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在賭博期望值公式這個產品中，有4篇Facebook貼文，粉絲數超過4,466的網紅賭Sir（杜氏數學），也在其Facebook貼文中提到， 凱利公式喺高級賭徒的世界大名鼎鼎，咁到底咩係凱利公式呢？⁣ ⁣ 先問你一個問題，如果你眼前有一個簡單 1 賠 1 嘅公平賭局， 而你可以重覆參與幾多次都得 ，你有$100，你會點賭？⚖️⁣ ⁣ 如果你係冒險主義， 每一次都100%全押注All-in所有金錢，雖然贏嘅話次次都立即翻倍💰；但一輸就會立即...
　同時也有2部Youtube影片，追蹤數超過8萬的網紅賭Sir【杜氏數學】HermanToMath，也在其Youtube影片中提到，杜氏數學 官方網站： http://www.HermanToMath.com 賭Sir 幫你急救 DSE 數學： https://HermanToMath.skx.io ---------- ?️賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人 ?全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M...

「賭博期望值公式」的推薦目錄：


賭博期望值公式 在 賭Sir（杜氏數學） Facebook 的最佳貼文

賭Sir（杜氏數學） By 賭Sir（杜氏數學）

2021-08-31 21:00:31 有 30 人按讚
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凱利公式喺高級賭徒的世界大名鼎鼎，咁到底咩係凱利公式呢？⁣
⁣
先問你一個問題，如果你眼前有一個簡單 1 賠 1 嘅公平賭局， 而你可以重覆參與幾多次都得 ，你有$100，你會點賭？⚖️⁣
⁣
如果你係冒險主義， 每一次都100%全押注All-in所有金錢，雖然贏嘅話次次都立即翻倍💰；但一輸就會立即變零，一無所有💸⁣
⁣
如果你係保守主義，謹慎地每次下注$1，贏就賺$1 ，輸就蝕$1， 小朋友玩泥沙，咁嘥時間不如正正經經打份工好過😫⁣
⁣
全押注太多，賺$1又太少，咁應該投入幾高比例呢？ 作為高級賭徒，你一定要識凱利公式(Kelly Formula)📌⁣
——————————————⁣
🧮 凱利公式係一條可應用喺多次隨機賭博遊戲嘅公式，令到資金的期望值最高⁣
⁣
🌟 f* =（bp-q）/ b 🌟⁣
⁣
f* = 應投注的資本比值⁣
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）⁣
q = 失敗的概率，即 1 – p（也就是硬幣反面的概率）⁣
b = 純利率（也就是一賠１的１）⁣
公式上面的分子 bp-q 代表「贏面」⁣
⁣
———————————————⁣
例子：一局遊戲，贏的概率 p、輸的概率q 都為 0.5⁣
贏就一賠１，所以純利率＝1⁣
⁣
👉(bp – q) / b = (1 * 0.5 – 0.5) / 1 ⁣
👉= 0%⁣
❗拿出資金的 0% 進行下注，已經能夠使賭局收益最大化。⁣
⁣
⚖️ 即係話，原來就算賭局係公平嘅，根據數學都唔值得押注任何金錢。更何況，世界上大部分賭局都對玩家唔 fair 嘅，可想而之，連 fair 都唔值得賭，更何況係唔 fair 嘅呢？ 大家有睇過賭 Sir 嘅 Youtube Channel 就知道喇，所以大家切勿沉迷賭博啊❗⁣
⁣
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頻道 #杜氏數學 2016年創辦，訂閱65,000+，多條教學影片點擊100,000+；2018年獲出版社邀請，撰寫暢銷書《5**數學男人嫁得過》推廣「聰明應試」理念，並鼓勵年青人堅守自信。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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從中文大學風險管理學士畢業之後，鑽研超速學習法（Ultralearning）及教育心理學，將高效學方法先行用於自己身上，無間斷學習新知識；四年後重返校園，完成中文大學數學碩士（大數據分析）課程，期間考入門薩學會（Mensa），實證超速學習法。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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🏆座右銘⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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好多人以為自己因為對數學無興趣，所以數學低分；事實剛好相反：因為自己數學低分，所以對數學無興趣。試諗下，若然你有歌神嘅聲線，你仲會對唱歌無興趣嗎？⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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賭Sir考試戰績: (全部1 take過奪得) Ａ ── 會考 Math 數學 Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學 Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學 Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學 5** ── DSE Math 數學 5** ── DSE 數學延伸部分(一) 5** ── DSE 數學延伸部分(二) Ａ ── IAL Core Math 1 2 Ａ ── IAL Core Math 3 4 Ａ ── IAL Further Pure Math 1 Ａ ── IAL Further Pure Math 2 Ａ ── IAL Further Pure Math 3 Ａ ── IAL Mechanics 1 Ａ ── IAL Mechanics 2 Ａ ── IAL Mechanics 3 Ａ ── IAL Statistics 1 Ａ ── IAL Statistics 2 Ａ ── IAL Statistics 3 Ａ ── IAL Decision 1 9 ── IGCSE Math 9 ── IGCSE Further Pure Math
賭Sir是一位香港的作家，共出版了5本以粵語撰寫的書籍。同時，經營YouTube頻道「杜氏數學」（Herman To Math），題材主要包括賭博數學和DSE數學。
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賭博期望值公式 在 阿堯投資筆記 Facebook 的最佳解答

阿堯投資筆記 By 阿堯投資筆記

2020-04-19 20:26:27 有 128 人按讚
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<期望值 or 確定性？>

週四分享 Pabrai 演講，後來跟朋友聊到不管是 Pabrai 或 Francis Chou 這幾年的報酬率都不好。他覺得問題可能是 Pabrai 給自己限制每檔股票只能壓 10%

Position Sizing 一直是很多投資人的疑問，所以有人借助科學來幫忙，也就是週四那篇文章我討論的凱利公式

之後我反覆想，週五晚上在 IG 給了一個投票，問題是:投資哪個重要？期望值高或確定性高？

讀過賭博書的一定會回答：期望值高

但我的想法是確定性高，尤其對下檔的確定性要很高

舉個例子吧

A 策略 70% 漲 50%、30% 持平
B 策略 50% 漲 100%、30% 持平、10% 虧 20%、10% 虧 50%

以期望值來說。A 期望值是 35%，B 期望值是 43%。當然選 B

期望值比較像加法的概念，但投資我覺得像乘法

以 A 來說，你玩十次預期的報酬率是：1.5^7*1^3=17.08
以 B 來說會是：2^5*1^3*(0.8)*1*(0.5)1=12.8

所以看起來應該是 A 策略要壓比較多

而為什麼我上面會說下檔的確定性更重要？因為就算下檔有機會歸零，只要我知道這個特性（例如 call）那我在 Sizing 的時候就會考慮進去，就算我知道上檔很高，但就像左輪手槍，中一次就出局了。舉個極端的例子，上檔 1 萬倍，但勝率 10%，下檔歸零，機率 90%，以期望值來說我應該一直賭，但不代表我應該壓我大部分的身家在這個投資上，因為我可能沒有第二次了

這大概也是蒙格說，就算他知道波克夏開大一點的槓桿，在 99% 機率下會賺更多，但他們仍選擇不開

------

打著打著覺得上面這樣想好像還是漏掉點什麼，大家讀完有什麼想法嗎？我有哪邊漏想或想錯的嗎？

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賭博期望值公式 在 幣圖誌Bituzi Facebook 的精選貼文

幣圖誌Bituzi By 幣圖誌Bituzi

2015-02-10 07:06:00 有 67 人按讚
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【牧清華】凱利當初只是用在傳統賭局上，並非投資交易，卻被許多投資人誤解，以為凱利沒有用。這種情況，就像是你不會開法拉利，你會嫌車子爛嗎?
真正買法拉利新車的車主，是要到原廠受訓一段日子才能開車上路! 然怪最近好多超跑撞爛了，可能都是買二手裝闊，沒事先訓練唷?!

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賭博期望值公式 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的最讚貼文

賭Sir【杜氏數學】HermanToMath By 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

2018-10-29 20:58:25 有 20,206 人看過 有 200 人喜歡
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Title:
賭場VS賭波VS賭馬，如何預測賽果？
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Subtitle:
天有不測之風雲，何以天文台能夠預測天氣？
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Script:
賭場、賭波和賭馬，形式上非常不同：

賭局 賠率 機率
賭場遊戲 己知 己知
足球博彩 己知 未知
賽馬博彩 未知 未知

由於形式不同，戰術亦截然不同。但戰術不同，目標卻始終如一：「正EV」。只要EV是正數，賭博便佔優。重溫一次EV的計算方法：

EV = 淨贏注 × 贏錢機率 － 淨輸注 × 輸錢機率

換言之，賭場遊戲的賠率固定、機率固定，因此EV都是固定，而且一般來說都是固定的負數（因為對賭場來說便是正數）。對賭客來說，除非遇上賭場犯錯，例如推出新遊戲，規則上容許賭客獲得正EV#，否則於賭場遊戲長賭必敗無疑。

#《爽爆：全職賭徒鑽賭場漏洞　月贏80萬 》
　http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20121017/18042618

至於足球博彩，雖然是固定賠率制，但由於足球比賽變化莫測，不似賭場遊戲純粹訴諸物理力學，因此機率是未知之數，自然EV也是未知之數。只要有一定方法，便有可能取得正EV。

或許你會問：既然足球比賽變化莫測，一個不慎擺烏龍、一個不智領紅牌、一個球證誤判越位入球等，都會影響賽果，試問又怎能夠計算呢？

這個問題就等如天有不測之風雲，天文台為何能夠預測天氣呢？當然間中亦有錯判，但雖不中亦不遠矣，這就是數學的力量。其實博彩公司訂立賠率的時候，都會先以數學計算賽果機率，然後輕微調低作抽水。由此可見，只要比博彩公司計算機率計算得更準確，便能夠於賭局中佔有上風。

舉個例，朋友和你在街頭足球場看見兩隊業餘球隊比賽，朋友見一隊年輕力壯，另一隊白髮蒼蒼，於是開盤：「年輕隊1賠0.8、和局1賠2.1、元老隊1賠3.1」，這個時候，你發現元老隊球員原來是前甲組職業球員，年輕隊則是自己兒子的球隊，而你知道自己的兒子和他的朋友是乒乓球隊友，根本不懂得踢足球，因此，你預算元老隊的勝率遠超年輕隊。明顯地，這個賭局是你佔了上風。

換言之，這是一場資訊（Information）戰，擁有更多資訊的佔優。為什麼？因為資訊較多的一方，更能較準確地計算賽局機率（這也是馬評家晨早起床看晨操的目的，獲取一般馬迷不知道的資訊）。於上述例子，雖然不涉及數學運算，但仍算是一種粗略估算。當然，面對博彩公司，粗略估算是不足夠的，你需要比博彩公司更精確的機率計算，而方法就是：建立一個數學模型（Mathematical Model）。

提供重要資訊


計算預測結果

你先從現實世界搜集重要資訊，例如對賽兩隊的近績、對賽往績、預計陣容等，而對賽果影響力較小的，可選擇性地抽取，例如天氣溫度、領隊教練、花邊新聞等。然後，將這些資訊輸入到電腦程式，並由電腦進行運算，得出答案後，把電腦程式輸出的賽果，視之為對現實世界的預測賽果。程序大致如此，天文台預測天氣也是透過數學建模（Mathematical Modeling），量化重要的氣候現象，來預測未來天氣。

然而，電腦程式是如何使用現實資訊的呢？首先預設一些公式，然後匯入大量球賽歷史資訊，例如上述的近績、對賽往績、甚至天氣溫度等，從而利用公式計算預測賽果，將它與真實賽果比較，便可得知每一條公式的預測準繩度，繼而從中選出預測力最高的公式，加以使用，計算EV。

最常見的疑問是：「公式的準繩度源於球賽歷史資訊，包括真實賽果，準繩度自然必被高估，試問對比真實賽果又有什麼意思？」

這個問題可以利用一個名叫回溯測試（Backtesting）的小聰明手法，匯入資訊時，只匯入一部份，留下剩餘的部份歷史賽事當作未來賽事，執行公式模擬投注。
舉例說，你找了1000場相關賽事，你可匯入首900場，來挑選公式，然後用尾100場作模擬投注，計算出使用公式的EV。

賽馬博彩也是透過數學建模，你除了需要計算機率之外，你也要模擬最後賠率。因為賽馬博彩是實行彩池制（Pari Mutuel，又稱同注分彩法），賠率會因應投注額的分佈而時刻調整。假設你投注的時候，一號馬是1賠10，臨開閘的時候可以變了1賠3，到最後派彩可以變了1賠6，而你最後獲得的賠率，就是根據最後派彩，而不是你投注的時候。

由此可見，如使用數學建模，賭馬比賭波容易獲得正EV。主要原因如下：

賽馬是賭客與賭客之間的對賭。實施彩池制，博彩公司抽取投注額的手續費獲利，無論賽果如何，博彩公司已經賺了，派彩只是用輸家的注碼賠給贏家。只要有大量非理性的賭客，賭局佔優的機率便會較高，就好像到麻雀館打麻雀，遇著三位菜鳥，贏面自然較高。

相反，足球博彩是固定賠率制，是莊家和賭客直接對賭，莊家自然費盡工夫調整盤口，為公司獲得正EV，博彩公司正EV，即是賭客負EV。要從足球博彩中使用數學模型取勝，就得比博彩公司計算得更精確才有機會成功。

實際操作上，數學模型的構造當然比以上描述複雜得多，例如考慮的因素、各個因素的比重、賽事的數量，甚至注碼大小等，都絕不簡單。然而，原理大致上就是如此。

這一堂不教任何數學建模的方法，因為所需要的數學水平起碼要有大學程度，如想擊敗賭場，開始學習數學吧，有心不怕遲，只要沒有了考試的壓力，學習數學其實很愉快，也很輕鬆，或許最後你做不了賭神，卻成了數學家呢！

就算不打算學習數學，也希望你明白背後的原理，不致於大庭廣眾之下獻醜，不會再說由於隨機因此無法預測，而別人提起數學模型的時候，你起碼聽得明白。

天氣預測的科學發展已成熟多年，人類掌控隨機事件的能力已遠超一般人所想。天文台雖然無法完美預測每一秒的天氣變化，但大概準確，已造福人群；同樣地，賭局預測，雖然不會場場中，但只要大概準確，使贏的多過輸的，已足夠使賭客獲利。數學並非萬能，但只要適當地使用，絕對是強大的武器。
 
Summary

 賭場遊戲的賠率和機率都是固定。
 足球博彩實行固定賠率制（Fixed-odds betting），賠率固定，但機率不知。
 賽馬博彩實行彩池制，賠率不定，機率亦不知。
 賽果預測的原理，與天氣預測的原理大致相同。
 將現實世界重要資訊，匯入數學模型計算，用結果預測現實世界賽果。
 把部份歷史賽事當作未來賽事，用以驗證數學程式的準繩度。
 天氣預測無須分秒不差，賭局預測亦無須場場中，只要正EV就可以。

Terminology

 資訊（Information）
 數學模型（Mathematical Model）
 數學建模（Mathematical Modeling）
 回溯測試（Backtesting）
 彩池制（Pari Mutuel）
固定賠率制（Fixed-odds betting）
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo

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賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

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賭博期望值公式 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的最佳貼文

賭Sir【杜氏數學】HermanToMath By 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath

2018-03-15 21:00:06 有 39,650 人看過 有 264 人喜歡
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杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
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賭博期望值公式 在 Re: [問題] 關於期望值- 看板Inference - 批踢踢實業坊 的推薦與評價


作者bigboat (船)
看板Inference
標題Re: [問題] 關於期望值
時間Mon Jun 22 03:36:26 2009

承上一篇, 我現在比較有興趣的是一注降到多少錢, 大家會有興趣玩.

期望獲利的公式承上一篇大概是 Y - (注金) + ( 注金 / 2^Y )

那麼當注金是...

100元 要玩2^100=1.26*10^30次時打平不賠.
50元 要玩2^50 =1.13*10^15次時打平不賠.
32元 要玩2^32 =4294967296次時打平不賠.
16元 要玩2^16 = 65536次時打平不賠. (看來已經很人性化了)

假設擲一次硬幣要花一秒鐘.
有一半的賭博擲一次就決定勝負, 另一半需要擲第二次以上.
那麼65536次的賭博需要擲硬幣的次數便是:

65536*(1*(1/2)+2*(1/4)+3*(1/8)+4*(1/16)+5*(1/32)+...+16*(1/65536))
= 65536*((2^17-18)/2^16)
= 2^17-18
= 131054 次
每秒1次擲硬幣的速度, 要不休息不做別的事光丟硬幣 1.52天
而假設10個好朋友同時一起玩, 大概要花3小時38分鐘. (不准跑去尿尿)
大概以104萬8576元的總資本, 有機會賺進你們的第一次盈餘.
扣除資金回本淨賺了多少? 16塊吧 大概.
因為65536次的賭博把你們的期望值提升到 16 - 16 + 16/65536 = 16/65536 = 0.000244

注金再降低的話看起來比較接近一般賭客會冒險玩玩看的程度了吧.(幻想賽到一次大筆的)
問題是, 當賭博條件訂到這樣的時候, 應該也是賭場保鏢黑衣人條件達到的時候.

還是. 算了吧.
去便利商店打工1小時都比這10個賭客3個多小時不准尿尿拼命擲硬幣還強.
打工小弟若以法定最低時薪95/hr.來算.
賺錢效率是賭客的216.14倍. (而且還可以中途去尿尿)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 115.43.184.229
※ 編輯: bigboat 來自: 115.43.184.229 (06/22 04:54)
推 Jordan23:事實上, 賭博的期望值一直都是無限大, 只是贏錢機率小. 06/22 07:52
→ bigboat:的確, 只是滿足期望值無限大或是夠大的代價...很大... 06/22 09:22
→ bigboat:這個極大的代價, 不是我等渺小人類所能負擔而已. 06/22 09:24
→ bigboat:而且要以此賺錢來說, 效率極差. 06/22 09:25
→ bigboat:有很多賭博陷阱賴以吸引賭客上當而自以為必勝的包裝方式. 06/22 09:27
→ bigboat:就是以(很低的機率*很高的彩金)去平衡期望值 06/22 09:29
推 dsmwang:並非如此喔。你現在是以賭客的立場來看，但是以莊家的角度 06/22 11:40
→ dsmwang:因為賭客很多很多，所以假如期望值是負的的話莊家應該是會 06/22 11:41
→ dsmwang:虧本的。這種賭博不會有人要做莊的，因為一兩個僥倖贏的錢 06/22 11:41
→ dsmwang:就能把你從其他所有賭客身上賺的打平甚至虧本。 06/22 11:42
→ bigboat:當然以單筆注金降到16元來說, 莊家的風險是增加了很多. 06/22 11:52
→ bigboat:當注金調整到賭客與莊家的風險與獲利接近時, 就是好賭局. 06/22 11:54
→ bigboat:若是以原始單注100元的例子來說, 目前全人類當賭客還不夠. 06/22 11:56
→ BGirlAlu:事實上是這樣的：bigboat提出一注的錢，大家都不會玩，因 06/22 13:32
→ BGirlAlu:為bigboat如果當莊家，他一定不會算到自己虧錢。所以這時 06/22 13:33
→ BGirlAlu:候，只要有人提出比bigboat的價錢少一塊錢的時候，大家就 06/22 13:33
→ BGirlAlu:會玩了。顆顆 06/22 13:33






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直接比复杂的赌博游戏，在数学上可能比不过。 ... 回归到赌场讨论这个公式，根据f=(bp-q)/b公式结论，期望值(bp-q)为负时，赌徒不具备任何优势，也不 ...

#63. 期望值公式2023-精選在臉書/Facebook/Dcard上的焦點新聞和 ...

不過如上所說明的，3.5雖是「點數」的期望值，但卻不屬於可能結果中的任一個，沒有可能擲出此點數。 賭博是期望值的一種常見應用。 變異數與標準差.

#64. 巴斯卡三角與期望值 - 單維彰

他文雅地說明一個「機會賽局」（game of chance）--其實就是賭博(gambling) ──的規則，提問是：如果賭博中斷，如何根據現狀「公平地」分配彩 ...

#65. 交易和赌博有区别吗？ - 简书

这些赌徒纯粹是凭运气进行赌博，他们基本上是没有概率思维的，也不懂得资金管理，在参与一个长期来看是负期望值的游戏中，走向灭亡是必然的结局。 二，误 ...

#66. [閒聊] RUST 賭博 - PTT 熱門文章Hito

29 F 推andy78328: gbf的賭博小遊戲期望值是正的喔推薦大家都去玩 08/01 16:46 ... 50 F →wsgg25482: 師出同門只是這個看起來會用計算機但不會用公式另一 ...

#67. 「連贏14次彩票」的「數學家」有甚麼「神奇公式」？ - Jkf 百大

必勝公式3：4~6連號開出的機率5的中奖概率），十不出的胜率则高出1赔4（ ... 2022 賭博期望值公式解析; 賭博機率計算跟投注技巧有關計算｜六合彩機率; ...

#68. 刮刮樂真正解密！數學老師揭露「期望值、賠本金額」！

底下以當下最夯的2000萬刮刮樂為範例，用數學機率裡的期望值計算， ... 很抱歉，我必須下這種潑人家冷水的標題，買刮刮樂本身就是一種賭博行為，只要 ...

#69. 刮刮樂攻略：從期望值來看，怎麼買「比較不會」賠錢？

當了解期望值的簡單概念後，我們可以將期望值的算法簡化成以下的公式 ... 雖然我不鼓勵賭博，但人生中有多少選項是100%肯定的呢？

#70. 別去賭場了你永遠贏不了「凱利公式」 - 《超越新聞網》

我們先說一個最簡單的賭博遊戲：賭運氣猜硬幣。 規則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏 ... 公式上面的分子bp-q代表「贏面」，數學中叫「期望值」。

#71. 百家樂期望值到底是什麼？五分鐘讓你從數字看懂贏錢關鍵！

而「百家樂期望值」的存在，是為了幫助玩家設定一個金額，並且認定該數值可以滿足自己的期盼，且足以可以停止今天的賭博行為。通常，一般的職業玩家會設置5~10%的下注 ...

#72. [閒聊] RUST 賭博- 看板C_Chat - Mo PTT 鄉公所

推andy78328: gbf的賭博小遊戲期望值是正的喔推薦大家都去玩 08/01 16:46 ... wsgg25482: 師出同門只是這個看起來會用計算機但不會用公式另一 08/01 ...

#73. 数学能帮你做到“十赌十赢”吗?_赌场 - 搜狐

但两者之间仍有个重要差别：押单个数字的输赢波动显然比押红黑大的多。 此处先简单提一句：赢面和波动性是赌博和投资中极为关键的两点。“久赌必输”的 ...

#74. Re: [問題] 關於期望值- 看板Inference - 批踢踢實業坊

期望獲利的公式承上一篇大概是Y - (注金) + ( 注金/ 2^Y ) 那麼當注金是. ... 推Jordan23:事實上, 賭博的期望值一直都是無限大, 只是贏錢機率小.

#75. 百家樂的期望值 - 愛博弈

使用8副牌，因你押注莊家獲勝會抽取0.5的水，所以任何投注期望值仍然為負數，但以下注莊勝為最佳。百家樂莊家的優勢只有約1%左右，是各種賭場賭博中 ...

#76. 每賭必輸？揭秘賭徒贏不了的凱利公式- 歷史 - 中時新聞網

在每場賭博中，將1個人賭贏的機會視為期望值，當重複次數無限增長時，期望值就存在一種規律，也因為有這種規律，讓賭注中每種結果出現的概率都可以 ...

#77. 機率可以協助我們選擇，如果用來賭博會贏錢嗎？——《數學 ...

數學已經發展出強大的捷徑，幫助我們處理從遊戲到健康、從賭博到理財投資的一切不確定性，那 ... 如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為X。（公式介紹。）.

#78. 赌徒谬误：赌博与大数定律 - 知识分子的财新博客

顾客赢钱为正，损失为负，则顾客“赢钱”的期望值公式为：. E（顾客“赢”的期望值）= - 输钱数*输钱概率+赢钱数*赢钱概率. 第一项是负值，表示是顾客“输” ...

#79. 投資與賭博的區別在哪裡，為何久賭必輸？

總之，凱利公式要告訴我們的是風險控制的重要性，即，即便是正期望值的遊戲也不能押太大的賭注。從數學上講，押注資金比例超過了凱利值，長期的贏錢速度 ...

#80. 【主編碎碎念】資金控管（下）：藉由凱利公式決定資金配置

「凱利公式」是個使特定賭局，擁有正期望值之重複行為長期增長率最大化的公式。 它其實告訴我們：「在成功機率高時下…

#81. 賭徒謬誤：賭博與大數定律 - iFuun

伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數學家，他提出了著名 ... 顧客贏錢為正，損失為負，則顧客「贏錢」的期望值公式為：.

#82. 別去賭場了！你永遠贏不了「凱利公式」(組圖)

回歸到賭場討論這個公式，根據f=(bp-q)/b公式結論，期望值(bp-q)為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。這種賭博遊戲，要下負賭注，也就是說 ...

#83. 凱利公式

[www.idianlv.com]交易期望值與凱利公式之應用.pdf,福睿金融-外汇黄金平台 ... 应用于多次的随机赌博游戏,资金的期望增长率最高,且永远不会导致完全损失所有资金的后果 ...

#84. 凱利公式

巴菲特教你算出贏錢機率，投資、賭博都適用2021-08-22 08:30:00.在機率論中，凱利公式（也稱凱利方程式）是一個用以使特定賭局中，擁有正期望值之重複行為 ...

#85. 期望值公式 - 再在

有懂的老师同学请帮。 單元7 期望值; Excel求期望的函数(excel中期望值的函数) - 宇科软件; 賭博期望值公式. 期望值公式是 ...

#86. 凯利公式

应用于多次的随机赌博游戏,资金的期望增长率最高,且永远不会导致完全损失所有资金的后果。 简介在概率论中,凯利公式(Kelly formula,也称凯利方程式)是一个应用在正期望值之 ...

#87. 凯利公式

凱利公式的最一般性陳述為，藉由尋找能最大化結果對數期望值的資本比例f*，即 ... 好媳婦國際中文版 应用于多次的随机赌博游戏,资金的期望增长率最高, ...

#88. 凯利公式

当时凯利正在研究电视信号的压缩方法，结果却研究起了赌博来，源头是一档 ... 凯利公式(Kelly formula,也称凯利方程式)是一个应用在正期望值之重复 ...

#89. 21 點公式

前幾日，在探索頻道看了一個關於21點賭博遊戲的節目，描述21點玩家怎樣在賭場上 ... 公式中分子的b*p - q;代表“赢面”,数学中叫“期望值”(expectation), ...

#90. 凱利公式

巴菲特教你算出贏錢機率，投資、賭博都適用2021-08-22 08:30:00.在機率論中，凱利公式（也稱凱利方程式）是一個用以使特定賭局中，擁有正期望值之重複 ...

#91. Re: [閒聊] 遊戲王贏家可以拿走對方一張卡PTT推薦- C_Chat

外國有一種特殊的雙人玩法，雖然比較常見於MTG，但任何TCG應該都可以玩雖然不是「贏家拿輸家的卡」，但是其中的賭博成分讓我不禁想關心發明者的心理 ...

#92. Re: [閒聊] 遊戲王贏家可以拿走對方一張卡 - PTT評價

kirimaru7305/17 10:38這遊戲最神奇的就是它平均是負期望值上限是零期望值 ... 首Pow790818：早期的遊戲王有這個條件底下有人回應是這本官方公式書的.

#93. 機率期望值– 轉盤期望值| Like 669699

這裡說一下期望值,雖然大家都不陌生但是讓我們用這個理論看一下轉盤的問題... 轉盤有38個數字,一次最少壓一個… ... 機率的大數法則– 賭博必知觀念 → ...

#94. 賭客信條：一門源自賭博的科學（四版） - Google 圖書結果

一個人看透了輸贏背後更本質的東西,就會明白賭博究竟是在「賭」什麼,賭就已經不再是「賭」了。 ... 期望值的計算用數學公式表示為: EV = K1xP1 + K2xP2 + K3xP3 + .

#95. 統計學關鍵字典 - 第 70 頁 - Google 圖書結果

D 的計算飛鏢得分的期望值將離散型公式中的機率質量 p :換成機率密度函數( c ) ... 1 2 2 3 1 18 - [ Busings ]想靠賭博發財,就要認識赔率赌博赔率扣除率用 100 元 ...

#96. 統計，讓數字說話（全新增訂版） - Google 圖書結果

而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。 ... (期望值)就會是一樣的。抱歉啦! ... 你已經知道了數學公式,但是要用公式,必須先知道每個結果的機率。

#97. 賭場經典不敗策略?!攤平越攤越平?高勝率的2種馬丁格爾交易

傳說是一對愛賭博的夫婦，一個叫馬丁、一個叫格爾，發明了這個策略。 ... 馬丁格爾是一種「負期望值」的交易策略，有「一次性爆倉風險」