關於 百世數學講義 ，我們在網路上蒐集到這些相關的討論、資訊與評價

引領全球半導體科研五十年 施敏教授獲頒未來科學大獎

被譽為「華人諾貝爾獎」、每年每獎項均頒百萬美元獎金的未來科學大獎9月12日公布獲獎名單，國立陽明交通大學終身講座施敏教授因提出基礎性的金屬與半導體間載子傳輸理論，引領全球半導體元件開發，獲頒2021未來科學大獎之「數學與電腦科學獎」，11月將於北京受獎。

未來科學大獎成立於2016年，是大中華區第一個由科學家和企業家共同創立的民間科學大獎，設立「數學與電腦科學獎」、「生命科學獎」與「物質科學獎」，授予具科學突破、重要科學發現的科學家。2021未來科學大獎頒獎典禮將於11月登場，國際頂尖科學家將齊聚分享科學成果，探討科學研究發展、洞悉未來趨勢。

施敏教授1963年取得美國史丹福大學電機博士，進入知名研發重鎮貝爾實驗室(Bell Labs) 。但在1968-1969年度，特別請長假回國，指導他的第一位博士生張俊彥(我國第一位工學博士)，提出金屬與半導體間的電荷流動理論和傳輸模式，奠基過去五十年在積體電路元件中最為關鍵之歐姆與蕭特基接觸，使得晶片產業能夠依照「摩爾定律」持續擴展，成為各類電子系統不可或缺之要件，也不斷大幅度的提升了人類的生活和文明。

在此之前(1967年)，施敏教授和貝爾實驗室同事姜大元博士，共同發現了「浮閘記憶體效應」(Floating-gate memory effect)。由此理論的基礎概念衍生出多種記憶體，其中「快閃記憶體」為目前所有移動電子產品的核心元件，但因此項工作在美國完成，並不在此次未來科學大獎獲獎範圍。

此外，施敏教授於1967-1969年所撰寫的《半導體元件物理學》（Physics of Semiconductor Devices），起先用於交大電子研究所上課講義，很快受到全球矚目，翻譯成六國語言、發行超過300萬冊，被全世界半導體和積體電路領域師生、研究人員及相關產業不斷地引用，為全球最暢銷的「半導體界聖經」。

施敏教授的成就與貢獻備受國際推崇。1991年獲IEEE J.J. Ebers獎、2017年獲IEEE最負盛名的Celebrated Member Award；是少數當選中央研究院院士、美國國家工程院院士以及中國工程院外籍院士的三院院士；也曾獲工研院院士、全球「快閃記憶體高峰會」（Flash Memory Summit）「終身成就獎」。

未來科學大獎科學委員會輪值主席、國立交通大學前校長張懋中表示，科委會由國際知名科學家組成，評選過程中力求最大限度地全方位了解獲獎人的研究成果與國際科學界的地位與影響力，每一位獲獎人的誕生，都來自科學界客觀公正的評選與推薦。施敏教授的成就奠基相關領域，半世紀以來，對積體電路科技進展與社會的貢獻深遠，實為舉世同欽。

讓女兒寫個在家自學一年的心得，她躊躇了一陣子，前天一動筆，三、四個小時寫出了五千字，寫的欲罷不能，超過我要求的字數。

寫的頂好的！

～～～～
自學一年心得
不知不覺間，我已經自學一年了，想想有些感嘆，就稍微和我的爸爸聊了聊這件事，結果，他思路清晰，很快的給了我一句話：「哦，自學滿一年啊，那就寫一篇三千字的心得吧，這是功課。」當下聽到有點無語，好吧，自己挖的坑自己跳，於是就有了這篇心得，來聊聊我這一年的經歷與學習。
為什麼會自學呢？一開始我自學時，身邊的同學與朋友是不相信的，一直以來我在學校的人緣都還行，雖不到真的很多朋友，但也不致邊緣，成績也沒有真的爛到哪去。
但事實上，我在學校的生活過得並不好。學習的部分，自從升上七年級開始，我的成績可以說是一落千丈，大約就是從第七名變成倒數第七名，生物數學地理變得困難，英文更是像開啟了新世界的大門，變得完全聽不懂，更要命的是學校一星期有五堂英文課，其中更有一堂是外師，全部都是英文，在得知有這堂課時，我的內心是崩潰的。
於是，在艱辛的七年級學業路上，只剩勉強過得去的歷史與公民，還有我唯一的希望國文。因為曾經遇過好老師，我的國文可以稍微自豪一下，在某次國文考試中似乎還得過全班第五名，為此我開心了很久；如果說國文可以稍微自豪一下，那麼作文就可以再自豪一點，我一直都很喜歡寫作，除了一次四級分，剩餘都是五級分以上，也常常被國文老師表揚。
但除此之外，就只能用一個「慘」字形容。隨著時間推移，我的數學開始跟不上，生物的難度也逐漸加大，社會科勉勉強強，原本就夠悲劇的英文更是變得慘不忍睹，偏偏英文的比重與考試是最多的，有成堆的英文考卷、講義，三個英文老師的功課更是讓我喘不過氣，那時，我很討厭考單字，因為我都是零分，不論怎麼努力都背不起來。
雖然，有許多熱心的同學幫助過我，有人會細心地告訴我錯的題目是為何而錯，有人甚至會在外師的課上幫我翻譯(在此深深感謝幫助過我的同學們，謝謝你們讓我撐過好一段時間)，但還是無法彌補我的程度與考試範圍之間的落差，我開始逃避這一切，在上課時間寫小說，因為只有這樣，才能讓我的校園生活過得開心一點。
在進入小說的世界後，與世隔絕，一切都是我能掌控的，不用被幾個成績欄的數字束縛，不用因為不擅長的事情而否定自我，雖然是個惡性循環，寫出來的作品質量也不好，但，那至少是我當下能想到的最好辦法。
除了成績與考試外，令我困擾的事情還有一件，我很怕吵，不喜歡和太多人相處，但學校就是一個群體生活的地方，每天一定要接觸到人，去接受他們的情緒，那時我對自己還不太了解，也嘗試融入人群，但發現好像沒有辦法，於是，我向我爸媽提起了自學。我的哥哥也曾是個自學了四年的自學生，爸媽在我表達完觀點後，便同意讓我自學，於是從八年級開始，待在家中自己學習。

一開始自學，也像是打開一道新世界的大門，門後的世界是精采美麗的，不會被課表切割時間，不會有成堆的考試等著我，可以在平日和爸媽出去玩，能在家自由自在的生活，愛做什麼做什麼。
不過，最讓我高興的依然是能將大部分時間精力投入到小說創作，一天中，我花最多時間作的事是寫作，架構世界觀，寫出一個個完整的角色，將它們之間的情感糾葛寫成一本精彩的小說，我非常享受這樣的過程，有時一寫就是好幾個小時。
我寫小說的這條道路還滿特別的，是在我五年級的那年，爸爸出了作業，要我和哥哥一天打字十分鐘，哥哥去玩打字遊戲，我則是想到可以寫小說，一開始的創作毫無章法，就寫了一點點奇幻校園故事，講述一群人打妖怪的故事，也就隨便寫寫，打發時間，直到五年級升六年級的暑假，暑假作業之一是要完成一千字的小說，那時，班上同學隨口說了句：「老師，如果寫到一萬字會怎麼樣？」那時班上氣氛歡樂，老師也開玩笑似的隨口回了句：「寫到一萬字就不用寫其他暑假作業了。」我默默地將一萬字這個數字記在心裡，並且在接下來的兩個月中，將原本八百字的奇幻校園故事完成，一共一萬零八百字。
從此以後，我便愛上寫小說，我喜歡寫奇幻故事，更是偏好暗黑驚悚，目前進行中的十二本小說，有奇幻、校園、異世界、現實等主題。
漸漸的，小說從逃避現實的工具變成我與世界溝通的媒介，我每天花大把的時間在創作與發想，寫作能力也漸漸提升，從以前的一天只能寫三百字到現在能一天六千字，而爸爸也給了我一個機會，去出版一本小說，於是，我開始將注意力放在一部作品上，也就是如今已經出版的「傷痕」。
「傷痕」其實跟我一開始的寫作風格差的很多，畢竟我是寫奇幻世界起步的，也沒想過會拿一個「連續殺人魔」當主角。
書中，一名童年被霸凌的少女得了創傷壓力症候群，精神疾病令她無法好好生活，也影響到她的思考模式，她堅信，只要殺了霸凌過她的人，她就能獲得「救贖」，她開始逐一解決霸凌過她的六人，在過程中有悲傷、痛苦，也有過後悔，隨著得知她慘痛的經歷，她心中的感受只剩下恨，最終殺了霸凌過她的六人，也殺光了教會中一半的人，這樣的方式並沒有令女主角獲得救贖，故事的結尾也非常悲傷。雖然小說終究是假的，但我覺得女主角這樣的人是真的有可能存在的，她的心生病了，令她做出極端的事，但凡教會中多一個人關心她悲劇都不會發生，偏偏卻沒有，這本小說也是我想告訴大家，要友善的與人相處，不然可能會釀成大禍。
在這本書中，我用了一種奇特的方法詮釋，分成了三個階段，現在、夢境(過去)、獨白。現在的部分主要是在描寫殺人的過程以及主角心境的變化，夢境是過去發生的事情，主要描寫主角被霸凌的故事及過程，獨白則是死亡的人沒說出來的心聲。
很多人問我，為什麼寫出這樣的故事，我給的答案都是「抒發心情」，對我而言，創作與寫作是有意義的，就是說出心中想說、表達想發聲的事情，而「傷痕」有更深層的意義，它是給不可改變的過去一個機會，也給了我一個機會。「傷痕」畢竟是我的第一部作品，各方面都很稚嫩，也不可能是我最好的一部作品，但他卻是對我而言最重要的一部作品，令我放下了許多執念，令我的心理狀態變得更加健全。
故事永遠都是故事，但卻能帶來如此神奇的功效，我想，這就是寫作的魅力吧！在自學的過程中，我會一直不懈的去創作故事，從而去理解世界與人心，我想成為一個厲害的作家，用文字成為他人的光，用作品去讓他人得到所謂的救贖，我不能阻止世界上發生悲傷的事，但我想盡我所能，讓更多人能感受到世間的美好。
傷痕出版後，我感受到了很大的快樂，除了親朋好友的好評，還有賺到了錢的快樂，也要感謝贊助我出書、為我這本書奔波勞累的阿嬤，感謝鼓勵我創作此書的哥哥，還有理解我的父母，我也會更加努力學習的。

如今我的十二部作品中，有許多提到精神病的故事，精神病是我想去了解的領域，因為想要去看看所謂「與正常人不一樣」的人心中究竟在想些什麼，去深入了解這社會中很多人不理解的「常態」，從而去創作真實又殘酷的劇情。
於是，我便開始研究「變態心理學」及「精神病學」，找到了一個北大的變態心理學課程影片，教授講的很好，我便看著影片學習。
我是真的很喜歡變態心理學，雖然不擅長的生物學模型有聽沒有懂，但心理學模型我還是上的津津有味，在心裡學模型的四個學派中，我最喜歡精神病分析學，意識、前意識和無意識和本我、自我、超我的概念是我很認同的。
異常心理與精神病是我在寫作中很喜歡提的，因為在童年成長過程所遭遇的事情會影響一輩子，在上課時教授也時常提起童年經歷等相關事情，我也喜歡將童年描述的悲慘，去營造一個更加立體的角色，這也就是為何我的作品中時常會有過去的描寫。北大的變態心理學課程很難，其中還會接觸到生物學、腦神經科學及遺傳基因等，都是我不熟悉的領域，雖然上課進度緩慢且要花更多時間精力去釐清，但卻是我自己心中所喜歡的，在過程中是快樂的，所以我很喜歡學習變態心理學。

在八年級下學期時，我的媽媽接到了一個三年級國小老師的工作，於是，非常閒的自學生我本人便接下了家中伙食處理的重要任務，開啟了我的廚娘生活。
我對煮飯是很有興趣的，之前也煮過幾次，不過要包辦全家人的三餐還是一項挑戰，我開始研究菜單，研究家人的口味，來煮出全家人都能接受的食物，一開始當然不太順手，跟廚房不熟，也多次燙到自己，在一次炸肉時更是差點把手炸掉，至今手上還有一道淺淺的疤痕，不過我不斷嘗試，越來越好，甚至被哥哥的高中同學們大力稱讚，聽說他班上同學很喜歡吃我做的燉飯，帶去的便當常常被搶，讓我非常的開心，還有一陣子幫哥哥的朋友也準備一份便當，賺一些小錢。
在煮飯的過程中，我了解了一些道理，第一便是和人一起生活有相同的口味是很重要的，我們家的口味還算相近，也能互相配合，比如我、爸爸和哥哥都不喜歡紅蘿蔔，我們家的咖哩裡面就不會放紅蘿蔔，改成全家人都喜歡的地瓜，但有些時候無可奈何，主廚就要辛苦一點，比如我哥哥不吃辣，但我和爸媽很喜歡吃部隊鍋，這種時候就要另外幫哥哥準備一鍋不辣的鍋物，不過因為過於麻煩，現在學乖了，我和爸媽會在平日中午哥哥去上學時吃有辣的東西。
第二個道理便是預算控制的重要性，爸爸給了我一定的預算讓我學習控制，起初幾個月預算常常超支，導致月底要吃的很簡單，不過也是愈來愈好，漸漸的還能留下一些預算，對於食物的價錢概念也愈來愈強。
我認為，會煮飯算是一項滿好的技能，能自己控制吃什麼、什麼時候吃，健康又省錢，如果有時間，學習煮飯真的是一個很好的選擇。

我一直很喜歡音樂，從小就也學習鋼琴，雖然現在漸漸荒廢，但我對歌唱的興趣也愈來愈高，尤其喜歡中文說唱，喜歡強大的節奏感以及富含意義的歌詞。
會接觸到中文說唱是因為鄧紫棋和潘瑋柏合作的「死了都要愛」，我便愛上了說唱的感覺，但是真正讓我想要學習說唱，是因為VAVA改編的「Life's a struggle」，叛逆又強勁的歌詞，無畏又悲傷的聲線令我決定開始練說唱。
我在說唱上有點天分，節奏感與生俱來，在說唱的過程中，我能感受到強烈的快樂，我也嘗試寫過幾首歌，雖然不成熟，但作詞作曲編曲都是我完成的，其中我最喜歡作詞，寫的大多是饒舌，唯一寫過一首旋律較多的歌是送給閨密的生日禮物。
相對來說，我歌唱的能力並沒有那麼強，也沒有特別喜歡的歌，直到聽到歌手黃霄雲唱的「打開」，我突然想要飆高音，便去找我的發聲老師爸爸學習，也愈來愈喜歡唱歌。
自學不久後，爸爸買了一台混音器，我便常常使用它，去磨練我的歌聲在麥克風中的樣子。
經過了爸爸的教導，我的唱歌實力不斷提升，以前唱起來吃力的歌也變得輕鬆，我很喜歡唱歌與說唱，也曾經參加「聲林之王3」的網路海選，雖然並未成功，不過也累積了些經驗。

自學的過程中，大部分時間都在與自己相處，於是，我慢慢去了解自己，漸漸的，我接觸到了「高敏感族群」這樣東西。
「高敏感族群」這樣的人大概就是會深度處裡事情，常常被過度刺激，同理心高且情緒反應強烈，是十分敏感的一類人。高敏感通常來自遺傳，我去做了測試，指數很高，其實不用到太驚訝或感到稀奇，畢竟世界上有20％的人是高敏感族群。
得出這個結果，便回顧了一下我的人生，好像真的是這樣的，我在人群中待不了太久，容易覺得吵雜，很在意別人的微表情與情緒，小時候也很多人說我內向，更嚴重的例子是，只要有人在我旁邊罵人，我都會感到害怕，不管他罵的是誰、因為什麼事情而罵。
印象深刻的是在國小的時候，有一位老師因為我們班的男同學太過不乖而氣哭，明明跟我毫無關係，我卻去跟老師道歉，還哭了，因為我能感受到老師的無奈和悲傷，我也是打從心裡覺得對不起老師，即便那堂課我完全沒有吵鬧。
不過，在了解自己是高敏感族群後，我的生活反而輕鬆了不少，因為知道我不是故意不融入人群，不是故意不去與人相處，只是先天的容易疲憊，自學待在家不去接觸人群也令我感到輕鬆，不禁再度感嘆自學這個決定的美好。
現在我接觸人的機會很少，除了去教會和買菜以外幾乎不與人接觸，朋友也是非常的少，但我活得很開心，因為這樣的狀態對我而言是最好的狀態。
高敏感對於我的寫作有很大幫助，因為對於情緒感受敏感，我能去創作飽滿的人物與劇情，這也是有人說「高敏感是種天賦」的原因吧！

說到底，自學最大的好處仍是「能學自己想學的東西」，畢竟人都有擅長與不擅長的東西，我認為沒必要對著教科書照單全收，去學習自己喜歡且有天分的東西對學習的效率與品質有也很大的影響，如果不自學，我根本不可能在十四歲完成一本小說，也不可能去研究什麼變態心理學，但既然我自學了，我就要對我所選擇的事物全力以赴，做到最好，這樣，才無愧於我的十四歲，無愧於我的國二。

如今已經邁入了自學的第二年，我也要抓緊時間去學習，好好運用我的天賦與努力，去寫作、創作，並且過的快樂、充實。
不知不覺間，本是三千字的心得也寫到了五千字，或許我真的很喜歡文字吧？就像是喜歡我的人生一樣。

小說「傷痕」博客來連結:https://pse.is/3ju946

【處處極限不存在的函數】
.
　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
.
　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
.
　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
.
　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
.
　　那麼，該怎麼辦呢？
.
　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
.
　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
.
　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
.
　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
.
　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
.
　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
.
　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
.
　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
.
　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
.
　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
.
　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
.
　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
.
　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
.
　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
.
　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
.
　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！