本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
重積分 運算 在 Re: [微積] 關於牟合方蓋的積分問題- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《maroondragon (魔力龍)》之銘言：
: 如題，微積分關於重積分的章節常提及有關牟合方蓋(兩半徑相同的圓柱垂直相交)的相交部分體積，及相交兩柱的共同曲面之面積運算
: 之前在網路上有看到關於三柱，四柱甚至到五柱相交部分的體積運算
: 但共同曲面的面積運算，目前只有看到兩柱相交的運算法
: 假使有三個半徑為a，分別以三維座標系的x,y,z軸為圓柱中心軸的圓柱
: 要求這三根圓柱共同部分的曲面面積，應該要怎麼求呢？
所求為12片全等柱面面積
由 x^2 + z^2 = a^2,得 z = (a^2 - x^2)^1/2
其中一曲面參數式為
→
r(x,y) = ( x , y , (a^2 - x^2)^1/2 )
on D = {(x,y)|x^2 + y^2 = a^2, x = y, x = -y 三者所圍出通過一四象限之扇形}
→ →
r_x X r_y = (x/(a^2 - x^2)^1/2 , 0 , 1)
→ →
|r_x X r_y| = a/(a^2 - x^2)^1/2
所求面積為
12∫∫ a/(a^2 - x^2)^1/2 dxdy
D
π/4 a
= 12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
剩下簡單計算留給你
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1467880775.A.D2F.html
π/4 a
12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
π/4 a
= 12 ∫ a(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 / -(cosθ)^2 | dθ
-π/4 0
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 12 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
-π/4 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
又被積式為偶函數:
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 24 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4 a^2 (sinθ) a^2
= 24 ∫ ------------- + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4
= 24(-a^2 secθ + a^2 tanθ)|
0
= 24(-a^2 √2 + a^2 + a^2 )
= 24a^2 (2 - √2)
另外wiki上牟合方蓋的英文頁面就有答案:
https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid#Surface_area
※ 編輯: keith291 (1.162.222.143), 07/07/2016 22:19:15
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