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遞迴應用 在 工研院科技學習 讚 Facebook 的最佳解答

工研院科技學習 讚 By 工研院科技學習 讚

2021-07-02 12:00:01 有 9 人按讚
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遞迴應用 在 Crystal’s HK Life Facebook 的最佳解答

Crystal’s HK Life By Crystal’s HK Life

2021-06-25 11:38:46 有 4 人按讚
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遞迴應用 在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的最讚貼文

Taipei Ethereum Meetup By Taipei Ethereum Meetup

2021-06-21 17:57:07 有 0 人按讚
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📜 [專欄新文章] Merkle Tree in JavaScript

✍️ Johnson

📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

這篇文章會說明 Merkle Tree 的運作原理，以及解釋 Merkle Proofs 的用意，並以 JavaScript / TypeScript 簡單實作出來。

本文為 Tornado Cash 研究系列的 Part 1，本系列以 tornado-core 為教材，學習開發 ZKP 的應用，另兩篇為：

Part 2：ZKP 與智能合約的開發入門

Part 3：Tornado Cash 實例解析

Special thanks to C.C. Liang for review and enlightenment.

本文中實作的 Merkle Tree 是以 TypeScript 重寫的版本，原始版本為 tornado-core 以 JavaScript 實作而成，基本上大同小異。

Merkle Tree 的原理

在理解 Merkle Tree 之前，最基本的先備知識是 hash function，利用 hash 我們可以對資料進行雜湊，而雜湊後的值是不可逆的，假設我們要對 x 值做雜湊，就以 H(x) 來表示，更多內容可參考：

一次搞懂密碼學中的三兄弟 — Encode、Encrypt 跟 Hash

SHA256 Online

而所謂的 Merkle Tree 就是利用特定的 hash function，將一大批資料兩兩進行雜湊，最後產生一個最頂層的雜湊值 root。

當有一筆資料假設是const leaves = [A, B, C, D]，我們就用function Hash(left, right)，開始製作這顆樹，產生H(H(A) + H(B))與H(H(C) + H(D))，再將這兩個值再做一次 Hash 變成 H(H(H(A) + H(B)) + H(H(C) + H(D)))，就會得到這批資料的唯一值，也就是 root。

本文中使用的命名如下：

root：Merkle Tree 最頂端的值，特色是只要底下的資料一有變動，root 值就會改變。

leaf：指單一個資料，如 H(A)。

levels：指樹的高度 (height)，以上述 4 個資料的假設，製作出來的 levels 是 2，levels 通常會作為遞迴的次數。

leaves：指 Merkle Tree 上的所有資料，如上述例子中的 H(A), H(B), H(C), H(D)。leaves 的數量會決定樹的 levels，公式是 leaves.length == 2**levels，這段建議先想清楚！

node：指的是非 leaves 也非 root 的節點，或稱作 branch，如上述例子中的H(H(A) + H(B)) 和 H(H(C) + H(D))。

index：指某個 leaf 所在的位置，leaf = leaves[index]，index 如果是偶數，leaf 一定在左邊，如果是奇數 leaf 一定在右邊。

Merkle Proofs

Merkle Proofs 的重點就是要證明資料有沒有在樹上。

如何證明？就是提供要證明的 leaf 以及其相對應的路徑 (path) ，經過計算後一旦能夠產生所需要的 root，就能證明這個 leaf 在這顆樹上。

因此這類要判斷資料有無在樹上的證明，類似的說法有：proving inclusion, proving existence, or proving membership。

這個 proof 的特點在於，我們只提供 leaf 和 path 就可以算出 root，而不需要提供所有的資料 (leaves) 去重新計算整顆 Merkle Tree。這讓我們在驗證資料有沒有在樹上時，不需要花費大量的計算時間，更棒的是，這讓我們只需要儲存 root 就好，而不需要儲存所有的資料。

在區塊鏈上，儲存資料的成本通常很高，也因此 Merkle Tree 的設計往往成為擴容上的重點。

我們知道 n 層的 Merkle Tree 可以存放 2**n 個葉子，以 Tornado Cash 的設計來說，他們設定 Merkle Tree 有 20 層，也就是一顆樹上會有 2**20 = 1048576 個葉子，而我們用一個 root 就代表了這 1048576 筆資料。

接續上段的例子，這顆 20 層的 Merkle Tree 所產生的 Proof ，其路徑 (path) 要從最底下的葉子 hash 幾次才能到達頂端的 root 呢？答案就是跟一棵樹的 levels 一樣，我們要驗證 Proof 所要遞迴的次數就會是 20 次。

在實作之前，我們先來看 MerkleTree 在 client 端是怎麼調用的，這有助於我們理解 Merkle Proofs 在做什麼。

基本上一個 proof 的場景會有兩個人：prover 與 verifier。

在給定一筆 leaves 的樹，必定產生一特定 root。prover 標示他的 leaf 在樹上的 index 等於 2，也就是 leaves[2] == 30，以此來產生一個 proof，這個 proof 的內容大致上會是這個樣子：

對 verifier 來說，他要驗證這個 proof，就是用裡面的 leaf 去一個一個與 pathElements 的值做 hash，上述就是 H('30', 40) 後得出 node，再 hash 一次 H('19786...', node) 於是就能得出這棵樹的 root。

重點來了，這麼做有什麼意義？它的巧思在於對 verifier 來說，他只需要儲存一個 root，由 prover 提交證明給他，經過計算後產生的 root 如果跟 verifier 儲存的 root 一樣，那就證明了 prover 所提供的資料確實存在於這個樹上。

而 verifier 若不透過 proof ，要驗證某個 leaf 是否存在於樹上，也可以把 leaves = [10, 20 ,leaf ,40]整筆資料拿去做 MerkleTree 的演算法跑一趟也能產生特定的 root。

但由 prover 先行計算後所提交的 proof，讓 verifier 不必儲存整批資料，也省去了大量的計算時間，即可做出某資料有無在 Merkle Tree 上的判斷。

Sparse Merkle Tree

上述能夠證明資料有無在樹上的 Merkle Proofs 是屬於標準的 Merkle Tree 的功能。但接下來我們要實作的是稍微不一樣的樹，叫做 Sparse Merkle Tree。

Sparse Merkle Tree 的特色在於除了 proving inclusion 之外，還可以 proving non-inclusion。也就是能夠證明某筆資料不在某個 index，例如 H(A) 不在 index 2 ，這是一般 Merkle Tree 沒辦法做到的。

而要做到 non-membership 的功能其實也不難，就是我們要在沒有資料的葉子裡補上 zero value，或是說 null 值。更多內容請參考：What’s a Sparse Merkle Tree。

實作細節

本節將完整的程式碼分成三個片段來解釋。

首先，這裡使用的 Hash Function 是 MiMC，主要是為了之後在 ZKP 專案上的效率考量，你可以替換成其他較常見的 hash function 例如 node.js 內建 crypto 的 sha256：

crypto.createHash("sha256").update(data.toString()).digest("hex");

這裡定義簡單的 Merkle Tree 介面有 root, proof, and insert。

首先我們必須先給定這顆樹的 levels，也就是樹的高度先決定好，樹所能容納的資料量也因此固定為 2**levels 筆資料，至於要不要有 defaultLeaves 則看創建 Merkle Tree 的 client 自行決定，如果有 defaultLeaves 的話，constructor 就會跑下方一大段計算，對 default 資料開始作 hash 去建立 Merkle Tree。

如果沒有 defaultLeaves，我們的樹也不會是空白的，因為這是顆 Sparse Merkle Tree，這裡使用 zeroValue 作為沒有填上資料的值，zeros 陣列會儲存不同 level 所應該使用的 zero value。假設我們已經填上第 0 筆與第 1 筆資料，要填上第 2 筆資料時，第 2 筆資料就要跟 zeros[0] 做 hash，第 2 筆放左邊， zero value 放右邊。

我們將所有的點不論是 leaf, node, root 都用標籤 (index) 標示，並以 key-value 的形式儲存在 storage 裡面。例如第 0 筆資料會是 0–0，第 1 筆會是 0–1，這兩個 hash 後的節點 (node) 會是 1–0。假設 levels 是 2，1–0 節點就要跟 1–1 節點做 hash，即可產出 root (2–0)。

後半部份的重點在於 proof，先把 proof 和 traverse 看懂，基本上就算是打通任督二脈了，之後有興趣再看 insert 和 update。

sibling 是指要和 current 一起 hashLeftRight 的值…也就是相鄰在兩旁的 leaf (or node)。

到這裡程式碼的部分就結束了。

最後，讓我們回到一開始 client 調用 merkleTree 的例子：

以及 proof 的內容：

前面略過了 proof 裡頭的 pathIndices，pathIndices 告訴你的是當前的 leaf (or node) 是要放在左邊，還是放在右邊，大概是這個樣子：

if (indices == 0) hash(A, B);if (indices == 1) hash(B, A);

有興趣的讀者可以實作 verify function 看看就會知道了！

原始碼

TypeScript from gist

JavaScript from tornado-core

參考

Merkle Proofs Explained

What’s a Sparse Merkle Tree?

延伸：Verkle Tree

Merkle Tree in JavaScript was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

👏 歡迎轉載分享鼓掌

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遞迴應用 在 吳老師教學部落格 Youtube 的最佳貼文

吳老師教學部落格 By 吳老師教學部落格

2021-09-14 22:35:23 有 362 人看過 有 2 人喜歡
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社群媒體上有些相關的討論：

遞迴應用 在 [討論] 遞迴要如何鍛鍊- 看板Soft_Job 的推薦與評價


作者ripple0129 (perry tsai)
看板Soft_Job
標題[討論] 遞迴要如何鍛鍊
時間Sat Aug 20 19:34:37 2016


To Iterate is human, to recurse, divine.

遞迴真的有點難懂，
雖然效率較低，
常常stack overflow，
不過一些程式碼硬要寫成迴圈，
似乎可讀性會降低。

大家覺得遞迴是很吃天份的東西嗎，
怎樣的鍛鍊方式能夠讓使用遞迴得心應手？

小弟是個費式數列都寫不出來的遞迴白癡，
有請大大分享心得。

或是建議不要寫遞迴這種鬼東西？

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.140.222.79
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Soft_Job/M.1471692879.A.0C1.html
→ yotsuba1022: Then I think you should be a human. 08/20 19:42
→ profiles: 想練遞迴，可用LISP語言 08/20 19:44
→ kurakidream: 實務上沒人在用遞迴 08/20 19:44
→ kurakidream: 不過拿來練習思考是不錯的 08/20 19:45
→ Eleina: 遞迴就像金門沙堆中的炸彈 炸死無辜接手的後人 08/20 19:56
→ manaup: 遞迴很基本好嘛 有些程式叫我改寫成迴圈版本我還要想一下 08/20 19:58
推 OoShiunoO: 之前再看Functional programming in scala 08/20 20:00
→ OoShiunoO: 就是強制要你練習不要用迴圈 習慣了就好 08/20 20:01
→ testPtt: 還有goto可以用 08/20 20:04
推 O187: 沒人用? findcontrol表示 08/20 20:12
推 drajan: 寫題目 例如leet code 試著用遞迴去解 08/20 20:25
推 kyleJ: 確定深度不會太深的時候遞迴很好用啊 08/20 20:45
推 johnny94: 畢業許久，我到河內塔還是搞不懂… 08/20 21:03
→ SoftMen: 哪裡沒人用? 只是你剛好用不到吧 08/20 21:06
→ kurakidream: 若call stack不深，且能增加可讀性是不錯的 08/20 21:14
→ kurakidream: 可以參考這篇https://goo.gl/xLcghQ 08/20 21:14
推 yyc1217: 的確很久沒用過遞迴了 迴圈的可讀性比較高 08/20 21:31
→ freeunixer: 寫個 merge 跟 quick sort 迴圈版來看看就好,寫死你.. 08/20 21:43
→ pttworld: 開發速度的差別。 08/20 21:44
→ freeunixer: 費式數的遞迴都寫不出來,那演算法,計算理論都 bye 了. 08/20 21:45
→ freeunixer: 簡單的遞迴並不難學會,方法如下: 08/20 21:46
推 ken1325: 08/20 21:54
推 sing10407: 08/20 21:56
→ johnny94: f(a){if(a == 0) return else f(--a)} 08/20 21:59
推 shaform: 嫩嫩我迴圈，大大你遞迴 08/20 22:04
→ viper9709: 不要用遞迴+1 08/20 23:21
推 CoNsTaR: 去玩玩看函數式語言 只有遞迴能用 XDD 08/20 23:29
→ CoNsTaR: 遞迴和迭代的適用時機不同啊 不能這樣比較 08/20 23:30
→ yyc1217: sort都有現成的可以用 幾乎沒寫過 08/20 23:38
推 Keade0325: 爬未知的組織樹層級資料還不錯 08/21 00:09
推 drm343: 看語言，多數語言不適合用遞迴的方式思考 08/21 00:15
推 typepeter: 實務上 函數式語言很常用的 08/21 00:20
推 typepeter: 遞迴難是因為終止及判斷式不容易 沒想清楚可能爆炸 08/21 00:22
推 dnabossking: 遞迴只該天上有，凡人該當用迴圈 08/21 00:31
→ kurakidream: 還真的沒用過函數式語言開發，受教了 @@ 08/21 00:57
→ descent: C程序设计的抽象思维，後半段都在教遞迴 08/21 01:00
推 jinmin88: 用遞迴很容易stack overflow吧 至少要用迴圈+stack解決 08/21 01:01
→ descent: 遞迴是值得投資的程式技巧 08/21 01:01
推 allqooxx: 推薦 SICP 這本書 XD 08/21 01:21
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推 TTben: 實務上沒人用遞迴,認同+1 08/21 01:36
推 lastdreamer: 遞迴的可讀性比較高吧?? 08/21 02:12
推 lastdreamer: Recursion:Readability conciseness maintainability 08/21 02:22
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噓 jojoSpirit: 寫成迴圈可讀性很低是你能力的問題，不是迴圈的問題 08/21 02:25
推 lastdreamer: https://stackoverflow.com/a/72694 08/21 02:26
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推 lastdreamer: https://tinyurl.com/juep8te 08/21 03:06
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推 TETZ: 寫久就有sense了我以前也覺得很苦手但工作久了就覺得還好 08/21 07:18
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→ xdraculax: 看東西，樹狀比較適合遞迴，遞迴程式比較短比較易讀 08/21 10:46
推 storyn26383: 有些東西用遞迴寫超簡單啊，例如樹的走訪 08/21 11:08
推 Beersheep: 等一下 好看好讀 效能也不差 那幹嘛還寫別的ww 08/21 11:16
→ Sidney0503: "頂多" 而且迴圈還有stack會滿的風險 08/21 11:36
→ Sidney0503: 而且那個頂多是能最佳化狀況 08/21 11:36
→ Sidney0503: 講錯 遞迴有會滿的風險 08/21 11:36
→ Sidney0503: 編譯器會最佳化迴圈 實際上效能是天差地遠 08/21 11:37
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推 Ayukawayen: 看狀況 有些狀況真的遞迴比較適合 也沒必要都寫成迴圈 08/21 14:18
推 GlinX: 遞迴的確是比較好讀的 而且有時候迴圈內的邏輯要做成可於 08/21 14:31
→ GlinX: 子類別擴充時比較困難 就跟Stream API一樣一整坨在那裡 08/21 14:31
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→ GlinX: 不適合用在沒有為遞迴tune過的程式語言上 例如Java 08/21 14:35
→ RapidGrowth: In order to understand recursion, one must first 08/21 16:53
→ RapidGrowth: understand recursion 08/21 16:53
→ RapidGrowth: 我想遞迴應該是開發起來很爽，寫完base cases就等於 08/21 17:06
→ RapidGrowth: 寫完整個程式了。開發速度快，成本低，效能之後再優 08/21 17:06
→ RapidGrowth: 化就好。 08/21 17:06
推 jackyu: 然後效能優化的最終版本就是寫成迴圈 08/21 17:34
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#70. 遞迴關係在計數問題的應用 - 9lib TW

在本刊第2 3 8 期「遞迴函數的求解技巧」 一文中，筆者舉例說明了幾種特定形式的遞迴函數求解的方法， 並曾提及「 遞迴」 （recurrence ）的概念在許多演算法的設計及計數 ...

#71. #討論遞迴和FOR的差別 - 軟體工程師板 | Dcard

有什麼是遞迴可以做FOR不能做，為什麼考試這麼愛考遞迴，可是明明就不常用- 程式語言.

#72. 使用OpenMP 任務遞迴計算pi | 他山教程，只選擇最優質的自學 ...

下面的程式碼使用遞迴方法計算PI 的值。修改 MAX_PARALLEL_RECURSIVE_LEVEL 值以確定何時遞迴深度停止建立任務。使用這種方法從遞迴應用程式中建立 ...

#73. Oracle 函式中游標及遞迴的應用-Linux-拾貝文庫網

在程式碼中使用遞迴可能大部分程式設計師都不陌生，但是在儲存過程或者函式中寫個遞迴估計就不多見了。 今天遇到了一個在Oracle函式中使用遞迴的例子，特記錄下來， ...

#74. C# 遞迴函式 - 程式語言教學

遞迴 函式： (1) 遞迴函式的基本使用法： 遞迴函式就是在回傳變數時呼叫其本身。 ... (2-1) 在C#應用程式中，函式的遞迴數目有其限制。

#75. [recursive] 遞廻基本題@ Edison.X. Blog - 痞客邦

[Lemma 說明] 會寫recursive 通常讓初學者覺得「很強、思緒很清晰」，就吾人所知會「避開用recursive 」有以下二個原因(1) stack overflow：若問題 ...

#76. Page 10 - 新時代乙級電腦軟體應用學科題庫必通解析

原題號01-05） 解遞迴（recursive）是一種可以呼叫自己的函式技術；C 語言是可以撰寫Recursive 程式，但C 語言不是資料庫管理軟體，故不適於大量資料處理。

#77. 遞迴呼叫篇-软件开发平台及语言笔记大全(超详细)

此數列之討論程度非常之高，解法也非常多元。下段我們選出幾種經典實做。 遞迴法(Recursive). 即是費氏數列定義，將 ...

#78. 台灣高中職數學科教師甄試中的數列與級數問題

Keywords: arithmetico-geometric series, generating functions, Möbius sequence, recursive relations, sequence, series, telescoping series. iv. Page 7. 目錄. 論文 ...

#79. [討論] 遞迴要如何鍛鍊- 看板Soft_Job

遞迴 真的有點難懂， 雖然效率較低， 常常stack overflow， 不過一些程式碼硬要寫成 ... 推lastdreamer: 實務上應用Search Engine Crawler 08/21 03:47.

#80. 這才是面試官想聽的：詳解「遞迴」正確的開啟方式– sa123

遞迴 ，是一個非常重要的概念，也是面試中非常喜歡考的。因為它不但能考察一個程式設計師的演算 ... 其實呢，斐波那契數列在現實生活中也有很多應用。

#81. Iteration & Recursion 疊代遞迴

簡單來說，疊代法(iterative method)是用迴圈去循環重複程式碼的某些部分來得到答案，而遞迴法(recursive method)則是重複呼叫自身程式碼來得到答案。(參1).

#82. Chapter 2. Recurrence Relations (遞迴關係) - SlidePlayer

2.1 遞迴與複雜度分析Algorithm Algorithm：a specified set of simple instructions to be followed to ... 布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式.

#83. C 速查手冊- 6.5.3 遞迴函數 - 程式語言教學誌

C 語言的函數(function) 中除了可以呼叫其他函數，也可以呼叫自己，呼叫自己的函數被稱為遞迴函數。 以下將 C 速查手冊- 函數介紹的指數函數改成用遞迴(recursion) 來 ...

#84. 林松益伉儷齊創三鋒奠定國內外巨型電腦車床地位 - 奇摩新聞

近年，三鋒在機械雲端應用及工業4.0領域做研究，並投身智慧機械開發及生產行業，透過各項工具機基礎製造能力及機械智能化的能力提升產品價值，讓顧客 ...

#85. 【白夜談】我必須立刻關掉免密支付-3樓貓

我回到電腦前打開Xbox商店，發現《殭屍部隊4》剛剛完成一項下載，下載的 ... 雖然我沒要回我的錢，但還有能做的事情：審查我手機上的所有應用，逐一 ...

#86. 膽小別看畫Ⅱ：西洋名畫中恐怖又迷人的秘密故事與闇黑歷史

不過，當我逆人流往回走時，就會和他或她不期而遇。 ... 主廚也想知道的美味密技：4大工法、22堂實戰課程、40道應用食譜，烹調祕訣都在科學中. 7折$266 ...

#87. 遞迴

什麼情況下作遞迴（呼叫自己）; 什麼情況下作遞迴結束 ... Ex.遞迴函式--階乘 ... 艾略特波浪理論(使用費氏級數對股票波動進行分析)，而我們可以使用遞迴來求取答案.

#88. GNN新聞手機PC TV 掌機動漫畫電玩瘋電競活動展覽主題報導

動畫代理商木棉花於今年度台北國際動漫節舉辦「進擊的巨人中文配音簽名親遞 ... 【以下內容為廠商提供資料原文】台南應用科技大學漫畫系於今年第二屆台日學生原創漫畫 ...

#89. 遞迴(Recursion)

2. 遞迴程序(recursive procedures)：一個程序或函數，若會呼叫自己本. 身，或者先呼叫其它程序(此程序也可以再呼叫其它程序)，最後又. 呼叫回自己，這種程序稱為遞迴程序 ...

#90. 遞迴式

基本上，遞迴在人工智慧所用的語言如LISP、PROLOG，幾乎整個語言都用遞迴的功能在運作。基本上，對程式設計師而言，函數(或稱副程式)不單純是只能夠被其它函數呼叫(或 ...

#91. Java SE11與Android 9.x程式設計範例教本(電子書)

5-4 |遞迴程式設計「遞迴」(Recursive)是程式設計的一個重要觀念。 ... 應用是數學上定義的階層函數 5-18 PART 1 Java 結構化程式設計 5-4|遞迴程式設計.

#92. php+MySQL: php+MySQL編程及影音教學 - 第 149 頁 - Google 圖書結果

但是遞迴在有些狀況下,無論是程式的邏輯觀念或是開發彈性上,都較一般迴圈來得好,這也是為什麼遞迴的應用仍然是程式中不可忽略的重要方法。

#93. 第一次學C++就上手(第二版)(電子書) - 第 6-17 頁 - Google 圖書結果

int factorial(int 程式範例:費氏數列(遞迴版)學習重點:遞迴函式的應用/參考檔案:6-5-3.cpp 程式設計目標費氏數列為:1,1,2,3,5...,它的公式為:f(n) = f(n-1) + f(n-2), ...

#94. Stata在財務金融與經濟分析的應用（附光碟）

我們可用來認定財政政策衝擊的方式包括:(1)在 VAR 模型上加入遞迴式(recursive)的結構,並利用 Cholesky 分解認定財政政政策衝擊,以去除變數間同期相關性; ...

#95. 資料庫系統應用實務 (SQL Server 2014版) - 第 2-12 頁 - Google 圖書結果

... 與遞迴(Recursive)的效果。目前具有以上特性的運算模式有「關聯式代數」(Relational Algebra)與「關聯式計算」(Relational Calculus)兩種,並已經證明兩者具有同等 ...

#96. Stata在結構方程模型及試題反應理論的應用

但遞迴模型(Recursive models)則不需要,因為它本身已是穩定(stable),就不需穩定性的檢定。 2.穩定性(Stability)是看「whether the parameters of the model are such ...

#97. 遞迴(Recursion) - NotFalse 技術客

遞迴 (Recursive) 往往可用簡單、優雅的方式解決複雜的問題。 目錄[隱藏]. 範例—— int 陣列加總. 以迴圈尋訪並且加總 ...

#98. Facebook程式開發經典：讓您設計出成功的Facebook應用程式 (電子書)

... 我們用它來檢查每個表單的欄位是否設了適當的值且會傳回 False,如果沒有,就停止後續處裡的過程。 ... 來完成類似的工作:以遞迴方式建立<input>值的清單來檢查。

#99. GNU Make 專案開發工具‧第三版 - 第 108 頁 - Google 圖書結果

也就是說,當 make 遞迴調用 make 時, MAKELEVEL 變數的值就會加一。對 make 而言,具單一父行程的子行程將 ... 現在讓我們來看看,如何將這些步驟應用在複雜的命令稿上。