高三孩子一定要看 大!!! 重!!! 點!!!
下星期是高三的最後一次模考,數學3~4冊的重點如下(1~2冊,之前po過)
1.平面向量:共線理論(α+β=1),內積與應用(求長度,夾角,正射影),分角線方程式.
2.空間:定坐標系(求面積,距離,夾角),平面方程式,直線與平面的位置關係(求交點,夾角),兩平面求夾角,點到線,面之距離,投影點,對稱點的求法.
3.行列式:矩陣的列運算(幾何意義),克拉瑪公式求解.
4.圓與球:圓方程式的求法,參數求面積的極值,切線的求法,最大最小距離,空間直線,平面與球面的位置關係(弦長,截圓),切平面,南北緯計算弧長(球面最小距離).
5.圓錐曲線:利用定義的活用題,標準式(或斜拋,橢,雙)求各要素,拋,橢圓求軌跡,極值問題,光學性質.
6.排列組合:基本的相鄰,不相鄰或錯位問題,同物排列,次序限制問題,分組分堆,選排問題,幾何計數(直線,三角形,交點數…),二項式求係數.
7.機率:古典機率(骰子,銅板,數字問題),分組分堆,期望值(很重要).
8.統計:標準差(兩組混合或少一個,多一個求新標準差),伸縮平移,統計圖表的判讀(何者S,QD,M…最大,最小),信賴區間(很重要,可復習學測或數乙考古題)
先挑自己不熟的單元復習,考試時別急,慢慢寫,採穩紮穩打,就可以了!高三(四)孩子加油嘍!(來,我發功幫各位加油,嗄﹏﹏)
同時也有3部Youtube影片,追蹤數超過3萬的網紅李祥數學,堪稱一絕,也在其Youtube影片中提到,成為這個頻道的會員並獲得獎勵:https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join 追蹤我的ig:https://www.instagram.com/garylee0617/ 加入我的粉絲專頁:https://www.face...
斜 橢圓 方程式 在 李傑老師 Facebook 的精選貼文
下星期是高三的最後一次模考,數學3~4冊的重點如下(1~2冊,之前po過)
1.平面向量:共線理論(α+β=1),內積與應用(求長度,夾角,正射影),分角線方程式.
2.空間:定坐標系(求面積,距離,夾角),平面方程式,直線與平面的位置關係(求交點,夾角),兩平面求夾角,點到線,面之距離,投影點,對稱點的求法.
3.行列式:矩陣的列運算(幾何意義),克拉瑪公式求解.
4.圓與球:圓方程式的求法,參數求面積的極值,切線的求法,最大最小距離,空間直線,平面與球面的位置關係(弦長,截圓),切平面,南北緯計算弧長(球面最小距離).
5.圓錐曲線:利用定義的活用題,標準式(或斜拋,橢,雙)求各要素,拋,橢圓求軌跡,極值問題,光學性質.
6.排列組合:基本的相鄰,不相鄰或錯位問題,同物排列,次序限制問題,分組分堆,選排問題,幾何計數(直線,三角形,交點數…),二項式求係數.
7.機率:古典機率(骰子,銅板,數字問題),分組分堆,期望值(很重要).
8.統計:標準差(兩組混合或少一個,多一個求新標準差),伸縮平移,統計圖表的判讀(何者S,QD,M…最大,最小),信賴區間(很重要,可復習學測或數乙考古題)
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斜 橢圓 方程式 在 李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的最佳解答
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斜 橢圓 方程式 在 利用旋轉矩陣來轉橢圓 - YouTube 的推薦與評價
![影片讀取中](/images/youtube.png)
旋轉矩陣(英語:Rotation matrix)是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果並保持了手性的矩陣。旋轉矩陣不包括點反演, ... ... <看更多>
斜 橢圓 方程式 在 Re: [中學] 斜的圓錐曲線- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言:
: 因為小的高中的時候
: 斜的圓錐曲線的單元已經被刪掉了
: 可是實在蠻有興趣的
: 不知道哪裡有學習的資源
: 網路上的資料都蠻零碎的...
※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言:
: 因為小的高中的時候
: 斜的圓錐曲線的單元已經被刪掉了
: 可是實在蠻有興趣的
: 不知道哪裡有學習的資源
: 網路上的資料都蠻零碎的...
化簡二元二次方程式: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
δ= b^2 - 4ac 可透過先轉軸消去xy項,再平移軸化成標準式
但對於有心錐線(有對稱中心的圓錐曲線,如橢圓、雙曲線),則先移軸到對稱中心
再轉軸消去xy項會比較簡單
化簡原則: 設g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
1. 先檢查δ= b^2 - 4ac 不等於 0
(1)先移軸至新原點O'(h,k),消去兩個一次項係數,g(x, y)化簡成
Γ: ax'^2 + bx'y' + cy'^2 = -f (移軸後二次項係數不變)
_
| 2ah+bk+d=0
其中新原點坐標O'(h,k)滿足 |_ bh+2ck+e=0 ,解出(h, k),得到f=g(h, k)
(2)再轉軸一個銳角θ,其中 cot2θ=(a-c)/b,消去x'y'項
變成Γ: a'x"^2 + c'y"^2 = -f (轉軸後常數項不變),即可將Γ化成標準式。
2. 先檢查δ= b^2 - 4ac 等於 0
(1)先轉軸一個銳角θ,其中 cot2θ=(a-c)/b,消去xy項
g(x, y)化簡成Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f (轉軸後常數項不變)
此時Γ中a'、c'必有一個為0 (見註1)
若c'=0,Γ會變成 Γ':ax'^2 + d'x' + e'y' = -f
(2) 當e'不等於 0時,可將Γ'加以配方,再移軸可得Γ為拋物線
當e'等於 0時,則Γ可能為兩條平行線或兩條重合直線或沒有圖形
從以上討論,可以得到化簡一般二次曲線的方法與原則,根據這些原則,我們可以去判
定Γ的形狀,不過在化簡過程中,除非到最後,否則無法判別出Γ的形狀
然而在坐標變換的過程中發現有些「係數所形成的代數式」是保持不變,利用這些「係
數所形成的代數式」我們就可以根據原方程式的係數來判斷出Γ的形狀。
1. 不變量:二次曲線Γ: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 中經過「移軸」
、「轉軸」的變換後,其係數所形成的代數式:
|2a b d|
(1) H=a+c; (2)δ= b^2 - 4ac; (3)b^2 + (a-c)^2; (4)△=1/2 |b 2c e|
|d e 2f|
的值都不會改變 _
| x = x'+ h
[證明] <移軸> 設移軸至新原點O'(h,k),移軸公式 |_ y = y'+ k
代入Γ的原方程式後得到Γ: a'x'^2 + b'x'y' + c'y'^2 + d'x' + e'y' + f' = 0
所以對於H、δ、b^2 + (a-c)^2 而言,經過移軸顯然是不變量
|2a' b' d'| | 2a b 2ah+bk+d |
△=1/2 |b' 2c' e'| = 1/2 | b 2c bh+2ck+e |
|d' e' 2f'| |2ah+bk+d bh+2ck+e 2(ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f)|
| 2a b d | |2a b d|
=1/2 | b 2c e | = 1/2 |b 2c e|
|2ah+bk+d bh+2ck+e dh+ek+f| |d e 2f|
_
| x = x"cosθ - y"sinθ
<轉軸> 設轉軸一個銳角θ,轉軸公式 |_ y = x"sinθ + y"cosθ
代入Γ的原方程式後得到Γ:a"x"^2 + b"x"y" + c"y"^2 + d"x" + e"y" + f" = 0
2 2
其中 a" = acos θ+bcosθsinθ+csin θ
2 2
b" = -2asinθcosθ+b(cos θ-sin θ)+2csinθcosθ = bcos2θ-(a-c)sin2θ
2 2
c" = asin θ-bcosθsinθ+ccos θ
d" = dcosθ+esinθ e" = -dsinθ+ecosθ f"=f
2 2 2 2
H不變量 => a"+c" = (acos θ+bcosθsinθ+csin θ)+(asin θ-bcosθsinθ+ccos θ)
2 2 2 2
= a(cos θ+sin θ)+c(cos θ+sin θ) = a+c
b^2 + (a-c)^2不變量 => b"^2 + (a"-c")^2
= [bcos2θ-(a-c)sin2θ]^2 + [bcos2θ+(a-c)sin2θ]^2
2 2 2 2
= b^2(cos 2θ+sin 2θ)+(a-c)^2(cos 2θ+sin 2θ) = b^2 + (a-c)^2
δ= b^2 - 4ac不變量 => b"^2 - 4a"c" = b"^2+(a"-c")^2-(a"+c")^2
= b^2 + (a-c)^2-(a+c)^2 = b^2 - 4ac
(註1) 當轉軸角θ滿足cot2θ=(a-c)/b (0 < θ/2 < π/2)
且 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2 => b"=0
_______________
=> a"-c" = √[b^2 + (a-c)^2] = (a-c)cos2θ + bsin2θ
a-c 2
= bsin2θ[(a-c)cot2θ/b + 1] = bsin2θ[(-----) + 1]
b
因為sin2θ>0,所以a"-c"與b的正負號相同
2. 利用不變量來化簡二元二次方程式:
設g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
(1) δ= b^2 - 4ac不等於0時,先移軸再轉軸 _
| 2ah+bk+d=0
先平移到新原點O'(h,k)消去x,y項係數,其中(h,k)滿足 |_ bh+2ck+e=0
=> Γ: a'x'^2 +b'x'y'+ c'y'^2 = -f'
其中 a'=a, b'=b, c'=c, f'=g(h,k)
再轉軸銳角θ,消去x'y'項,其中cot2θ=(a-c)/b
=> Γ:a"x"^2+c"y"^2+f" = 0
因為 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2,且b"=0
a-c 2
所以a"-c"= bsin2θ[(-----) + 1] ,可解出a"、c"、f"=f'=g(h,k)
b
(2) δ= b^2 - 4ac等於0時,先轉軸再移軸
先轉軸銳角θ,消去xy項,其中cot2θ=(a-c)/b
=> Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f'
因為b'^2 -4a'c' = b^2 - 4ac = 0 => a'=0 or c'=0,不妨設c'=0
=> Γ: ax'^2 + d'x' + e'y' = -f',其中d'=dcosθ+esinθ, e'=-dsinθ+ecosθ,
f'=f
再移軸至O'(h,k),其中(h,k)的找法可利用配方法。
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◆ From: 124.9.6.2
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