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各位晚安
又一段時間沒有分享微積分習題的精選範例了
今天來分享的是判斷函數是否連續的習題
不過這題的重點其實並不在判斷函數是否連續
而是在於給予一個相當反直觀的例子
對於「連續」這個形容詞
你們以怎麼樣的感覺呢？
一定要「連」在一起才叫連續嗎？
如果是這樣的話
那麼這個範例裡面給的例子應該能給你一個驚喜
在數學裡函數的連續
是可以一點連續而其他點通通不連續的
想知道是怎樣的例子嗎
點進來看看吧！
各位晚安
一段時間沒有發張旭微積分影片的文章了
不知道有多少人察覺這樣的事
前一兩個月我拍了上百部的教學影片
然後也很努力上傳和整理
我的團隊也每天被我荼毒
大家都很累
可是最近實在是有點力不從心
就算今天發佈的影片是幾個禮拜以前就錄好的
還是沒有多餘的時間跟力氣發佈
因為最近實在是太多事要忙了
和酷炫老師 莊酷炫(小苦苓) 合作的課程開賣了
公司實況部門比預想進度還快速地擴張
然後還要弄平台、弄推廣高等數學教育募資的事...
實在是被占據掉太多時間了
我一直以來都是同時間做太多事的人
所以以前常常很多事情不了了之
但這次真的不行
人一輩子一定得做好一件事
所以即便很忙，這件事還是得進行下去
但...
除了很忙以外
其實最近還有一件事情蠻打擊我的
說實在我一直不想去理會他
但是我實在實在搞不懂
為什麼當我們在努力建構一些事物時
會有人一直拆台...
我雖然一直告訴自己
那一定是過去我所造成的錯
所以現在才會回來咬我
可是...
如果只是針對我
可不可以真的只針對我就好啊
數學老師張旭並不是我一個人的品牌耶
我們團隊裡的每個人都很努力在經營
為什麼
憑什麼可以這樣一而再再而三地口出惡言...
難道在網路的世界裡隔著隱私權的面具
就可以用假帳號為所欲為嗎...
抱歉講太多了
真的很抱歉以上的文字可能會影響到各位的情緒
但我真的有點...
我真的覺得如果我個人被針對就算了
但團隊的努力不應該被這樣對待
還是我應該退下來
把張旭微積分這個名字撤掉然後換其他成員上呢...
這部影片
除了是用我自己編的講義和我的講解去拍攝以外
其實內容的設定與修整上，丈哥都參與不少
然後從連續篇以後
昆霖也加入協助後製的工作
然後也有一些新加入的夥伴幫忙營運這個品牌
譬如解題社團還有實況的部分
其實也不只這部影片
應該說數學老師張旭這個品牌
都是在大家的努力下才能走到今天這步
我們常常熬夜趕工
我們常常開會討論怎麼做會更好
我們人數有限
但我們目標統一，就是推廣高等數學
或許未來我會把部份課程放到線上販售
但那絕對絕對只是小部份
這兩個月來，我們幾乎竭盡所有體力
把所有時間都壓縮到極致
也燒了好幾十萬的經費
所為何事？
推廣高等數學教育，如此而已
很抱歉今天講了很多抱怨的事
但寫到後來比較沒有專注在思考那些負面的事以後
心情有比較好一些了
但仍然沒有足夠心情介紹這部影片內容
有興趣的同學們請自行去看吧
或者我在影片的下方有摘要
你們也可以先看看摘要
如果有興趣在點開影片觀看也行
大概就這樣
謝謝支持我們的你
各位凌晨安
前幾天才結束張旭微積分的連續篇
今天就馬上進入微分篇了
張旭微積分的微分篇一開始和大部分教科書的內容都差不多
不過，為了配合台灣高中生學過的東西
我在微分的一開始就介紹了指對數函數的微分
這個部分和一般的大學教科書的順序就不太一樣
他們通常可能放在數列級數之後
也可能放在積分之後
也可能另開一個主題專門來研究指對數函數
但因為台灣高中數學就已經學過指對數函數了
所以我就想說乾脆直接在一開始就來計算指對數函數的微分
結果遇到了不少困難
所幸有丈哥幫忙
我們最後算是蠻順利地把指對數的微分定稿下來
而且為了把其中的細節講清楚
我們也準備了蠻有趣的補充教材來說明
如果有興趣的同學不妨點開來看看
本主題學習地圖：
┌ 補充教材 (https://youtu.be/n0EM2n-PLOE)
主題一：導數與微分的概念 (https://youtu.be/G9feQfwpdKU)
├ 精選範例 1-1 (https://youtu.be/goVMCKBNA04)
├ 精選範例 1-2 (https://youtu.be/sWXu_HG7j9E)
├ 精選範例 1-3 (https://youtu.be/rGwSaliw8Bo)
├ 精選範例 1-4 (https://youtu.be/es-nORDWeU4)
└ 精選範例 1-5 (https://youtu.be/MiYeYhaqtOQ)
● 更多影片請到張旭老師 YT 頻道：數學老師張旭
● 頻道連結：https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g
● 各科完整學習地圖：http://tinyurl.com/ratrhxg
【摘要】
本習題練習驗證某個含根號的函數有極值
【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案：https://drive.google.com/file/d/1-p3_HoViBhKPOQ15-jVXsjIhymDZqawZ/view
簡答：可在張旭的生存用微積分社團下載
社團： https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【講義】
請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論，然後私訊張旭老師臉書粉專索取講義，通過審核即可獲得講義連結 👉 https://www.facebook.com/changhsu.math/reviews
【附註】
無
【丈哥的話】
嗨！大家好，我是丈哥
重點五大家可能比較陌生
雖然是從驗證條件開始
然後可以直接套用定理結束
裡面還是有些東西是要熟悉的
如果你喜歡我們的教學影片
請幫我分享給更多正在學微積分的同學們，謝謝～
【學習地圖】
【連續篇重點五習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgIGFlngKmMk3gxmWPKiKCg)
習題 5-2 (https://youtu.be/Od8l4gw9HnI)
習題 5-4 (https://youtu.be/27gyzbSjyrs)
習題 5-6 (https://youtu.be/ER8ixfaEc2Y)
習題 5-8 (https://youtu.be/KFWSiDDnd6M)
習題 5-10 👈 目前在這裡
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
【張旭老師其他頻道或社群平台】
FB：https://www.facebook.com/changhsumath
IG：https://www.instagram.com/changhsumath
Twitch：https://www.twitch.tv/changhsumath
Bilibili：https://space.bilibili.com/521685904
【其他贊助管道】
歐付寶：https://payment.opay.tw/Broadcaster/Donate/E1FDE508D6051EA8425A8483ED27DB5F (台灣境內用這個)
綠界：https://p.ecpay.com.tw/B3A1E (台灣境外用這個)
#張旭微積分 #連續篇習題 #丈哥講解
【摘要】
本習題練習計算一個極大容積問題，雖然它本來應該放在高中問題、或是微分判別法的章節，但放在這邊一樣是呈現連續函數必有極值，只是這個極值不那麼好找 (若不用算幾不等式) 的概念。一起來體驗看看吧
【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案：https://drive.google.com/file/d/1-p3_HoViBhKPOQ15-jVXsjIhymDZqawZ/view
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【丈哥的話】
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習題 5-2 (https://youtu.be/Od8l4gw9HnI)
習題 5-4 (https://youtu.be/27gyzbSjyrs)
習題 5-6 (https://youtu.be/ER8ixfaEc2Y)
習題 5-8 👈 目前在這裡
習題 5-10 (https://youtu.be/g9UTzvIjSSw)
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#張旭微積分 #連續篇習題 #丈哥講解
【摘要】
本習題練習計算某一種類型的分式函數存在極小值
【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案：https://drive.google.com/file/d/1-p3_HoViBhKPOQ15-jVXsjIhymDZqawZ/view
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【附註】
無
【丈哥的話】
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習題 5-2 (https://youtu.be/Od8l4gw9HnI)
習題 5-4 (https://youtu.be/27gyzbSjyrs)
習題 5-6 👈 目前在這裡
習題 5-8 (https://youtu.be/KFWSiDDnd6M)
習題 5-10 (https://youtu.be/g9UTzvIjSSw)
【版權宣告】
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#張旭微積分 #連續篇習題 #丈哥講解
張旭微積分｜連續篇｜重點一：連續的概念｜習題1-2｜數學老師張旭【丈哥講解】. 【摘要】 本習題練習論證帶有次方和根號的函數的連續性【勘誤】 無 ... ... <看更多>
張旭微積分｜連續篇｜重點一：連續的概念｜習題1-2｜數學老師張旭【丈哥講解】. 【摘要】 本習題練習論證帶有次方和根號的函數的連續性【勘誤】 無 ... ... <看更多>
連續篇習題 在 [其他] 中間的無限大? - 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
最近"集合論" (數學的一個基礎分支) 有一個大進展, 在此和讀者分享.
我的中班兒子已經會從數一到一百了. 問他六張樸克牌 1,2,3,4,5,6 和三張樸克牌
2,4,6 哪一堆比較多, 他可以毫不猶豫說前者比較多. 六張當然比三張多啊.
但是所有的數學系學生都要經過底下奇妙的第一關:
1,2,3,4,5,6,7,8, ... 和 2,4,6,8, ... 哪一堆比較多?
兩者都是無限大沒錯, 但答案是很煩的 "一樣多". 但是明明 2,4,6,8,... 只有
1,2,3,4,5,6,7,8, ... 的 '一半' 不是嗎? 怎麼會一樣多呢?
----------------
所以, 所謂的 "一樣多" 是什麼意思? 數學的嚴格語言讓我們可以精確描述, 沒有模糊空
間. 因此需要集合論. 1,2,3,4,5,6 比 2,4,6 多, 是因為沒辦法把兩邊的東西兩兩相配
對而一個不剩. 即無法在兩個集合 A={1,2,3,4,5,6} 與 B={2,4,6} 的元素間找到一一對
應:
1<-->2
2<-->4
3<-->6
4
5
6
數學的說法是這樣: 如果可以在兩集合 A, B 之中找到一個一一對應的函數, 則 A 的基
數 (cardinality, 姑且將它想為 '元素個數') 就和 B 的基數一樣大. 我們姑且就稱兩
個集合 '一樣多'.
所以用以下的對應法, 可以證明自然數 N={1,2,3,4,... } 與 2N ={2,4,6,8,... } 一
樣多:
1<-->2
2<-->4
3<-->6
4<-->8
......
n<-->2n
......
接著就會有有趣的習題. 比如, 有理數也跟自然數一樣多. 平面上所有坐標是整數的點也
跟自然數一樣多. 這些集合都有無限多個元素沒錯, 但都可以找到方法和自然數一一對應
. 也就是說, 可以一個一個編號去數(注音符號三聲), 所以這種無限大叫做 "可數的無限
大" (countable infinity), 代表的集合就是正整數 N.
-----------------
但是, 數學系的學生還要過第二關: 介於 0 與 1 之中的所有實數比所有的自然數還多.
數學家康托 (Cantor, 1845-1918) 給出非常有名, 近乎神乎其技的 "對角線證明", 想
法是這樣 (省略一些很小的細節, 細心的讀者可以自行補全):
首先, 0 與 1 之中的所有實數當然有無限多個. 現在假設介於 0 與 1 之中的所有實數
和自然數一樣多(可數無限多), 那就可以全部一個一個列出來. 我們把它們都寫成無窮小
數, 比如說, 按這個順序寫:
a_1=0.1928379182749...
a_2=0.0123784982323...
a_3=0.3333333333333...
a_4=0.2000000000000...
a_5=0.1134523453463...
......
這樣一路下去, *一個都不會漏掉* (這是重點, 因為可數無限多).
然後, 我們來設計一個新的小數 a. 它的小數點後第一位與 a_1 不一樣, 小數點後第二
位與 a_2 不一樣, 小數點後第一位與 a_3 不一樣 ... 以此類推.
所以勒? a 當然也是一個介於 0,1 之間的實數. 但是 a 不等於 a_1, 因為至少有一個位
置不同. a 不等於 a_2, 因為至少有一個位置不同...以此類推, a 不會等於列出來的任
何一個數.
但是我們假設 "全部" 可以一個一個列出來, 但是現在居然跑出一個新的東西, 這不可能
呀! 所以原來的假設是錯的, 亦即 0 與 1 之中的所有實數無法一個一個列出來. 所以
0,1 之間實數比自然數還多!
然後, 就會有更多有趣的習題. 所有實數 R 與 0,1 之間的實數一樣多, 也與平面上的所
有點一樣多, 也與整個空間中的點一樣多. 這些無限大是 "不可數的無限大
(uncountable infinity)", 代表的集合就是實數 R.
-------------------
所以問題來了, 有沒有 '夾在兩者之間的無限大'? 也就是說基數比自然數大, 但是比實
數小?
康托猜測, 沒有這種集合. 從自然數的可數無限大, 下一步直接就跳到實數的無限大. 這
就是有名的連續統假設 (continuum hypothesis).
-------------------
無限大是數學上一個虛無的, 卻又超級根本又超級重要的概念. 連續統假設牽涉到整個數
學大廈的最根基, 是非常重要的猜想. 康托花了多年的時間想要證明(或推翻)連續統假設
, 卻都失敗了.大數學家希爾伯特(Hilbert, 1862-1943) 在上世紀初 (1900) 對數學界提
出他著名的 23 個問題時, 就把連續統猜想放在第一個.
1940 年, 哥德爾 (G"odel, 1906-1978) 發表驚人的結果: 連續統假設 "不能" 用集合論
公設系統推翻. 接下來是 1963 年 Cohen (1934-2007) 的另一個驚人結果: 連續統假設
"也不能" 用集合論公設系統證明. Cohen 因為這個結果得到了 1966 年數學界的最高榮
譽之一費爾茲獎.
所以我們知道, 用通常的集合論, 你無法證明連續統假設, 也無法推翻連續統假設. 它的
對或錯仍不知道.
-------------------
數學家轉而關心另一個相關的問題, 叫做 "p 與 t 問題". 概念上來說明是這樣: 數學家
已經知道 p 是某個和正整數有關的無限集合的基數, t 是另一個和正整數有關的無限集
合的基數. 而且數學家知道 p 與 t 這兩個基數都比正整數大, 以及
p 小於等於 t.
(這裡的大小符號意思是基數的比較). 所以, 如果等號 *真的* 不成立, 那我們就有
N 的基數 < p <t,
也就是說找到一個 "介於中間" 的基數, 那連續統假設就被推翻了. 所以 p 到底等不等
於 t, 是最大的關鍵.
--------------------
2016 年四月, 芝加哥大學的 Malliaris 和耶路撒冷希伯來大學與羅格斯大學的 Shelah
共同發表了一篇論文在數學界頂尖的 "美國數學學會期刊" 上, 論文的一部分解決了 "p
與 t 問題" --- 答案令人驚訝也同時令人失望: 他們證明了
p=t.
令人驚訝是, 原本數學家不覺得有機會能解決 p 與 t 問題. 畢竟, 連續統問題在集合論
公設系統下無法被證明也無法被推翻, 所以 p 與 t 問題很有可能也是這樣. 但他們的證
明的的確確地用到了集合論的公設系統.
有趣的是, 這兩位數學家原來壓根兒不是要做這個問題. 他們原本考慮的是一個複雜度問
題, 是做到一半發現和 p 與 t 有關, 才轉而挑戰. 發表的論文中, p 與 t 問題, 連同
原來的複雜度問題都一併解決了.
他們的證明連結了模型理論與集合論, 開創了一條新的路. 今年 (2017) 的七月, 這兩位
數學家因為這個貢獻獲頒 Hausdorff 獎, 是集合領域的最高榮譽之一.
但令人失望的是, 結果是 p=t. 這表示, 想利用 p 與 t 問題來推翻連續統假設是不成的
. 連續統假設還是屹立不搖. 這個領域的數學家似乎較傾向相信連續統假設不成立, 亦即
"有" 夾在自然數與實數中間的無限大.
但這真的要等待下一個強者的突破了.
2017, 森棚教官
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* 雄壯 威武 嚴肅 剛直 安靜 堅強 *
* 確實 速捷 沉著 忍耐 機警 勇敢 *
* 我是教官 教官是我 *
* 每個人都記嘉獎一支 *
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.122.140.77
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