ... <看更多>
台大數學研究所 在 [心得] 數研所心得- 看板graduate - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
版上關於數學系的文比較少，這篇主要可以讓想自學念數研所的人念的時候
比較有方向一點。
我自己的背景是物理系跨考的。
1.成績
高微 線代 代數
台大 54 55 50 正3
清大 68 54 正取
交大 27 81 正取
成大 63 63 正6
2.準備過程
高等微積分:
Youtuber 推薦: Arthur Parzygnat, Shifrin
講義: (Rudin) George M. Bergman
(Spivak) GOOGLE Calculus on Manifolds+errata
(上) Baby Rudin(大概花6個月)
這本書是出了名的難讀，初學上手很容易不知從何下手，第一章開門見山地介紹
了實數系，第一個證明寫了根號2是無理數的證明引入實數系的觀念，然後你就想放棄了.
這本書是設計成後面的習題全部或80%以上都是要寫的，Bergman教授的講義把第二到第七
章的習題分類引導給Hint，讓你對每一題的想法比較有方向，推薦從引導下手，否則很快
就會想放棄這本書的。
個人是推薦了解第一章的Least Upper Bound. Archimedean Property 就可以前往第二章
了，後面實數系的建構當然也很重要，可以學了一陣子以後再回來看更清楚。第三章有介
紹另一種實數的定義，我自己是先理解了第三章的那個定義，然後再回來念這部分。
第二章的Topolgy跟第三章的Limit基本上貫穿了整本書的內容，我自己是在這兩章卡了兩
三個月，實在是非常重要的章節，每題的epilson-delta 都要好好的練一次，對於後面的
章節都非常大的幫助，念這兩章是我自己最灰心的時候，擔心自己以這樣的進度會不會念
不完。只要你前面的內容後面的習題都有好好做一遍，後面的章節會過得非常順。
第四五六七章連續.微分.積分.函數列
由於前面的兩章你都巨細靡遺的寫過了，這幾章的內容已經開始可以慢慢的在腦袋裡寫
eplison-delta了，因此速度會比較快，但切記如果你覺得哪裡有點模糊疑惑或者沒辦法
自己在腦袋馬上想到eplison-dealta 的證明都是還要好好地寫下來，千萬不要偷懶。比
較難的證明大概是Weierstrass approximation，那個加權平均的概念，是非常重要的一
個證明，可以上網參考陳金次老師的那堂課，有說明了這個定理要證明什麼東西，以及廣
義版本的證明想法。
不難理解為甚麼這本書為什麼這麼被廣為流傳，是訓練邏輯思考跟數學語言的一本非常好
的工具，第二三章是邏輯的出發點，以實數系為例子去推演出後面四章的內容，習題是本
書非常重要的一環，認真的做一定會有收穫的，遇到卡住的習題，看不看解答是個Trade
off，如果覺得自己進度差非常多了，那給自己一兩天的時間想，想不到就翻解答，如果
時間還很充裕，建議多想個幾天，通常要想幾天的題目，都是重要的觀念，或者可以上
mathstack查，因為Rudin這本書實在太有名了，基本上每題比較難或者講義過得比較快比
較難的地方，上面有很多人問過了。你不是唯一一個不會的人，因此不用念的太灰心。
(下)Calculus on Manifold (Spivak)(兩個月到三個月)
這本書須看完Baby Rudin 及 線性代數學起來會比較輕鬆
這本書100多頁，相同的內容，大概是另外一本書(Munkres)的三分之一，由此可見，作者
實在寫得非常地terse，對於很多地方都沒有做過多的交代，念的會一肚子火，符號也不
是非常整齊，基本上我個人是覺得他寫的感覺像是念完多變數以後他期望學生學會的
Syallabus(為他的下一本書鋪路)。本書的錯誤不少，網路上有整理了一堆上面寫得不太
嚴謹或錯誤的地方，摁 其實不只這本書，我相信很多的書都這樣，算是小缺點。
第二三章搭配著Arthur Parzygnat的影片去讀，上面講述了定理的想法證明的思路等等，
幫助非常大，像是用Diagram的想法去看Chain Rule的證明，非常簡潔。
第四章，我自己看Shifrin在Youtube的教學影片學會pull back 跟tensor定義，因此就喜
歡上他的觀點了，Shifrin對於很多的概念有比較直觀(i.e. 物理上)的解釋，對於第一次
學多變數的人是比較好的教材，抽象性雖然比較低，但根本上的內容是差不多的，而且讓
你看到題目的時候比較不會不知所措。個人是推薦照著Spivak的骨幹去看Shifrin的書，
否則很容易學了一堆定理但是看到題目卻什麼也不會。除此之外，這章的Differential
forms and integration推薦看陶哲軒在UCLA的上課講義，對於整套的抽象符號有比較直
觀的解釋。
這本書(Spivak)，花我最多時間的地方，大概就是在Partition of Unity的部分，我自己
第一次看沒怎麼看懂，查了一大堆資料後，發現Spivak算是講得最不"拓樸"的，他應該是
不想引用任何的拓樸觀念去處理，所以會讓人學得有點霧裡看花的感覺。然後這本書考試
前我只寫到了第四章的習題，及念完第五章的內容，因此基本上也只會處理基本的多變數
積分...還好大部分的學校也只考了一題。
然後這本書的講義內容是假設你已經寫完前面章節的習題上去寫的，因此盡量要寫完習題
在進下一章，當然要遇到的時候在跳回去也可以拉，看得懂即可。
如果時間可以倒流，我會直接選Shifrin或者Munkres，然後再讀這本。
線性代數(Linear Algebra by Friedberg)(四個月左右)
Youtuber 推薦: 3B1B
這科剛開始唸時，要問著自己一個哲學問題
到底甚麼是線性代數?
當然每個人的觀點可能都不太一樣，我想重要的是有自己的觀點，然後你的想法是
可以對應上抽象的定義即可。
這本書的習題大部分難度都不高，習題本身的意義比做出來重要。
第一二章的習題大部分可以用基礎的集合論以及定義推出來的，要懂得這個抽象的定義是
在描述什麼東西，需花不少時間去想，也可以GOOGLE "名詞"+"intuition"去搜尋，會發
現新世界。
第三四章有點繁瑣，課本內容讀懂，習題挑順眼的做即可，建議在這裡要記or懂det函數的
定義算是個重要的觀念。
第五章算是本書最難的章節，老實說我也不是弄得非常懂，基本的課本內容，後面的習題
全刷就可以讓你走下去了。是說今年台大有考了一個裡面的大題組(試題卷的最後一題)，
裡面大概分成7題去拆解，是整本書難的非常有印像的題組，第二次讀的時候也沒弄出來，
因此只能把分數還給老師了。
第六章的2.3.4.5.6小節是一氣呵成的章節，可以一起念完在寫題目，因為題目實在
太多了，我就上台大的線性代數某年的課程網頁，把他們寫過的功課寫過而已，再加上一
些自己覺得有趣的題目。Btw台大勾的題目的數量是最多的，國外的學校勾比較少題。
這章我自己是略過了9.10.11小節，第8節的內容學完Spivak第四章的Tensor定義後回來
看會更有概念。
第七章，本章的內容建立在Cayley-Hamilton上，因為時間關係跳過了第四小節。
Minimal Poly. 實在是非常重要的概念，基本上濃縮了第五章的內容，考前遇到第五章的
概念或習題都會想用這個概念去做。
代數(Abstract Algebra by Dummit and Foote)(四個月左右)
Youtuber 推薦:Matthew Salomone
很慚愧地只念了群跟環(1234578章)就上去考試了，跟線性代數的念法有點像，這個抽象
的定義在描述什麼直觀的東西，都是需要知道的，書上也有許多例子去讓你參考，線性代
數的基礎是必須的，很多例子都是建立在線性代數上的。這本書習題那個鬼神數量，實在
讓人很難下手，因此我大概是念完所有內容後，去看考古題，然後找出重要的習題去練。
然後上考場開始默寫，這科的重點就是台大數學系網頁裡有個碩士班考試書裡面有給
Syllabus那些差不多就是你要會的或者重要的。
3.結語
我自己是希望考試中，只要你敢出課本上的習題或內容，我就敢寫出來給你看，達成率大
概有8到9成。整套數學的旅程我自己是跑了200多天，過程中，除了代數以外，完全完全
不建議看著考古題學，因為看著考古題學很容易抄捷徑，想說不考就輕輕帶過，小小的觀
念模糊都會在後面一直放大而影響後面的學習
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竟然都提了，講一下好了，每間學校考卷上一定會有超出這些範圍的題目
但只要把握住Rudin 跟線代 裡面的內容，基本上一定會有四大可以念。
至於台大因為是篩分數的關係，其實有點看運氣。
然後是跨考生要認命，要扎扎實實的念完所有可能的範圍，時間上不到一年
至少以我的智商是不夠的。
因此把握自己能做的到事，努力去做就可以。
個人想法，僅供參考。
真的不錯，講了很多好玩的東西。
...先不要
對理論比較有興趣，越念越想往數學念差不多是這樣。
※ 編輯: willylala (1.162.101.53 臺灣), 03/07/2020 12:08:42
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