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常數函數例子在 WorkFace Taipei Facebook 的最佳解答

2021-07-15 21:46:44 有 13 人按讚

【台北 | 07/15 #創變夜Live】感受到創造的巨大魔力嗎？
▶️區塊鏈與數位資產的跨域碰撞
🎤區塊科技執行長黃敬博 Po Huang

今晚的 #WorkFace 主題例會中，我們邀請區塊科技的黃敬博執行長，跟大家分享如何藉由「創造」不同以往的創新心態，在區塊鏈與數位資產領域，相互創造出的全新碰撞？

🌟讓我們一起回顧今晚的精彩時刻！

想想看你早上睡過頭的照片被偷拍，並且散佈到各處時，就算你即時要修圖美化一下，在區塊鏈上這張留存的圖片也無法被更改，這就是區塊鏈存證的簡單比喻！

「而在了解區塊鏈技術前有兩個基礎概念要先認識。」Po 說到，那就是數位指紋與智能合約。

所謂數位指紋，指的是把一堆資料使用數學函數計算之後的結果。資料中只要有一個byte不同算出來的「結果」就會不一樣，該「結果」就可以視為是那「一堆資料」的「數位指紋」，是用來確認檔案的身份的實際應用方案。

而智能合約則是在區塊鏈中的執行程式碼，只要滿足特定條件就能觸法智能合約的自動執行，提供驗證及執行合約內所訂立的條件；利用區塊鏈的特性可以維持他不易串改的特性，讓程式碼保持公正透明公開。

✅如何「創造」區塊鏈與數位資產領域跨域應用？

數位證據常見的疑慮，是容易被串改或不小心被刪除，要怎麼確保數位資料原始性，就仰賴數位指紋與區塊鏈的應用，以共有鏈提供的金鑰，與私有鏈人臉指紋辨識等技術，讓區塊鏈數位證據存證的系統可以做到保證數位檔案原始性、提升數位證據有效性與拓展數位資料蒐集型態的應用！

而區塊科技主要專業領域，是提供檢警調單位現場蒐證應用，包含手機存證與電腦存證針對執發現場與資安蒐證的工具支援；在toC的層面則是應用發展在企業級的存證與簽約服務、智慧財產權的驗證、數位存證信函等貼近民生的日常數位存證需要。

❓在疫情中，區塊鏈數位存證能為生活帶來什麼改變？

拿存證信函為例子，現在不能出門的時刻，如果需要這樣的服務該怎麼處理呢？

區塊科技以區塊鏈數位存證技術，提供24小時無需實體的第三方公正存證系統，就可以化解疫情間不便出門的窘迫情境，同樣出發扁的還有公司端的數位合約簽名存證，過程中甚至會紀錄收雙方通知的時間，與同步提供合約電子檔案、合約歷程紀錄與以太坊交易頁面，方便法律上舉證有效進行！

🗯連續創業者的領悟和心得

「我想任何的創業都是要找到志同道合的團隊，並不是說需要多優秀，更多的是整體團隊合作的協調性！」po分享到，找到對人選，絕對是創業成功的必要條件！

在創業項目上，則是需要關注在解決問題的可能性，像是數位存證就是關注在未來的趨勢預備跑道中，不過雖然解決議題具有前瞻性觀點，但當下的公司存留其實更加仰賴推廣宣傳的力道，因此區塊科技在這方面積極的與政府單位合作，推動數位資產的留存與培養其使用習慣。

在創業後，更要不厭其煩的符合法規與政府要求，同時規劃短中長期的規劃，力求貫徹執行才不會使計畫落為空談；因應局勢調整，則是這個時代不論大小公司都要面對的議題，當中能夠使你的團隊脫穎而出的即是有效的溝通模式，最後建立該領域中的指標性地位，更是後期能否快速發展的重要里程碑！

#創造 #週四主題例會 #WorkFaceTaipei #創變者社群

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常數函數例子在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最佳解答

By Taipei Ethereum Meetup

2019-11-17 23:14:17 有 36 人按讚

📜 [專欄新文章] 瞭解神秘的 ZK-STARKs
✍️ Kimi Wu
📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

上一篇關於 zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹 STARK 會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

STARK 被視為新一代的 SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及
2. 抗量子攻擊

但 STARK 也沒這麼完美，STARK 的證明量(proof size)約 40–50KB，太佔空間，相較於 SNARK 只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

STARK 的 S 除了簡潔（Succinct）也代表了擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
SNARK 跟 STARK 都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

快轉一下 SNARK 是如何運作的。
Alice 有多項式 P(x)、Bob有秘密 s，Alice 不知道 s、Bob 不知道 P(x)的狀況下，Bob 可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s → H(s)，藉由 QAP/Pinocchio 達到了簡潔地驗證，然後把 H(s) 放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章。

問題轉換

零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

問題 → 限制條件 → 多項式

在 SNRAK 跟 STARK 都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： x³ + 3x² + 3 = 0，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 x^2000000 + x^1999999 + … 則難度會高非常多。

第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。
這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）
1. 若數字為偶數，則除以2
2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52 -> 26 -> … -> 1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考 StarkWare的文章）如下

https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

合成多項式

接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

修改多項式維度

這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 … 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為2^n維度

假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為Cj(x)，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於2^n，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D -Dj）的多項式，

所以最終的合成多項式，如下

其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

*這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

FRI

FRI 的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI 之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

RS 糾刪碼：

糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

降低複雜度

假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二變數 y，使 y = x^{1000}，所以多項式可改寫為 g(x, y) = 1744*x^{423}*y^{185}。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在 FRI 目前的實做，是將維度對半降低 y = x²（f(x) = g(x, x²)）。

此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

f(x)= g(x²) + xh(x²)

假如：

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵
g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴, （g(x) = a0 + a2x + a4x²）
h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴, （h(x) = a1 + a3x + a5x² ）

藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而 FRI 協議在流程上包含兩階段 — 「提交」跟「查詢」。

提交階段：提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²)
==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（驗證者提供）
==> f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（驗證者提供）
==> . . .

查詢階段：這個階段要驗證證明者所提交的多項式 f0(x), f1(x), f2(x), … 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²)
f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)

藉由兩者相加、相減，及可得g0(z²)、h0(z²)，則可以計算出f1(z²)，再推導出f1(x)，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

Interactive Oracle Proofs (IOPs)

藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20–30次（log2(d)），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

* 與SNARK比較：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

非互動性

藉由 Micali 建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali 建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本 PCPs 要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

首先，先把證明 𝚿組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數 𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的 PCP + Fiat-Shamir Heuristic，即可達到非互動性。

* 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

MIMC

大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的 MIMC，計算過程如下：

https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合 VDF 的運算。Vitalik有一個使用 MIMIC 作為 VDF 的提案。

ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證

從上面的解釋，可以理解為什麼 STARK 不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為 SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。

有錯誤或是不同看法，歡迎指教

參考：
StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
STARK 系列文：
STARK Math: The Journey Begins
Arithmetization I
Arithmetization II
Low Degree Testing
A Framework for Efficient STARKs
Vitalik 系列文：
STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
STARKs, Part II: Thank Goodness It’s FRI-day
STARKs, Part 3: Into the Weeds
ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated

Originally published at http://kimiwublog.blogspot.com on November 12, 2019.

瞭解神秘的 ZK-STARKs was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

👏 歡迎轉載分享鼓掌

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By 紀老師程式教學網

2016-04-24 15:02:20 有 37 人按讚

[熱門文章] 程式設計、重構、與其它任何東西的終極問答

"The Ultimate Question of Programming, Refactoring, and Everything"
網頁版： http://goo.gl/6jIcIp
PDF 版： https://yadi.sk/i/pBZqebxsr5Wyg
#Craftmanships #SoftwareEngineering #CPP #Refactoring #ProgrammingSkills

好的！遲交比不交好，今天的推薦文來了（笑）～

今天介紹這篇，是過去一個禮拜在國外鄉民聚集地 Reddit 程式設計版瘋傳的文章。標題很臭屁「The Ultimate Question of Programming, Refactoring, and Everything」（沒錯！我就在意它最後一個字 "Everything"。咬我啊！ XD）。因為轉載的人實在太多，讓我不禁努力地把它看完了。

其實這篇文章講的是 C/C++ 程式寫作者應該注意、或建議遵守的 42 個小訣竅。既不「Ultimate（終極）」，也不是涵蓋「Everthing」。不過裡面還是有不少中肯的建議，所以我還是將它介紹給大家。

為了讓英文苦手的朋友也能稍微感受一下這篇文章在講什麼，所以我不負責任地快速翻譯了每個標題一下。如果對哪個主題有興趣的，就麻煩大家直接對照標題號碼去看原文解說。原文有些標題用「戲謔」或「隱晦」寫法，我若直接翻譯，大家可能不知道原作者想表達什麼。所以我會將某些標題，用比較易懂的中文重新表達。一切以「標題編號（1~42）」為準。

接下來就請享用我這個不負責任的翻譯了。有會錯原文意思的，還請各位留言在下方、然後鞭小力一點 XD。我會馬上修正的：

1. 不要去做編譯器會做的事情
如：用迴圈能存取 a[0] ~ a[9]，就不要用「拷貝貼上」a[0], a[1], a[2]..., a[9] 來存取裡面的內容值。

2. 大於 0 不代表它等於 1
若文件告訴你某函數執行成功會傳回「大於0」的值、但目前這個大於0的值是「1」。請你寫程式的時候不要自作聰明地偵測「傳回值 == 1」當成成功，請乖乖遵照規格書用「傳回值 > 0」等於成功。因為將來的版本有可能還會傳回 2, 3...等其他值。

3. 當你拷貝貼上一段程式碼，記得檢查它的副本兩遍
有時候你拷貝貼上一段程式碼，會忘了去修改裡面一些不同的小數字，導致花了大把時間去檢查錯誤到底出現在哪裡。

4. 小心使用「? :」運算子。並記得多加括號
「? :」是 C/C++ 內常用的運算子。若您寫了一段這樣的原始碼「a - b?0:1」，您可能以為它是這樣運作的「a - (b?0:1)」，事實上，它是這樣運作的「(a-b)?0:1」。結論是，多加括號保平安。

5. 多用市面上有的工具來分析您的原始碼
市面上有些工具，如：原始碼靜態分析工具、原始碼排列工具...可以幫您在把原始碼送入編譯器前，就抓到錯誤。不過作者也提到，別以為倚賴這些工具，錯誤就不會發生。真正要減少錯誤還是得靠多讀規格書，增加程式寫作經驗才辦得到。

6. 確認您所有的指標，都已經轉型成整數型態
作者擔心，某些使用 64 bits 當成指標變數寬度的系統，到 32 bits 的機器內重新編譯時，會產生高位元組被截斷的慘劇。某些編譯器提供「uintptr_t」這個專門給指標變數使用的型態，會隨著編譯器所在的環境，自動調整指標寬度。

7. 別在迴圈內呼叫「alloca()」這個函數
萬一迴圈失控，alloca() 函數會霸佔大量記憶體無法釋放。建議事先在迴圈外霸佔一大塊足夠的記憶體，然後在迴圈內慢慢蠶食之。

8. 在「解構函數（Destructor）」內使用「例外處理（Exception）」是很危險的！
作者認為，在負責釋放記憶體、收尾等工作的解構函數，還去霸佔新記憶體作事情是不好的。若真的發生例外（Exception），直接「吃掉（Supress）」不要讓它出現在使用者面前可能還比較好。

9. 若你要比對字串結尾，請用 '\0' 代表
有些程式設計師因為 '\0' 其實就是數字 0，而在比對字串結尾時，直接使用 0 來比對字串結尾。作者認為這個習慣不好。

10. 請勿濫用 # ifdef
# ifdef 很好用，但很容易讓原始碼雜亂難讀。作者不會建議大家不要用，但他反對連可以用 if ~ else 解決的場合，都濫用 # ifdef。

11. 別把一堆運算子全都擠在同一列
多分成幾列，Debugger 可以比較容易指出發生錯誤的是在哪個環節。

12. 當你「拷貝貼上」程式碼時，特別注意「最後一列效應」
作者還是不太建議濫用拷貝貼上，他認為需要重複使用一段程式碼，不如好好考慮寫成稍有彈性的函數，然後重複叫用。此外，他建議大家去看「最後一列效應」這篇文章（連結在本文），並了解最後一列效應在拷貝貼上程式碼內，所扮演的角色。

13. 程式碼若很長，盡量多折幾列，然後排成像表格般一樣整齊（Table-style）

14. 好編譯器 + 好的寫碼習慣是不夠的
內文舉了個後括號「)」括錯位置，但編譯器抓不出來的例子。

15. 若有一堆意義相關的常數，請用 enum 括住它們

16. 「看我能把程式碼寫得這麼屌！」的炫耀寫碼心態不可取
寫程式碼要以「穩」「易讀」為主，不是把一些剛學不久，覺得很酷，但三個月後會忘個精光的技術用進程式碼內。

17. 想用程式碼把一塊資料清乾淨，最好把清除程式碼獨立拉出來成一個專屬函數
18. 你在一個語言行得通的方法，在另一個語言不一定行得通
19. 盡量用技巧避免在同一個類別內，建構函數彼此呼叫的情況
20. 讀檔時，只檢查有沒有讀到檔尾（EOF）似乎是不夠的
21. 正確檢查 EOF 的方法
22. 有比使用 # pragma warning(...) 來印錯誤訊息更好的方法，勿濫用
23. 如果你想取得字串長度，用函數自動幫你算，別用手算然後硬填數字上去
24. 請多使用 "override" 與 "final"，它們會是你的好朋友
25. 別再把 "this" 指標跟 "nullptr"（空指標）拿來作比較
26. 小心使用 VARIANT_BOOL 這個陰險狡猾的東西
27. BSTR（Binary STRing）這個用於微軟 COM/Automation 技術中的資料型態，請小心使用
28. 能用函數把一段程式碼包起來重複用，就別用巨集包它（使用巨集函數的缺點多於優點）
29. 在迴圈或迭代程式碼間，使用 ++i，來取代 i++（i++ 編譯後的執行效能稍微差那麼一點）
30. wprintf() 函數的使用陷阱：Win32 印寬字元字串要用 %S（大寫），Win64 要用 %s（小寫）。
31. 陣列在 C/C++ 傳給函數時，並非是「傳值呼叫」（Call by Value）
32. 要把檔案內的文字直接印在螢幕上時，請不要直接使用 printf() （怕檔案內夾雜 % 開頭的字，這些字對 printf 是有特殊意義的）
33. 想對一個指標取值（亦即：*p），記得檢查它是否為 NULL。否則你對 NULL 取值會導致系統出錯的
34. 別以為 int 的上限 21億+ 很多，在 64 bits 系統中，這個數字很容易爆掉
35. 若您把 enum 常數與 switch~case 連用，增加新元素進 enum 時也別忘了加新 case 進 switch
36. 如果有怎麼抓都抓不出來的 bugs，記得往「記憶體」的方向去思考（32bits vs. 64bits 之類的問題）
37. 在 do~while() 內用 continue 指令要小心，有可能會跳過你放在底部的「更新條件」，導致無窮迴圈
38. 對於指標，請用 nullptr 代替 NULL，這是新的 C++ 規格書希望您遵循的
39. 試著別把一列式子搞得太複雜，這樣比較不會有「咦？為何這段寫錯的程式碼居然可以運作」的問題出現
40. 開始使用「原始碼靜態分析工具」吧！
41. 別為了要使用某函式庫的一個函式，而引進整個函式庫。如果只用了一個函式，建議自己寫比較容易維護。
42. 別再用 empty 這個曖昧的字眼當函數名稱了。用 erase(), clear() 都比 empty() 好。

如果您覺得小弟翻譯了這麼多，沒有功勞也有苦勞，那就麻煩按個讚犒賞小弟一下吧！當然歡迎轉發給您 Facebook 的朋友共同討論。最後提醒一句，上述 42 點別把它們全都當聖旨，親身體會驗證才是最重要的喔！

祝福大家假期愉快！

Tags: 常數函數例子 Craftmanships SoftwareEngineering CPP Refactoring ProgrammingSkills

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由紀老師每天瀏覽 500+ 國內外「程式設計」文章後，挑出真正有用的文章，分享在此！堅持不貼「問安文」與「生活照」的園地（笑）。

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#4. 常數函數- 維基百科，自由的百科全書

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數 f ( x ) = 4 {\displaystyle f(x)=4} f(x)=4 ，因為 f {\displaystyle f} ...

#5. 常數函數的圖形 - Live數學學習網

常數函數：. 凡函數式為f(x)=b f ( x ) = b ，稱為常數函數，其中b b 為常數。常數函數的圖形：. 常數函數f(x)=b f ( x ) = b 可視為方程式y=b y = b ，故常數函數的 ...

#6. 一次函數

由优可知此函數為y＝2x＋5， x＝7 代入得函數值為2×7＋5＝19。設此常數函數為y＝k，. 因為 ...

#7. 2 線型函數與函數圖形

求此常數函數。 3 求常數函數. 例題. 由f（2）＝－5，可得f（ ...

#8. 2-2-1-1 常數函數之微分| 數學| 均一教育平台

影片：2-2-1-1 常數函數之微分，數學> 大學先修> 微積分> 逢甲大學微積分課程> 逢甲大學微積分課程-第二章導數。源自於：均一教育平台- 願每個孩子都成為終身學習者， ...

#9. 線型函數與函數圖形

數與常數函數的意. 義。教學眉批. □ 利用f （x）＝ax＋ b，a≠0 來定義一. 次函數。 □ 例題1 的目的有. 二：. 1 了解一次函數的. 函數值。 2 為繪製函數圖形.

#10. 什麼是函數？

例子. 男女混班的班級，學生和性別的關係就是映成函數 ... 例子.一個定義在R→R的自己對到自己的函數(例如：2對到2，3對到3. ... (1) ( f(x) =a 是常數函數).

#11. 常數函數_百度百科

常數函數是基本初等函數之一。在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。

#12. 生活中的數學--函數

子，來說明函數，希望藉此篇文章讓同學對函數有更深層體認，及對數學能提起 ... 再以例子詳. 係式裡，對於. 函數，也就是. 有自己的身高 ... 作常數函數. 慣上，0(零.

#13. 函數與其圖形

【範例】：試畫出常數函數 y ＝f( x )＝3 的圖形。解：對函數 y ＝f( x )＝3 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：. 再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條.

#14. 國中數學(認識函數) cjt 第1 頁第二冊4.1

定義：對於給定的每一個x 值，都恰有一個y 值與它對應，就稱「y 是x 的函數」. 註：一個x 值，恰對應一個y 值，即1 ... 常數函數：方程式y＝k，k 常數，稱為常數函數。

#15. 常數函數公式2023-在Facebook/IG/Youtube上的焦點新聞和 ...

常數函數公式2023-在Facebook/IG/Youtube上的焦點新聞和熱門話題資訊，找常數函數公式,常數函數例子,常數函數微分在2022年該注意什麼？常數函數公式在2023的熱門內容就 ...

#16. 3-3 判斷函數的方法

Precalculus，Ch3 函數，Cheng-Fang Su ... 回到上一節曾提到的例子：假設t為時間（單位為秒）， x 是位置（單位為公分），然後 ... 則稱f 為常數函數（constant.

#17. 函數圖形:在座標平面上將符合y=f(x)的所有點(x,y)描繪出來

例子 :y= f(x)=x-3, 當0≤x<5. -3 當x<0 ... 常數函數:y=f(x)=b(b為常數),其圖形為水平直線 ... 鉛直線的圖形雖然為直線,卻不是線型函數,屬於1-多非函數圖形.

#18. 數學基礎自學講義

(2) 不管x 是多少， y = 12，這種式子與x 無關， y 都等於一個常數12，. 我們說這種函數叫做_ 。 (3) 生活中有很多常數函數的例子，請舉出2 個。座號( x ). 1.

#19. 國中_數學_函數與函數圖形_常數函數_概念 - 學習吧

近期更開始針對學習弱勢的學生製作更多影片、教材，希望幫助更多的孩子。【影片簡介】本支影片是「數列與級數」的相關影片，是「常數函數」的概念影片。

#20. 微分法則

先從最簡單的常數函數開始，. 考慮f(x) = c 。其函數圖形y = c 即右圖的. 水平線，顯然其切線斜率均. 為0 ，因此有f' ...

#21. 第四章線型函數

4-1 變數與函數. 4-1 節是從學生熟悉的生活中的例子（例如：便利商店影印與學生考試成績）出發， ... 3 常數函數的圖形為一條平行x 軸的直線，他的斜率是0；.

#22. 常數函數

答：可以，一个恒定函数的例子是y(x)=4，不管输入值是多少，y(x)的值总是等于4。问：如何判断一个函数是否是常数函数？答：你可以通过观察一个函数的输出值是否对每个 ...

#23. 8.1節變數與函數

看完這些例子後，藉由自變數與應變數，我們可以給函數一個更明確的定義：. 對於給定的一個x值，經過某一 ... (C)，沒有x項，即x次數為0，是常數函數，也是線型函數。

#24. 常数函数例子 - 掘金

常数函数是指输出恒定值的函数。在数学中，常数函数的形式通常为f(x)=c，其中c为常数，而x可以是任意数值。以下是常数函数的一些例子：. f(x) = 5，这是最简单的常数 ...

#25. 數學界的一股清流：常數函數 - 每日頭條

在數學中，我們把值不會發生改變（即常數）的函數稱為常數函數（也叫常值函數）。如函數f(x)=8，因為f映射任意的值到8，因此f是一個常數。

#26. 可汗学院公开课：微积分（一）-常数函数的导数是0-网易公开课

常数函数的导数是0 本集视频示范了导函数的第一条性质，那就是常数函数的导数是0，并从导数的定义式出发进行了证明，帮助观者从直观和本质上了解导函数的特殊性质。

#27. 一次搞懂「多項式函數」 - Snapask Academy

第一個步驟是假設我們的未知數，再來是列出關係式，解方程式，最後再驗證答案、寫答。現在馬上跟著Kelly 老師來看看這題範例要怎麼做吧！根據題目，我們 ...

#28. 國中小數學教師專業成長影集─函數篇 - 愛學網播放影片

後續再舉一些其他的例子來澄清函數記法的意義，例如：兩種對應關係的函數、月份的記法、攝氏和華氏溫度、常數函數、等差數列等。在函數圖形方面，先介紹如何透過直角 ...

#29. 函數的極限與連續函數

上一個例子告知正弦函數與餘弦函數都是連續函數(continuous function); 也就是說, 函數在任 ... 在a 為自然數的時候, 配合常數函數進行有限步驟的加、減、乘而得。

#30. 二次函數

設不等式ax2 + 2(2a - 1)x + (7a - 2) < 0 對於一切實數x 均成立，. 試求其中常數a 之範圍。答案：a < -1. 說明：這題為標準題，代入公式就可得解。實例 ...

#31. 函數的基本觀念

集合A中的每個元素所對應的元素可行成一個集合，此集合稱為函數的值域，記為，所以函數通常可記為。例題1.設，，C ...

#32. 3-3 函數與圖形

一開始課本利用以下的例子來介紹函數圖形的意義。例子：假設x代表一個數，y代表這個數的 ... 常數函數. 不管x 代入任何數，y的值都固定不變的函數，稱為常數函數。

#33. 函數及其圖形

都恰有一個對應的金額，這就是函數的應用。 ? 動動腦：日常生活中可否觀察到符合函數關係的例子？ ... 當a 0= 時， f x^ h稱為常數函數，其圖形是一水平直線。

#34. 一般生成函數之應用 - 中央研究院

本文中將介紹一般生成函數重要的性質並透過大量的例子說明他們在組合數學. 上的應用。 ... 例2.1: (常數數列的生成函數) 常數數列{1}∞. 0. 的生成函數是.

#35. 單變數函數可導的定義與例子 - 宇宙數學教室

例子. 例1. 常數函數. 設c∈R,f1:(−∞,+∞)→R，f1(x)=c。我們稱函數f1是「常數函數(constant function)」，因為f1總是將任何一個x對應到固定值c。

#36. 第五章- 超越函數

原因為二反導數可能會差一常數而不完全相等。令. 最後來看如何利用對數來簡化微分的計算。此為. 在西元年 ...

#37. 3-6 多項式函數的積分

微分公式：. 若，為常數，則。

#38. Chapter 13 Fourier Series (Def) 週期函數設函數( ) f x 定義在 ...

最常見的週期函數是我們熟知的三角函數；sin x，cosx， ... 流電的電流或電壓強度等，都是簡諧振動的例子. 前面已介紹過將函數 ... 都稱為常數，稱之為三角級數的係.

#39. 示例二: 函數的基本概念(二)

例子 1－汽水自動販賣機(設販賣機只出售一款6 元的汽水，投 ... 們用f 表示這函數，則上圖中的例子可分別表為： ... 這會對他們了解常數函數，構成障礙。

#40. 常數

您可以從本文中得知有關常數(constant)的語法，以及使用的時機。 ... 讓我們先看看常數宣告的例子: ... 而除了下面所列的標準函數外，也不允許使用函數呼叫。在常數 ...

#41. 一次函數與常數函數函數圖形自我評量. - ppt download

23 由例題5 及隨堂練習可以知道：像 f（x）＝－2，g（x）＝－1，h（x）＝0 這類的常數函數，無論自變數為何，所對應的函數值都是一個固定值，故常數函數f（x）＝b（b≠0） ...

#42. 第二章多項式§2−1 簡單多項式函數及其圖形

( k 是常數，p＞0 ). (C). 上面三個例子都是函數關係。距離S 的大小隨時間t 的變化而改變，t 在某一個. 時段內取任一個值，就對應S 唯一又確定的值，S 稱為t 的函數。

#43. Fatou 引理與相關的例子 - 知乎专栏

本文介紹Fatou 引理跟相關的例子。先看這個引理: Fatou 引理: (證明略):若\{f_n(x)\} 為非負可測函數，並逐點收斂到f(x) ，則有以下Lebesgue 積分的 ...

#44. 從「物理感」來理解簡諧運動的數學公式

沙漏單擺：以小振幅擺動的單擺，展示簡諧運動與正弦函數之間的關係。 ... 的意思：在彈力對位移的線性函數圖形中，彈力常數（ k ）就是該直線的斜率。

#45. INDEX 函數- Microsoft 支援服務

傳回根據列號和欄號索引選取的表格或陣列中元素的值。當INDEX 的第一個引數是常數陣列時使用陣列形式。語法. INDEX(array, row_num, ...

#46. (a,b)-凸函數的討論__臺灣博碩士論文知識加值系統

假如函數f:I 到[-infty, infty) 是(a, b)-凸函數， a 不等於b， f 若連續則f 必為常數函數。換句話說，若想找到一個必較有意義的(a, b)-凸函數的例子，則f 必須是不 ...

#47. 積分常數 - Wikiwand

甚至假設F及G為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。注釋. ^ 積分 ...

#48. 它們所產生的對應關係。其中先改變的量，我們稱之為「自

為什麼這個例子這麼地令人無法接受? ... (1) 當x 是0 次方，也就是常數時，我們把它叫作常數函數，也叫作零次函數，如y =2 , y =-4, y=0.5 都是。

#49. 數學界的一股清流：常數函數 - 壹讀

更一般地，對一個函數f：A→B，如果對A內所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那麼，f是一個常數函數。

#50. 三角函數

我們可循以下的步驟,繪畫常數函數y=c的圖像。步驟一(y軸截距):於y軸上找出(0,c)。步驟二(連線):畫一條與x軸平行且穿過(0,c)的直線,並標示該函數。 1. □ 例子和試 ...

#51. 线性方程 - 数学乐

有很多不同的方式去写线性方程，它们通常有常数（像"2" 或"c"），并且一定要有简单变量（像"x" 或"y"）。例子：这些都是线性方程：. 是, y = 3x − 6.

#52. 111 學年度嘉義縣民雄國民中學特殊教育資源班第一二學期數學 ...

f-Ⅳ-1-3 將常數函數運用到日 ... 習多項式的定義與相關名詞（多項式、項數、係數、常數 ... 畢氏定理:老師利用生活中的例子(如:架梯子)，引導學.

#53. 數學式- Webduino Blockly 教學

常數，顧名思義就是一個不會變動的數值，常數函數包含了以下幾個數值： ... 如果和邏輯積木搭配，就可以判斷數字的類型，顯示對應的文字，以下面的例子來說，如果判斷4 ...

#54. 橢圓偏微分方程漫談

當函數的變數個數增加或方程微分次數. 增高時, 雖然上述三種分類再也不能涵蓋所. 有情形, 但許多重要的例子仍然可歸於這些 ... 首先, 常數是一個解, 線性函數也是; 解.

#55. PHP共和國-常數與變數

在上面的例子中「.」為字串串接符號，也就是把兩個字串連起來的意思。 defined() 函數是用來判斷常數是否被定義，若常未被定義就拿來使用時會產生錯誤。

#56. 從生活認識微積分（二）：什麼是「極限」？｜方格子vocus

極限, 趨近, 靠近, 數學極限定義, 函數極限值, 函數的極限, 極限是什麼 ... 最簡單的例子是常數函數f(x)=L，x趨近於a，便可以讓函數值f(x)=L=f(a)，但 ...

#57. 第5 單元簡單多項式函數

(3°)若m=0，則不論自變數x 的值如何變動，其因變數y 值恆為一個常數。 (b)函數圖形的角度： ... [例題2] 如右圖，設m1,m2,m3,m4 各為一次函數的圖形直線.

#58. 如何分辨多項函數和線性函數可以舉例嗎謝謝- Clearnote

多項式函數(Polynomial)：形式如anxⁿ+an₋₁xⁿ⁻¹+. ... 次多項式x–1 是一次多項式7 是零次多項式（又稱常數多項式）特別的，若已知常數多項式f(x)=0， ...

#59. 第一章緒論- 第一節研究背景

提供更多非多項式或離散型的分段定義函數例子，破除一個函. 數只有一個代數運算式的概念心像；注意常數函數的解說與練習，避免函數必有. 一個代數運算式的迷思概念。

#60. Section 2.1 Limits and Continuity 極限與連續

2. 常數倍的連續函數. 3. 連續函數的乘法. 4. 連續函數的除法. 5. 合成函數 ... 連鎖規則求導函數是相當技術性的，但我們可以很簡單的用一個例子來展示連鎖規則。

#61. 時間複雜度— 函數間的比較- Sharon Peng

從上面的結果得到用一些奇怪的Log後，換底也會是一個常數，所以在運算時，我們可以隨意地去交換Log的底。 2. 簡單例題. 那就讓我們開始吧～. （這邊解題的 ...

#62. 奇函數與偶函數 - NiNa.Az

偶函數的例子有|x|、x 2 、x 4 、cos(x)和cosh(x)。 ... 兩個偶函數的相加為偶函數，且一個偶函數的任意常數倍亦為偶函數。（偶+偶=偶n×偶=偶） ...

#63. 國二數學｜3分鐘搞懂多項式定義，加碼附上免費題目資源！

常數多項式f(x) = a，而且a 等於0 ，就被稱為零多項式，這個時候我們就不會特別定義零多項式的次數。舉例來說： f(x) = 4 是零次多項式。 f(x) = 0 是 ...

#64. 第六课：认识VB的常数和变数

认识Visual Basic 的常数和变数. ... 固定的数值如圆周率Pi(3.142) 或固定利率之类的数值都被归纳为常数。 ... 运算符. 数学函数. 例子.

#65. const - JavaScript - MDN Web Docs - Mozilla

在相同的可視範圍內，常數不能和函數，變數具有相同名稱。範例. 以下範例展示常數的行為。請在你的瀏覽器中試試以下程式碼。

#66. 二次函數配方法題目 - SimRacingSaar

在一元二次方程里，二次项系数=a，一次项系数= b，常数项= c。假设你面对的下面的方程：y=x2 + 9x + 18。在这个例子里，a= 1，b= 9，c= 18。函數f ...

#67. 微積分基本定理– 尼斯的靈魂

假設我們知道某函數的反微分，是否我們能刻劃出所有此函數的反微分呢? ... 由微分的均值定理我們可以知道，函數的微分如果為零函數，那麼此函數必定為常數函數。

#68. 一階微分方程及其應用

單例子引進微分方程(即含有微分係數的方程). 的一般概念,並讓學生求出這些 ... 敎師可以透過例子清楚說明微分方程的解的 ... 如,函數ces+*似乎含有兩個任意常數,但事.

#69. 高中數學（版聊式）/第3節：導數的計算- 維基教科書 - Wikibooks

初等函數的導數的推導並不需要掌握，能看懂即可。並且導數的定義計算可能要涉及 ... 即常數函數的變化率始終為0，這也是符合我們的認知的。 ... 下面將舉幾個例子。

#70. [數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論 - 謝宗翰的隨筆

我們稱f 為單調(Monotone) 若f 為單調遞增或單調遞減。以下我們看兩個經典的例子： Example: 1. 令f:R→R 滿足f(x)=c 且 c∈R 則此常數函數既為單調遞增亦為單調遞減 ...

#71. PART 1：反導數(04：07)

假設F'(x) = f(x) ，我們稱F(x) 的導函數是f(x) ，. 也就是說f(x) 的反導數為F(x) ，記做\int {f(x)dx} = F(x) + C. 其中C 為任意常數，反導數又稱為不定積分.

#72. P.5-1 第五章指數與對數函數

若將常數次方與變數交換，可得到以常數為底的變數次方，此類函數稱為指數 ... 指數函數. 指數函數的例子為. 一般而言，指數函數的底可以是任意正數 a (a ≠ 1)。

#73. Function 指令- GeoGebra Manual

上面的例子不能寫成 Curve2D[1 , sin(x), 0, 2] ，因為GeoGebra 不會知道第一個參數中的「1」是指一個「常數函數」。雖然上面我們將Function 指令的「繪圖範圍」設定 ...

#74. 一維波函數 - MyOOPS

它產生了不同的能量，並有一個波長和能量之間的關係；就是這個例子中的動能，或是總能量。我們看到了指數對應於負 ... 這不是一個不同的波函數，它只是乘以一個常數。

#75. 调和函数- 快懂百科

对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克 ... 函数：。 n元的调和函数的例子有：. （1）R所有的常数函数、线性函数和仿射 ...

#76. 數學函數- 2023

上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發 ... 微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的 ...

#77. 2023 數學函數- osdvd.online

上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義 ... 從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數的 ...

#78. 數學函數2023 - camelka.online

#79. 數學函數2023

那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的下表列出類別的System. ... 系列：「從生活認識微積分」中的第一篇，在本文中將列舉數個生活例子，帶你逐一了解函數 ...

#80. 2023 數學函數- esecegiz.online

#81. 數學函數2023

#82. 概率图表示之马尔可夫随机场 - 阿里云开发者社区

分数可以是任何函数，但在我们的例子中，我们将其定义为以下形式： ... 其中$Z = \sum_{A,B,C,D} \tilde p(A,B,C,D)$ 是一个规范化常数，用于确保分布 ...

#83. 一元二次方程式- 2023 - farewell.pw

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 ... 有些二次函数问题，可以利用一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）来解答； ...

#84. ChatGPT的工作原理-电子发烧友网

下面是一个有两个输入（代表坐标x 和y）的神经元在选择不同的权重和常数（以及Ramp 作为激活函数）后可以计算的函数的一些例子：. 人工智能.

#85. 簡易方程2023

微分方程的解是一個符合方程的函數。 ... 等量」這個概念是最為重要的，也是很多同學在轉換時候會出現錯誤，接下來我們來看看幾個高頻失分例子：.

#86. 2023年高一上册数学教学计划 - 人人文库

师：这些函数有什么共同特点? 生：都有指数运算.底数是常数，自变量在指数位置. (若有学生举出类似y=max的例子，引导学生观看，它依旧具有自变量在 ...

#87. 2023 一元二次方程式 - ozcanden.online

#88. 簡易方程- 2023

數學魔法王利用水晶球，與采穎一起穿梭時空，尋找生活中有關方程的實際例子，並向她 ... 解，是指解為一組函數，而這個函數之間的差異只在於稱為積分常數的係數不同。

#89. C++回调函数_moneymyone的博客

从上面的例子可以看出来，同一个函数指针，可以指向不同的函数实现，因此可以针对不同的场景，传入不同的函数，而调用方根本不用修改代码。

#90. Gan 的批判函數- 2023

GAN的思想是一种二人零和博弈思想(two-player game)，博弈双方的利益之和是一个常数，比如两个人掰手腕，假设总的空间是一定的，你的力气大一点，那你 ...

#91. 偏微分参考書海閣- 2023

一種求出這些切線的好辦法是把其他變數視為常數。例如，欲求出以上的函數在點(1, 1)的與xOz平面平行的切線。右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函數 ...

#92. 2023 簡易方程 - ferah.pw

#93. 簡易方程2023

#94. 無限符號意思- 2023 - fandangle.pw

在測試函數空間上的線性泛函要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數，有整數和常數，使得對每個測試函數，以下不等式都成立：【Chris Pang ...

#95. 2023 簡易方程 - derdelka.online

#96. 時間序列分析- 2023

比较典型的例子包括：医学天气经济学天文学一直到20世纪20年代，时间序列分析才 ... 4、樣本的偏自相關函數： 5、時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關 ...

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