#帶有靜謐日常感的明體字
專訪空明朝體日文假名字體設計師——「合同会社おりぜ」/ #岡澤慶秀、#岡野邦彥
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2021年開春,有一套醞釀六年的明體字挾著萬千期待上線,在嘖嘖集資2個月,目前集資金額順利突破1700萬,那就是由香港設計師許瀚文所發起的「 空明朝體 Ku Mincho 」募資計畫。對此盛況,負責日文字體製作的「合同会社おりぜ」也頗為驚訝的表示,「每更新一次網頁就看到數字又成長了一點,台灣消費者對字型的需求真的是非常讓人印象深刻!」
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「#合同会社おりぜ」由兩位日本字體設計師岡澤慶秀與岡野邦彥共同成立。如果你不太認識這兩位設計師沒有關係,#打開你的蘋果電腦,看看你做設計時經常使用的幾套內建優質字型,如 Hiragino明朝(ヒラギノ明朝)、游明朝體等,其實都是出自「字游工房」的設計,從多摩美術大學畢業的岡澤慶秀,1994年開始在那裡工作了約15年,負責設計 Hiragino 字型系列的漢字。畢業於京都市立藝術大學的岡野邦彥則是從包裝設計師起家,獨立接案工作幾年後,又前往荷蘭海牙皇家藝術學院 Type & Media 攻讀字體設計,作為自由設計師期間,為日本SCREEN株式會社製作「Hiragino UD」歐文字等。兩個人都是把 Hiragino 家族慢慢做大的功臣之一。
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雖然兩個人各自擁有自己的字體設計工作室,但其實日本的字體設計業界也在近年有許多新的變革,他們兩個經常各自受邀到各種專案合作,私下有交流的他們,討論過後認為分散的力量應該要集中,才能一起推動更大的計畫,於是在個人品牌之外一起成立了公司,像這次的跨國設計專案「空明朝體」的日文字體,就是由「合同会社おりぜ」一起進行。
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提到認識「空明朝體」設計師許瀚文的契機,其實緣起一場2012年國際文字設計協會(ATypl)#在香港舉辦的文字設計研討會。許瀚文希望藉此時機舉辦與日本設計師交流的設計小聚,「當時我們在日本也經常不定期舉辦字體設計小聚,所以很爽快地答應邀約,並與Julius一起企劃討論,他動作很快,馬上設計出海報、準備活動會場等,後來活動非常成功,是場很有趣的活動。」後來許瀚文去日本旅遊的時候也繼續維持與他們的交流,如今空明朝體成為雙方第一個字體設計募資合作,讓岡澤慶秀感到十分欣慰。
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第一次看到空明朝體,岡澤慶秀回憶當時印象,「#感覺看起來是個有點個性的明體,比如說捺筆看起來有點長,橫筆的起筆看起來好像有點上翹。」對字體設計師來說,每個字體設計都有其目的,也會帶著設計師本人做設計的性格,在岡澤慶秀跟許瀚文討論空明朝體的日文假名設計該如何進行的過程中,他慢慢發現這樣的字體形狀不是許瀚文故意要讓細節引人注目,#而是為了讓空明朝體閱讀起來有風一般的靈動感。
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許瀚文在說明設計時曾提到,大多數漢字以橫筆為主筆劃,而空明朝的橫筆皆是完全水平,能增加文字的清晰度,橫筆起筆有些左收上翹,捺筆有些右放拉長,在橫排閱讀上會有視覺上的連動效果;直排結構上,「左收」維持文字連續性,「右放」加強文字錯落感,#設計細節的收放讓文字在不同排版中都能獲得呼吸的空間。不過岡澤慶秀苦笑說,「#這樣的設計細節要如何落實到日文假名設計上其實有很高難度,這個要跟Julius一邊討論、一邊進行設計才行。」
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為什麼會這麼說,其實可以稍微說明一下日文的結構。我經常覺得日文可說是世界最複雜的語言之一,因為組成基礎至少就有平假名、片假名、漢字三套邏輯,習慣中文漢字的我們或許沒什麼感覺,但對歐文體系母語人士來說,不像歐文僅是由固定數量的字母組成文字意義,要能自由使用日文溝通除了要記住類似歐文字母的兩套假名文字外,還要記住成千上萬的漢字寫法。這樣複雜的元素在組成日文句子後,#如何能在閱讀行進間有著連貫的行氣不被打擾,非常考驗字體設計師的功力。
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對於我這個外國人的感覺,岡澤慶秀笑說,可能是因為他本身是日文母語人士,雖然不覺得日文是世界上最難的語言之一,歐文字體設計上也有很多難度,但相較起來,設計日文字體時的確會有更多要考慮的地方,「如你所述,日文字型製作上要考慮到漢字、假名,甚至是歐文排列起來的平衡、連貫性,還有比例文字縮小放大、以及縱向排列時的合理性等。不能只是個別考慮單一設計。」日文當中除了有複雜的元素組成,在不同的顯示介面,#假名文字還會有半形與全形的文字需求,做一套日文字型要花費的時日,恐怕要比一套中文字型來得多。「對我而言,字型設計最難的部分,在於將字型的目的、以及將在什麼樣的載體上使用等需求,如何利用設計很好地在具有美感的基礎上完成其機能性。不過,只要字型的形體框架順利發展出來,接著漢字、假名、歐文等需要因應各自機能而發展的設計也就能了然於心。」
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空明朝體捨棄現代以「部件拼湊」的造字方式,#復興古典造字技術,以百年前職人造字技術為基礎,將每個字視為完整個體進行製作,雖然很花時間,但對於字符細節的重視,讓文字排列起來靈活靈現,此外,也不拘泥於傳統寬中宮或窄中宮僵化的風格形式,而是從歷代書法名作中汲取靈感、精煉而成,符合中文特有的行氣。此外,在設計初期,團隊就已考慮到除了印刷之外,#未來字型將在數位載體上更為活躍,因此細節與對比等在設計初期時已納入考慮,包含優化字的向量點數,減少記憶體負荷。所有的直角水平位置也均有設打點,保持在任何載體上都有最清晰、適合閱讀的狀態。
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日文字體設計團隊中另一位設計師岡野邦彥,在學習字體設計的過程中,曾對能表達使用者情緒的「顏文字」(Emoji)有過研究,雖然因為各國文化不同使得大家對文字造形承載的情緒感受各異,#不過他覺得空明朝體排列起來帶有某種懷舊街道風情,讓閱讀的人感覺到一種溫暖。岡澤慶秀則說,或許是因為一開始以《Mado / 之間》這支影片的日文詩句開始進行日文假名製作,他覺得這首詩與他對許瀚文的設計印象並無二致,#帶有一種靜謐的日常感,他蠻希望用這樣的感受來繼續完成剩下的假名字母設計。
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在嘖嘖平台進行募資的空明朝體還剩幾天就要結束,除了預計製作的漢字從數千字增加到13000字之外,也會納入台、客、港語常用字、數字、國語注音等。日文找「合同会社おりぜ」之外,歐文字請來紐西蘭設計公司 「Klim Type Foundry」 設計,他們設計的 Founders Grotesk 字型也是蘋果的系統字型之一。#目前集資金額逼近1800萬,順利解鎖最後關卡,將會再增加一套古典傳承字形讓設計師使用,金額在台灣史上字型集資排行榜上坐三望二,#虎視眈眈著第二名的凝書體。
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在台灣做字的人可能都沒想過,在過去普遍認為「字型?網路下載免費的用就好了。」的社會風氣,如今竟也會有如此盛況空前的一天。生活在字體設計遍地開花的台灣,你我都是幸福的!
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同時也有1部Youtube影片,追蹤數超過250的網紅偽學術,也在其Youtube影片中提到,【認真玩】2020台北雙年展 | 嚴肅的玩笑 |《你我不住在同一個星球》// 李長潔 . 前往2020台北雙年展,台北的天空陰冷,以《你我不住在同一個星球》(You and I Don't Live on the Same Planet)為主題的北美館,並沒有明顯的國際性藝術大展的氣氛,灰白色的天空...
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AI加值智慧製造 鋼鐵傳產乘浪而起
芮嘉瑋/專欄 2021-01-28 02:45
2020年面對COVID-19(新冠肺炎)的襲擊,疫情籠罩之下各行各業幾乎空轉一年,投資購買設備及原料的腳步也都放緩,預期新的一年,隨著疫情穩定與經濟復甦,許多企業勢必加速添購設備和增加庫存料,鋼材需求可望隨著市場回升而轉強,且至少旺到第2季。
舉例來說,在汽車的構造上,有相當高的比例是使用鋼板,包括車門、引擎蓋、後車箱、底盤、車頂等,所以汽車業的好壞,間接影響了鋼材的需求。這2年汽車上游原材料反應了因電動車興起所展開的換車潮,從而鋼市好轉、鋼價高漲,幾乎各國都是如此。
隨著消費型態轉變,產品生命週期縮短,各行各業面臨客製化的挑戰,並在智慧工廠生產流程的訴求下,往往需要智慧機械、智慧製造設備以從事更複雜的生產工作,鋼鐵傳產業也不例外。然而,現有機器人或製造機台受限於原本功能單一又無法擴充的窘境,必須藉由人工智慧、物聯網、大數據等各種新興技術多元化功能的整合,以利製造業數位轉型升級,因應瞬息萬變的市場挑戰,凸顯「智慧製造」的概念是企業轉型升級的唯一出路。
何謂智慧製造?
經歷4次工業革命的演進,第4次工業革命被視為「工業4.0」,且因智慧製造是工業4.0的核心部件,在製造產業兩者幾乎可劃上等號,從而「工業4.0」常被稱為「智慧製造」。
在工業4.0的時代驅動下,現今製造業不斷與數種新興技術結合,從而工業4.0被定義為「製造技術中整合了網路安全(cybersecurity)、擴增實境(AR)、大數據、自主機器人(autonomous robots)、積層製造(additive manufacturing)、模擬(simulation)、系統整合(system integration)、雲端運算(cloud computing)和物聯網等技術使之具有自動化、聯網、數據交換以及智能工廠所需功能的系統平台」 。
因此,智慧製造實際上需要整合以上所述之各種關鍵領域技術的同步發展以建構出相應的產業生態體系,並在生產過程的每一個環節都能達到高度自動化、客製化與智慧化的先進製造模式,使生產環境具備自我感知、自我學習、自我決策、自我執行以及自我適應的能力,以適應快速變化的外部市場需求。
如何利用AI加持智慧製造
由於智慧製造包括連網(connection)、轉化(conversion)、虛擬(cyber)、認知(cognition)和自我配置(configure)等能力 ,其中利用機器學習、深度學習等AI技術使機器具備自我診斷並即時做出判斷的認知能力,就是AI之所以成為智慧製造核心技術之所在,它可以從大量原始數據中自動提取關鍵特徵及製造業中規律性的模式,進而學習過往曾經發生過的錯誤,以提前作預測及預警,藉此不僅可降低停機時間、提升製程效率,也可適時的根據產線作調整。
至於該如何利用AI加持智慧製造,讓我們看看國內鋼鐵龍頭中國鋼鐵股份有限公司(簡稱中鋼公司),在其智慧生產技術中導入AI實現智慧製造的專利布局,提供製造業者掌握AI加值智慧製造,讓工廠轉型升級邁向智慧工廠。
中鋼發明一種透過人工智慧演算模組在生產製程中進行估測及控制的系統(TWI704019),具體而言,係透過人工智慧演算模組所產生的估測鋼帶翹曲模型對鋼帶翹曲量進行估測,而該人工智慧演算模組係利用機器學習模組、深度學習模組或者使用一雲端伺服器模組評估該製程參數及該翹曲量。
該專利提供一種包含熱浸鍍鋅設備100、矯正機構130、感測模組150、人工智慧演算模組160以及最佳化演算模組165的熱浸鍍鋅鋼帶翹曲量估測系統。其中,該人工智慧演算模組160連接該感測模組150及該熱浸鍍鋅設備110,用以收集且評估該熱浸鍍鋅設備110中諸如產線速度、張力、鋼帶鋼種、鋼帶寬度、鋼帶厚度、鋼帶剛性等製程參數及翹曲量,進而可產生估測鋼帶翹曲模型,且該估測鋼帶翹曲模型包含一矯正干涉量,用以供矯正機構130矯正鋼帶。
經過大量數據的累積,該估測鋼帶翹曲模型還可以包含來自該最佳化演算模組165的製程參數最佳值,當類似或相同的製程參數(例如類似或相同鋼種)的鋼帶需要進行熱浸鍍鋅時,該估測鋼帶翹曲模型就會顯示諸如最佳張力、最佳產線速度、最佳矯正干涉量等製程參數最佳值,供操作者參考,從而獲得翹曲量最少且鍍鋅厚度一致的鍍鋅鋼帶。
再者,由於一般的鋼捲產品需要經過諸如煉鋼、熱軋和冷軋等許多生產階段,為了讓產品的機械性質符合預定的規範,過去往往依賴人為經驗調整生產階段的製程參數,然而,人為經驗難以即時反應生產線狀況,中鋼就此發明一種適用於一軋延系統之製程參數的調控方法(TWI708128),當執行完一部分的生產階段以後,可以即時地計算下一個生產階段的製程參數,其中之製程參數的調控方法包括根據歷史資料建立一機器學習模型,後續並將測試資料輸入至機器學習模型以預測目前產品的機械性質等步驟。
在該專利之軋延系統的運作流程示意圖中,在步驟220,可根據這些歷史資料來建立一個機器學習模型221,此機器學習模型221是要根據生產參數來預測產品諸如拉伸強度、降伏強度和伸長率等的機械性質,換言之在訓練階段中生產參數是作為機器學習模型221的輸入,機械性質則作為機器學習模型221的輸出。機器學習模型221可以是卷積神經網路、支持向量機、決策樹或任意合適的模型。
在步驟230,對目前在線上的產品執行部分的生產階段。在步驟240中,將測試資料輸入至機器學習模型221以預測目前產品的機械性質,並判斷所預測的機械性質是否符合一規範。在步驟250中,依照預設生產參數進行下一個生產階段。
如果步驟240的結果為否,則執行一搜尋演算法以取得最佳的生產參數,並據此實施下一個生產階段(步驟260)。其中,執行搜尋演算法以取得調控後參數的步驟包括:設定一利益函數;將尚未完成生產階段的可調控參數與線上資料合併後輸入至機器學習模型以取得預測機械性質,並根據利益函數計算出預測機械性質的誤差值;以及取得最小誤差值所對應的可調控參數以作為調控後參數。
此外,中鋼亦發明一種設備監診方法(I398629),係在設備故障監診分析流程的邏輯下導入類神經網路(neural network)之人工智慧,以便在決策分析時有效解決故障類型分類方面問題。
給台灣製造業的建議與展望導入AI技術、配合感測器收集各類數據以及大數據分析進行諸如產線異常診斷或品質監控,以維持機器正常運作無虞是智慧工廠有效運作的基礎。然而,智慧製造除了藉由智慧機械建構智慧生產線、透過雲端和物聯網分析資料、AI自主監測診斷調整產線產能之外,虛實整合系統(或稱網路實體系統,Cyber-physical systems)也是構成工業4.0創建智慧製造所需的功能之一,整合物理模型、感測器資料和歷史數據,在虛擬空間即時模擬呈現生產狀態,透過遠程監視或跟踪與工廠現有的資訊管理系統緊密整合,建立完整資訊生態系統才能透過AI即時彙整資訊進行決策。
未來製造業仍將是全球產業不可或缺的一環,隨著工業4.0的蓬勃發展,台灣製造業在邁向智慧製造過程中,所有智慧化的步驟都需要運用AI來執行分析、診斷、預測或決策等工作,欣見國內鋼鐵龍頭已率先落實AI加值智慧製造,然而若能整合虛擬(Cyber),強化與工業物聯網之整合,更可提升透過AI提高組織運作效率及效能的目的。
過去製造業藉由大量生產與低價競爭已非決勝關鍵,如何協助國內產業在後疫情時代轉型升級,是當前的重要議題。持續強化在地製造業與資訊業領域的技術整合優勢,透過機器學習、類神經網路或深度學習等AI技術的導入,並與使用者/消費者連結形成完整的製造服務體系,將可望從傳統製造體系中依賴人為經驗、人力需求及規格一致的常態,轉換為自動化、客製化、智慧化和靈活彈性化的智慧製造。本文以鋼鐵龍頭之典範轉移為例,以期台灣所有製造產業均應具備智慧製造的軟硬實力,才能持續在全球製造體系中發光發熱。
附圖:鋼帶翹曲量估測及控制系統結構示意圖。芮嘉瑋
台灣專利號I708128之軋延系統的運作流程示意圖。芮嘉瑋
資料來源:https://www.digitimes.com.tw/tech/dt/n/shwnws.asp?cnlid=1&cat=140&id=0000602586_r1c6gnef7wl2247ink60m
向量空間維度 在 偽學術 Facebook 的精選貼文
【認真看】#2020台北雙年展 |《你我不住在同一個星球》// 李長潔 🌐
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▓ #知識論的改革實驗及其展演
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Bruno Latour,當代重要的人類學家、哲學家、社會學家,70年代後期開始,根據科技與社會的交纏關係,展開整個人類智識知識論的規劃,提出行動者網絡理論,重新思考啟蒙時代以來的人文主義,甚至是「有人以來」的人類主義,重新納入多重行動者的視域與軌跡,試圖在《實驗室生活》、《科學在行動》、《巴斯德的實驗室》、《我們從未現代過》、《激情的經濟學》、《面對蓋婭》等一系列的思想實驗與批判裡,獲得一點點解放「眾生」的機會。
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因為Latour的巨型-微型理論的裝置,與他無比的雄心,他的策展論述,看起來就是有種「救贖性」。已經好幾年了,幾乎每一次的大型展覽,都呈現滿滿的末日主義,藝術家與觀眾聯合起來懷舊、批評與哀悼。Latour帶著點科幻意味的拓樸學圖式策展,很容易讓人以為是一種微中二的救贖性,但其根本應該是用力跳離知識思辨與實踐框架的嘗試。
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▓ #全球的否定的辯證法
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《你我不住在同一個星球》共分成「全球化星球」、「維安星球」、「脫逃星球」、「另類重力星球」、「實體星球」五個天文體,五個天文體被鑲嵌在一場向量不同的星(全)球解離當中。Latour式的「#全球的否定的辯證法」倒轉、抽空、吸收了人類世界裡的所有主題,將我們吸入充滿矛盾的網絡當中,我們再也無法依靠前方的未來,標定逃逸的路線。我在想,這是否也是我看不是很懂這次展覽的緣故,所有的定義、展示、證明、翻譯都暫時失效了,這個失效可能發生在任何一個層次上:觀賞者、藝術家、策展者。
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撇開知識論的難題。到底這展覽好不好看呢?
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▓ #嚴謹的審美
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有幾個作品在藝術性與理論性上,都算是嚴謹又精采,挺奇怪的,嚴謹居然成為藝術批評的論斷之一,說明了當代藝術「跨域」的性質。例如在「實體星球」部分,領土仲介所的《變動的海洋》(Oceans in Transformation, 2020),他用 資料視覺化的方式,模擬 / 詮釋了敏感的海洋資料軌跡,資料數據的「量」的概念,變成了一種兼具審美與分析的溝通。
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▓ #體驗行動者的網絡
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《跨物種影像交會》(Interspecies Cinematic Encounters, 2020),則在諾大的黑色展場空間中,透過大型的鋼架組構裝置,架構出多重世界與複數行動者的觀賞體驗,人類、動物、植物、礦物、水、霧霾、鬼魂、精靈等,在其間互相接觸、調解、感染、融合、轉化彼此。某個程度上,雖然沒有很多,但在佈展上算是比較奇觀而複雜,觀眾似乎可以體驗到行動者網絡理論的表面意涵。
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▓ #思想劇場與概念地景
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最精采的作品,莫過於《質量/彌撒》(Mass, 2020)的物理學 / 哲學辯證劇場,藝術家在展場打造出一個由影像、光線、聲音、道具所構成的思想劇場,你可以步行穿梭於概念地景中,參與影片中物理學家的哲學對話,探索當代物質性之辯論:對立的兩個物理理論模型,無限大(相對論)和無限小(量子物理學),那是不存在於相同世界的兩種現實。
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▓ #作品之外的作品
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最後,令我關注的焦點,盡然很常發生在非展示場域中。像是比以往更加不明顯、更加低調的展場設計,完全剝除藝術展覽肩負大眾娛樂與教育的目標,回到一種思想與實作的集合體實驗上,如「#協商劇場」(Théâtre des négociations)的運行。
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另外,如關閉電源的二樓電梯,讓觀眾自行用身體力量,步上二樓階梯。然後,在二樓展覽開始處,觀眾先看到的居然不是《你我不住在同一個星球》的策展主題,而是「參觀須知」:戴口罩、勤洗手、保持1.5公尺以上距離。你的全球「不是」/「就是」你的全球,深深的、日常的、真切的反諷啊~ 比作品還精彩(誤)
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影像 | 李長潔
文字 | 李長潔
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➡ #雙年展官方網站:https://www.taipeibiennial.org/2020
➡ #偽學術觀展影片:https://youtu.be/M_3aMWFrOtk
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#值得去看個5次
#比天能燒腦
#但天能我真的睡著
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Bruno Latour,當代重要的人類學家、哲學家、社會學家,70年代後期開始,根據科技與社會的交纏關係,展開整個人類智識知識論的規劃,提出行動者網絡理論,重新思考啟蒙時代以來的人文主義,甚至是「有人以來」的人類主義,重新納入多重行動者的視域與軌跡,試圖在《實驗室生活》、《科學在行動》、《巴斯德的實驗室》、《我們從未現代過》、《激情的經濟學》、《面對蓋婭》等一系列的思想實驗與批判裡,獲得一點點解放「眾生」的機會。
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撇開知識論的難題。到底這展覽好不好看呢?
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最精采的作品,莫過於《質量/彌撒》(Mass, 2020)的物理學 / 哲學辯證劇場,藝術家在展場打造出一個由影像、光線、聲音、道具所構成的思想劇場,你可以步行穿梭於概念地景中,參與影片中物理學家的哲學對話,探索當代物質性之辯論:對立的兩個物理理論模型,無限大(相對論)和無限小(量子物理學),那是不存在於相同世界的兩種現實。
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▓ #作品之外的作品
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寫在前頭:
這篇文是功德取向,最近做太多壞事了...Orz
有任何小瑕疵的地方,還請各位大大不吝指教
寫在前頭之後:
原po的觀念錯的有點多,小弟我直接po篇定義和例子比較清楚,
因為我省略一些符號和嚴謹的數學定義,所以我想相信閣下一定能接受吧!
但恕小弟我可能無法回應你對於這篇文章的疑問,因為書本都有寫。
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符號:(因應bbs無法打出某些數學符號)
A,b 是兩集合, c是元素
"A ㄈ B" 代表 "A包含於B" 或說 "A是B的子集"
"c ε A" 代表 "c屬於A" 或說 "c是A的元素"
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在這邊,僅解釋佈於|R上的向量空間的相關定義,但其實都差不多
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給定一個佈於實數|R的向量空間(V, +, ‧),
其中+是維向量加法, ‧是純量乘法,(為方便,純量乘法‧在下面可能會忽略)
令 v_1, v_2, ..., v_n ε V,
a_1, a_2, ..., a_n ε |R.
S = {v_1, v_2, ..., v_n}, 顯然的, S ㄈ V
定義
 ̄ ̄
1.線性獨立
若 a_1‧v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n = 0 => a_1 = a_2 = ...= a_n = 0
則我們稱 v_1, ..., v_n 是線性獨立 or
S是線性獨立集
白話:若v_1, ...,v_n的線性組合為零,則線性組合的係數通通要是零
2.線性相依
若v_1, v_2, ..., v_n不是線性獨立,則稱作線性相依
(若S不是線性獨立集,則稱為線性相依集)
透過嚴謹的邏輯,線性相依的數學語言為:
存在a_1, ..., a_n ε |R 且 a_1, ..., a_n不全為零
使得 a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n = 0
3.生成/織成
若對於任何 c ε V, 存在 a_1, ..., a_n ε |R 使
c = a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_nv_n
則我們稱v_1, v_2, ..., v_n 生成/織成 V or
S 是V的一個生成集
白話:V上的任何元素都可以用S裡面的東西的線性組合來表示
若S = {v_1, v_2, ..., v_n},
則符號上記做 span(S) = span({v_1, v_2, ..., v_n}) = V
4.基底
若S同時是線性獨立集合又是生成集,則S稱作V的一個基底
(絕大多數情況下,基底並不唯一,但,裏頭的元素個數必相同)
注意:有些書把基底定義成"最大"的線性獨立集,但這些都等價
5.維度
一個向量空間的維度,定義為其基底的個數
例子
 ̄ ̄
1. B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是 |R^3 是一個基底
驗證:
1) 線性獨立
因為,若a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1) = (0,0,0)
我相信你很明顯的看的出來, a = b = c = 0
所以 B 是線性獨立集
2) 生成
對於任何一個 |R^3 上的元素 (a,b,c)
(a,b,c) 一定可以寫成 a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1)
i.e., (a,b,c) = a‧(1,0,0) + b‧(0,1,0) + c‧(0,0,1)
所以 B 是生成集
∴ B 是 |R^3 的基底,且 B 的元素個數是3,所以 |R^3 是 3維
2. B = {(-1,0,0), (0,-1,0), (0,0,-1)} 是 |R^3 上的一個基底
試著驗證看看吧!
3. B = {1, x, x^2} ㄈ P, 其中 P 代表由佈於實數的多項式所構成的向量空間
B 是線性獨立集 但 不是P上的生成集
驗證:
1) 線性獨立
若 a + bx + cx^2 = 0, 很明顯的, a = b = c = 0
2) 無法生成
舉個例,像 x^3 ε P,但 x^3 沒辦法由 1, x, x^2的線性組合得到
注意:P是一個無窮維的向量空間
4. 若 P_2 = span({1, x, x^2}),則{1,x,x^2}是 P_2 這個向量空間的基底
驗證:
1) 線性獨立
剛剛證過了
2) 生成
因為P_2是由{1, x, x^2}生成的,所以很明顯的,{1, x, x^2}是P_2上的生成集
∴ {1, x, x^2} 是 P_2 的基底,且其元素個數是3,所以 P_2 是 3維
注意:P_2 = 所有佈於實數的2次多項式所構成的向量空間
5. {1, x, x^2+1} 也是 P_2 的一個基底
自己想想吧!
性質(關於線性獨立、生成、基底和維度的幾個敘述)
 ̄ ̄
若已知 V 是 n 維向量空間,B ㄈ V 是V的子集
1.
若 B 生成 V 且 B 有 n 個元素,則 B 是 V 的基底
2.
若 B 是線性獨立集且 B 有 n 個元素,則 B 是 V 的基底
回憶基底的定義
若 B 是V的生成集且線性獨立, 則 B 是 V 的基底
所以上述三項敘述可以綜合成:
若下列三者,有兩者成立,則第三個自動成立,換句話說,則 B 為 V 的基底,
(a) B 生成 V
(b) B 是線性獨立
(c) B 有 n 個元素
※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言:
: ※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言:
: : 題目:請問以下基底為向量空間的幾維度?
我認為,閣下題目一定有給錯,因為(3)不是基底
: : (1) 1 , x , x^2
: : (2) 1-x , x , (x^2)-1
: : (3) x , x+x^2 , x^2
: : (4) 1 , x-1 , x+x^2 , x^2
: : (5) x , x^2
: : 答案:沒有答案,只能知道(1)為3維度空間向量。
: : 小弟實在無法下筆與思考該如何判斷,麻煩版上前輩們能不吝嗇指導,謝謝!
: 前情提要,這題的問題應該改成:【此些向量空間為基底的幾維度】
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認真說,閣下最大的問題是沒有把問題說明清楚,
你要問的問題應該是:以這些向量所生成的向量空間,其維度是幾維
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