本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
四次函數反曲點 在 [微積] 可微分函數圖形的極值點與反曲點- 看板Math - 批踢踢 ... 的推薦與評價
※ 引述《F00L (愚者)》之銘言：
:
: 我和朋友討論到高三數學中：
: 「三次函數圖形上的極值點，第一階導函數值為０」，
: 但「三次函數圖形上第一階導函數值為０的點，不一定是極值點」。
: 例如：f(x)＝x^3， f'(0)＝0， 但(0,0)並非是極值點。
: （恰好是反曲點）
: 「四次函數圖形上的反曲點，第二階導函數值為０」，
: 但「四次函數圖形上第二階導函數值為０的點，不一定是反曲點」。
: 例如：f(x)＝x^4， f"(0)＝0， 但(0,0)並非是反曲點。
: （恰好是極值點）
: 朋友就突發奇想說把條件寫成圖片中的敘述（
: 我也不確定他那樣寫對不對，於是幫他在板上向各位先進請益，煩請賜教，萬分感謝。
:
首先 f(x) 應該要是 n 階可微, 這除了讓題目本身的多次微分有意義外,
你應該也不會希望 x^b sin (1/x^c) 之類的函數來攪局,
這類函數可能造成 n 階導數不存在.
不失一般性假設 f(a)=0.
在考慮範圍內的函數 f(x), 因為 x=a 的某階導數非 0 (且存在),
故 f(x) 在夠小的 (a-ε, a+ε) 區間內僅有 x=a 一處的零點,
同理可假設 f(x) 在 x=a 點的 n-1 階以內的導函數都在此區間內有同樣性質.
以下處理的函數 g(x) 會是 f(x) 的 n-2 階以內的導函數,
因此都有 g(a)=g'(a)=0.
首先, g(x) 在 x=a 有反曲點的定義為: g'(x) 在 x=a 點有局部極值.
(且此局部極值須是孤立的, 但我們已經事先排除非孤立的情形了.)
另外,
(A) 若是反曲點, 由於 g'(a)=0, 故 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 區間皆同號或為 0,
也就是 g(x) 在 (a-ε,a+ε) 為單調函數(遞增或遞減),
搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點, 可得 g(x) 在 x=a 點沒有局部極值.
(B) 若 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調, 搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點,
知 g(x) 在 x=a 點非反曲點; 但因 g'(a)=0 以及 g'(x) 的單調性,
g(x) 在 x=a 點必有局部極值.
正式來處理題目.
n=2 的情形顯然有 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 單調, 符合 (B) 條件 (當 g=f 時).
今假設 n<N 時皆已證得.
若某一函數 f(x) 在 x=a 點的 1 ~ N-1 階導數皆為 0, 但 N 階導數非 0.
考慮 f'(x), 其 1 ~ N-2 階導數皆為 0, 但 N-1 階導數非 0, 滿足歸納法假設.
若 N-1 為奇數:
則 f'(x) 在 x=a 點有反曲點, 沒有局部極值.
由 (A) 知 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調 (令 g=f'),
再由 (B) 得所求 (令 g=f).
若 N-1 為偶數:
則 f'(x) 在 x=a 點有局部極值, 沒有反曲點.
這代表 f(x) 在 x=a 點有反曲點(by 定義), 沒有局部極值(by (A)).
由歸納法得證.#
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.18.134
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1491293403.A.DD7.html
後來爬梳一下發現弄得太複雜了. 以下化簡:
f^{(n)}(a) ≠ 0 (存在) 代表 f^{(n)}(x) 在 x=a 附近皆是同號.
令 L=(a-ε,a), R=(a,a+ε), 使得 f^{(n)}(x) 在此兩區間同號.
由微積分基本定理, 或直接由函數單調性, 搭配上 f^{(n-1)}(a)=0, 得知
f^{(n-1)}(x) 在 L 上面與在 R 上面異號.
同理, 搭配上 f^{(n-2)}(a)=0, 得知
f^{(n-2)}(x) 在 L 上面與在 R 上面同號.
依次推論,
若 n 為奇數, 則 f'(x) 在 L 與在 R 上面同號,
f(x) 在 L 與在 R 上面異號, 因此 x=a 為 f(x) 的反曲點, 但非局部極值;
n 為偶數時類似.
※ 編輯: arthurduh1 (101.15.165.24), 04/04/2017 20:14:12
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