【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候,教授問了一個問題,「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」,那時候我想了很久,總是想不出來到底要怎麼設計,才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是,如果要在任意點的極限都不存在的話,那可能要先解決一個問題,那就是在設計了一個在某一點,例如說 a 點,極限不存在的函數以後,要如何改造這個函數,才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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(接下來的內容,建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來)
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舉例來說,如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數(例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0;而當 x 大於 0 時其函數值均為 1),那麼要如何改造或調整這個函數,才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢?針對這個例子而言,或許可以這樣做:先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在,但因為 1 並非 0「旁邊」的數字,所以顯然還要再調整,於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在,但同樣地,因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字,所以我們繼續調整這個函數,下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5,依此類推,再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5,持續這樣的步驟,最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在,但是原本在調整時的兩點極限不存在,卻因無限持續這樣的步驟,而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況,是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此,那如果不要持續上面的步驟無限次呢?如果僅持續有限次的步驟,那麼在該次步驟的下一次,一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些,這個推論的結果就是,如果僅持續有限次上述的步驟,那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果,無論是有限次或無限次操作上述的步驟,最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪,因為這意味著從一個點的極限不存在出發,去逐步改造出一個處處極限不存在的函數,方向很可能是錯誤的。
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那麼,該怎麼辦呢?
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面對這個問題,當時的我最終並沒有自己解出來,而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來,並告訴我他的想法。
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他告訴我,既然從一個點的極限不存在開始是行不通的,那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧!例如一開始的函數乾脆設定成這樣:當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時,將其函數值設定為 0,而其他地方則設定為 1。例如,當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時,其函數值就是 0,而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時,其函數值就是 1。如此一來,我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點,比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點,似乎好像有了長遠的進步,但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點,那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題,我的朋友告訴我,下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話,大概是這樣操作:例如,在 0 和 1 之間,函數值原本都是 0,但接下來把這個區間切割成 10 等分,然後第 1、3、5、7、9 個區間(也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間),我們把函數值調整成 1,其餘的不動,那麼我們就可以得到一個,除了在所有整數點極限都不存在的函數以外,這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間,則在等分割成 10 個區間以後,將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話,那麼在每一個整數區間(就是 n 到 n + 1 的區間)裡面,其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來,再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間,然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0,而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間,但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1,那麼,這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外,但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來,繼續進行上面的動作,不斷地十等分分割之前產生的區間,並且適當地調整其函數值,使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ,或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態,持續無限次,最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版,這邊我們先講簡單版,以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言,固定任何一點 a,其左極限只有兩種可能,0 或 1,但因為這個函數被分割地非常地密,而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動,所以這個函數在 a 點的左極限不存在,因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後,因為 a 這個點是任意取的,所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛,因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因,也因為我們還沒學到極限的嚴格定義,所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在,但現在回想起來,那位奧數朋友還是很猛!因為他就好像那種天生的小說家一樣,信手拈來就寫出了一本傑出的小說,而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡,今天的故事似乎已經講完,但其實還沒,因為這樣聰明的人,並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題,其實在 19 世紀時,就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家,他所創造出來的一種函數(後來稱為 Dirichlet 函數),就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下:當 x 為有理數時,其函數值是 1;當 x 不為有理數時,其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在,也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了,但我有拍一部影片來說明,如果你想繼續看下去,可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片,我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在,但其實當初 Dirichlet 所面對的問題,並非「是否存在處處極限不存在的函數」,而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後,Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數,而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且,除了無法圖像化以外,Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位,因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期,那麼就會存在最小週期,但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數,因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊,或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章,不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的,所以如果真的要寫的話,那可能就還要再等一陣子了。
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最後,跟大家介紹一下我上面所提到的影片,那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝熱情認真的李學長,
今天要來介紹「建中科學班」!
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科學班考試三月多就考了,獨立招生。
📍考進科學班有什麼優點?
主科老師會是比較有經驗的,幾乎沒有地雷老師。老師還會同時兼任你的專題研究老師
🔆三年不分班,會有電神互相切磋討論。
教學資源多,可以借用科學館做實驗、借競賽資料、想考數理科免修可以直接報名(普通班要7%或是老師推薦)。
數理科目進度高二就上完,要在高三去台大修課(微積分、普通物理、普通化學、普通生物四選一)。高二下須通過資格考試方能第三年取得台大修課資格,沒考過者你會拿不到科學班認證證明文件,但是不會強制將你轉班。
📍 科學班的內容會不會比較難,成績會不會不好看?
🔆 數理科的內容會比較難,老師比較少管必選修,以主題式教學為主。
某些科目段考較難,老師會調到比較高分,只要你有努力老師一定看得出來分數給的算高。文科被當在科學班會更常發生,因為我們甄選就是數理跟一階不太難的語文考試。
📍 我是一個沒有超修的國三生(注意,那是會考前),要怎麼準備考試?
🔆 初試:
語文:不用太擔心,英文國文都在會考範圍,然後T分數差距也不大。
考古題以及其相似題型有公開,建議練完,才有考過初試的機會。
同樣地,初試會有沒準備的人來考,分數的標準差較大,最後T分數大概會落在60上下,在總體人數上大約是60/350。
科學班數學考試絕大多數題都可以國中解法,但多半想不太到。不會寫不要太沮喪,其他人大部分也不會寫。如果有餘力可以學習一些高中好用的單元如三角函數,能在你想不出那些超難解法時提供一個只要花時間就可以做出來的方法。
自然科會參雜一些高中觀念,但是不太會影響到解題,計算方面則多半是國中公式在高中的延伸。可以針對考古題去對對應的高中章節進行延伸閱讀在考試時比較不會那麼慌。
🔆 複試(實驗&證明):
數學佔複試4成,數學會是好幾大題每題帶六七小題的形式,其中每題的前段基本上通過初試的人都做得出來,建議每題都先做完前幾小題,卡在一大題很久會造成大量的分數損失。建中沒有公布複試題目,但外縣市學校好像有,可以去找找,但難度低於建中。
物理和化學各佔複試的2成,都有筆試和實驗。
物理筆試會考一些較難的高二高三題型最難到達物理奧林匹亞初複試水平,運動學和力學佔大宗,物奧初選該部份可以在高中範圍念完後練習一下。光學和熱學出現了國中為提供的公式請先自行預習,高中的電磁學與國中難度差較多,考的比較少。
化學筆試範圍有點多且量也很多(四十幾頁),有英文文章的閱測,比起其他題這類題目只要英文能力強一點就能做了。其他題目需要高中大量觀念,而且有些觀念是常常連高中生都忽視的(像溶解)。
🔆 實驗的部分:
兩科都是以高中實驗改編而來,會有線索提供你研究步驟以及計算,在討論的部分最好能去閱讀一些高中的實驗手冊,了解格式以及重點句的寫法,不要玩器材,會被扣分,打破也會(手殘者在此)。數據做出來差強人意也要放然後再想辦法解釋,你如果捏造數據老師一定會發現,你的成績就不會太高。有些討論不會需要作完實驗,實驗做不出來趕緊寫那裡搶分!!
複試的實驗技巧很多難以以國中的能力去填補,如果有這個規劃,可以在初試後詢問你的國中理化老師是否有機會讓你在課餘時間自主訓練高中實驗。(我的國中老師蠻支持的)
生物和地科各佔複試一成,生物高機率動植物器官、滲透壓、細胞觀察。做好這三類的實驗考過機率較大。地科由於內容不多,推薦讀完高中內容,才能節省做題組前要看大量資料才能解決的窘境。
✅ 再來是學習歷程的部分,學習歷程會用到競賽、專題等東西,考上者你們跟數資班對比的優勢就在四月到七月了,趕緊選一科專心拼競賽。在開學後你們可以跟數資班拉開一段距離(但在一、兩年後就沒了QQ)
✅專題研究有數學、物理、化學、生物、地科、資訊六科可以選,與你的競賽能力無關,建議去台大或中研院找個指導教授,他能帶給你大量的收穫。
專題研究高一下開始分組,高二上10月有國際科展初審,進度快者可以直接拼這個
高二下三月會有校內科展然後特優可至台北市科展然後特優可至全國科展,最後還是會回到台灣國際科展,台灣國際科展的目的就是篩選出一批國手前往美國比ISEF選上國手至少可以推薦本科系,得幾等獎會影響保送推薦範圍,請查教育部法規。
✅ 開學初會有能力競賽,以及各科奧林匹亞,能力競賽物理、化學、生物、地科限四選二初試,到了校隊培訓時資訊以外科目限選一科成為校隊。
然後有時候比競賽還是會吃天賦的,吃天賦的大小由左至右遞減大概是
數學>資訊>物理>化學>生物
但同樣也有人全部都行然後被迫上述能競四選二
最終能力競賽與奧林匹亞都會匯流到選訓營,然後決選營,而選訓營前半會推薦個本科系,成為國手後得金銀銅會影響保送推薦範圍,請查教育部法規。
✅ 科學班保送推薦人數僅佔三分之一,其餘的人最終還是會回流到學測指考。如果當初文科很爛考進來,沒拼到保送或推薦及特殊選才者很吃虧。可能會因此落入一些較差的志願。申請時如果有一個某科選訓營,加分會很賺。
✅ 再來就是要關注人才培育計畫,大概在8, 9月可以去考,有台大、清大、中研院等等各科的培育。這可以推廣到專題研究的部分,如果你對計畫裡的指導教授的研究主題感興趣的話,你可以毛遂自薦,指導教授get!
✅科學班的同儕實力很強大,有數物化生地免修的人、各科的奧林匹亞決選者與國手,跟他們一同考試時不要壓力太大。也因為這樣你永遠有奮鬥的目標,以及能幫你在課業跟競賽都走得更遠的人。
#俐媽學子經驗分享
#俐媽學子經驗分享資優班篇
#他們認真拚數理科學
#但也沒偏廢英文的學習喔
#台大明明高手輩出
步階函數微分 在 李屏瑤 Facebook 的最佳解答
期間限定放電小站,女子朋友來文照登。
好的,時間到,感謝大家的踴躍來信,
朋友說77字的限制實在太狠,
而女同志徵友如果沒有限制字數,
後果才真的是不堪設想!!!
有好幾則都是準準的77字,實在是強者。
然後字數超過的,就掰掰了朋友們。
寄信規則附在最後。
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春羽
這裡是鄉下的小孩,來自純樸的台中,因為是家中第一個小孩,從小被當成男生養,心中許多壓抑,無法好好的向家人表達,期待有個筆友可以交流彼此的故事。
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J.I.H
經過許多日子的碰撞與自我沉澱,終能了解及面對自己的內在,年過三十的我,想在人生新階段,找一位可以一起勇敢的女孩,一起生活,一起一起很多很多!
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Eros
喜歡小說喜歡飲食文學喜歡到電影院看電影。喜歡蘇打綠棉花糖TizzyBac黃玠。喜歡散步消耗不愉快的事情和累積重新出發的能量。喜歡笑起來甜甜的可愛女孩。
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S
從透光層下發出微弱訊號,投送,等待接收。「但你永遠不知道發出的聲納會帶回什麼樣奇怪的回音,人世的地形遠比海底詭異。」一同文字散策,邊交換電影與生活,好嗎?
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小啟
打電話太緊張,開視訊太害羞,傳訊息太煩人,雖然字醜,但寫信還是最棒ㄌ。(不過認同是雙ㄛ!打個預防針,哈。)ㄜ,無話可說了,拜拜。
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Rei
To My Elite
Let’s find each other by pure serendipity, shall we?
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N
期望在載浮載沉的人生中,不經意遇見那個對的人。就先從朋友當起吧!不分/35+/瘦子一枚/各種議題控/興趣廣泛。等待有緣的妳。
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Vita
聰明、有趣靈魂、像貓一樣的女生人人喜歡,請先確認自己承接的起、願意珍惜再來吧。哲學。雙子。四十多歲。婆。
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VSK
體大的新生一枚,喜歡運動,各種音樂類型都會聽聽,大愛國片,最近手做耳夾上癮中。
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林瑪琍
65年次牡羊踢高雄人,自宅自居有固定工作,興趣跑步籃球羽球爬山。個性害羞內向但善良純樸,最愛小柴但沒有養,希望能認識也愛小柴願意一起走向未來的妳。
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厭世美少女:妳願意跟我一起在殘酷又美好的世界裡踽踽獨行嗎?墜落時,讓我們伸手相依,欣喜時,讓我們一同歡慶,我會一直在這裡,等著妳與我相遇。#雙性戀 #輪椅使用者
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Sophie
我是外表小隻、內在高大,帶點反差的女子朋友。1986年生,天蠍B型,典型(?)女同志:有貓、會畫畫、喜歡閱讀和山林。單身三年,覺得差不多可以回歸了這樣。
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攸竹
喜歡獨立音樂,調性冷的或另類民謠。像莉莉周她說、凹與山。不熟西洋音樂,想認識可以互補的人。個性不算社交型、也不完全內向,常常為此所苦,現在嘗試努力習慣中。
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安安你好,我叫波波。今年23歲,目前定居台北。現在的目標是在家準備研究所,好希望今年可以考得上呀QQ疫情期間大家都在家幹嘛呢?好想趕快出去玩啊!總之請多多指教了。
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Anya
我是個好奇、熱愛在生活中四處探索,又經濟穩定的自由工作者。我愛狗、愛美食、愛隨心所欲的旅行。35歲的我,已把自己準備好,期待迎接一個成熟、知性、同為P的妳
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裘德
享受獨處,也愛成群結伴;喜歡戶外活動,也愛靜態活動;近中年的短髮不分,被說傲嬌又少女心。期待你的理解,不需時時刻刻的陪伴,若即若離的關係,才是我所冀望。
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史乖寶
36歲,短髮,射手座(但覺得現在的自己比較像土象星座)目前生活在台北,簡單、誠實,喜歡走很長很長很長的路,收集手環,拍人孔蓋;還喜歡詩和民謠。希望你也愛笑:D
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大可
我是大可,思緒可以飛得十萬八千里遠,就跟喜歡的音樂一樣,從Lady A到MAMAMOO到壞特,電影、戲劇、展覽也差不多,如果可以,我們先從文字交流開始吧!
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嗨,我是Ju,是踢,30歲惹真的覺得人生越來越難,關於我,喜歡電影、小說、旅行,看似普通的興趣但有好多想交流,想體驗這世間的一切,期待與你好好聊個天:)
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Rae,H,30初
待在家太久才發現自己是需要常與人互動的個性。散步找貓是日常,畫畫聽獨立樂團是興趣。個性有點慢熟,但喜歡聊聊我們的故事。誠徵老靈魂or解封山友。
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請詳閱來信規則,即日起至7/17為止,郵戳為憑。
步驟如下:
1.請寫信,信內請斟酌要給對方的聯絡方式。
2.裝入貼有郵票的信封,封好。(以下稱信封A)(請依照重量衡量郵資)
3.信封A除了郵票外請留白,若願意留地址可以寫。
4.請在便利貼上註明這封信要給誰,貼在信封A外
5.將信封A及便利貼放進稍大的信封(以下稱為信封B)
6.將信封B(內含信封A)寄至「10099台北南海郵局第454信箱 李屏瑤收」
7.等待回信的期間,記得收看7/17的熱線晚會。
另,可以寫信給好幾個人,就是變成信封As,
交友不是函數。(我為何還記得這種事
歡迎收聽podcast:違章女生lalaland或是女同志週記。
也可以在蝦皮搜尋:#違章女生 或 #寫字練習
有很多有趣的周邊呦呦。
疫情期間,大家請多多保重,
照顧自己也照顧別人。
圖片來自電影《時時刻刻》,
我猜想到時候分信會變這樣......
電影年代久遠到找不到清楚的圖了......
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【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
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【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分篇】
重點一:定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二:奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三:定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四:積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五:微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六:不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七:雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八:積分表 (沒有講解影片)
重點九:四大積分基本方法之一:變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十:四大積分基本方法之二:三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
├ 精選範例 10-1 (https://youtu.be/kflmL1YIZbY)
├ 精選範例 10-2 (https://youtu.be/0Rc6tmLmI_g)
├ 精選範例 10-3 👈 目前在這裡
└ 精選範例 10-4 (https://youtu.be/lRdFCJ9kCuQ)
重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
重點十二:積分表 (沒有講解影片)
重點十三:四大積分基本方法之四:部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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想請問一下就是不是要連續才能微分嗎?
就像絕對值不能微分一樣...
那為什麼步階函數u(t-a)可以微分然後變成delta(t-a)
照理說步階函數函數不是在t=a那一點不連續,不能微分嗎??
那為什麼他可以微分成delta(t-a)呢???
懇請各位為神人為小的解讀...謝謝...
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