【推舊文】方程是永恆:愛因斯坦
今日係圓周率日、白色情人節,同時亦係愛因斯坦生日。
注:感謝讀者Ka Wa Tsang 指正,狹義相對論可以用於非慣性參考系。我曾在另一文章談及這錯誤,但忘了修改此文。在非慣性參考系使用狹義相對論的結果,是會出現不存在的「偽力」,情況如同離心力一樣。
//1879年,愛因斯坦出生於德國南部小鎮烏姆(Ulm)。1880年,他隨家人搬到慕尼黑(München)。與一般印象相反,愛因斯坦小時候因為鮮少說出完整句子,父母曾以為他有學習障礙。
愛因斯坦在慕尼讀中學。他非常討厭德國學校著重背誦的教育方式,課堂上總自己思考問題,不專注聽課,所以經常被老師趕出班房。1894年,愛因斯坦15歲,他父親赫爾曼・愛因斯坦(Hermann Einstein,1847-1902)在慕尼黑的工廠破產,迫使舉家遷往意大利帕維亞(Pavia),留下愛因斯坦在慕尼黑完成中學課程。同年12月,愛因斯坦以精神健康理由讓學校準許他離開,前往帕維亞會合家人。
這次出走改變了愛因斯坦的一生,甚至可說改變了人類文明的科學發展。
愛因斯坦不懂意大利語,不能在帕維亞上學。他早有準備,前往瑞士德語區蘇黎世(Zürich)投考蘇黎世聯邦理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich,通常簡稱ETH Zürich)。結果愛因斯坦數學和物理學都考得優異成績,但其他科目如文學、動物學、政治和法語等等卻全部不合格。
蘇黎世聯邦理工學院給予愛因斯坦一次機會,著他到附近小鎮阿勞(Aarau)去完成中學課程,明年再考。在這段期間,愛因斯坦暫住在斯特・溫特勒教授(Jost Winteler,1846-1929)家中。愛因斯坦很喜歡開明、自由的溫特勒教授一家,利用這一年溫習各科目,更與溫特勒的女兒瑪麗・溫特勒(Marie Winteler,1877-不詳)相戀。
瑞士的教育方式與德國的不相同,並不強調背誦。瑞士學校老師非常鼓勵學生發表意見,不會以權威自居,這一點與討厭權威的愛因斯坦非常合得來。愛因斯坦曾於寄給溫特勒的信中寫道:「對權威不經思索的尊重,是真理的最大敵人。」[1]他稱自己為世界主義者,不喜歡德國日漸升溫的國家主義。溫特勒教授就幫助愛因斯坦放棄德國國籍,愛因斯坦因而成為了無國籍人士,他很喜歡這個「世界公民」身份。
一年後,愛因斯坦再次投考蘇黎世理工學院。物理、數學當然成績優異,其他科目亦合格,愛因斯坦順利被取錄入讀物理學系。然而,他父親卻期望他進入工程學系,將來繼續家族工廠,因此他們大吵了一場。
愛因斯坦大學時繼續他我行我素的性格,經常逃課去上其他科目的課堂,所以都要他的同學們幫他抄筆記,他才知道考試範圍。加上愛因斯坦以刺激權威為樂,教授們都不喜歡這個又煩又懶的學生,不願意幫他寫好的推薦信,所以他畢業後一直找不到工作。
在學時,愛因斯坦與物理系唯一一個女同學米列娃・馬利奇(Mileva Marić,1875-1948)相戀。根據膠囊資料顯示,愛因斯坦與米列娃的書信中曾提到他們有個女兒叫麗瑟爾。不過後來他們就再沒提到她,歷史學家估計麗瑟爾出生不久就死於猩紅熱。愛因斯坦與米列娃在1903年結婚,之後他們生了兩個兒子——大子漢斯和二子愛德華。他們最終在1914年分居,1919年離婚。
愛因斯坦於1900年畢業,取得了教學文憑。可是,由於教授們都不喜歡愛因斯坦,他申請大學職位的申請信全都石沉大海。愛因斯坦非常沮喪,以致他父親於1901年寫信給威廉・奧斯特瓦爾德教授(Wilhelm Ostwald,1853-1932,1909年諾貝爾化學獎得主)請求他聘請愛因斯坦當助手,或者至少寫給愛因斯坦鼓勵說話。當愛因斯坦快要連奶粉錢也不夠的時候,他大學時的舊同學格羅斯曼・馬塞爾(Grossmann Marcell,1878-1936)[2]的岳父以人事關係幫他在瑞士專利局找到了一份二級專利員的工作,愛因斯坦才度過難關。
愛因斯坦喜歡在早上就把所有工作做完,利用整個下午在辦公桌上思考物理問題。一個從學生時代就已令他著迷的問題就是:如果他能夠跑得和光一樣快,會看到什麼?
詹士・馬克士威(James Clerk Maxwell,1831-1879)的電磁學方程組說明光線就是電磁場的波動,而電磁波亦已被亨里希・赫茲(Heinrich Hertz, 1857-1894)的無線電實驗證明存在。科學家認為,既然光是波動,就跟所有其他波動一樣需要傳播媒介:聲波需要粒子、水波需要水份子,而光需要「以太」才能在宇宙直空中傳播。
愛因斯坦於1905年發表狹義相對論。在這之前牛頓的絕對時空觀早已令科學界困擾多年。著名的邁克遜—莫雷實驗結果與牛頓力學速度相加法則相違背[3]。無論地球公轉到軌道的哪個位置,無論實驗儀器轉向哪個方向,光線都相對以太以同樣秒速30萬公里前進,分毫不差。這就好像下雨時無論向哪個方向跑,雨點總是垂直落在我們的頭頂。難道雨點知道我們跑步方向,故意調整落下角度嗎?
光速不變概念非常革命性。因為光速不變,在我們眼中同時發生的兩件事,其他人看起來卻不一定同時。時間與空間有微妙關係,兩者結合在一起成為時空。當年大部分科學家都認為問題必然出在馬克士威電磁方程式,但愛因斯坦卻不這麼想。他認為,我們常識中對「同時」的理解根本有誤。不過,愛因斯坦並非以力學切入這個問題,而是思考一個著名的電磁現象:法拉第電磁感生效應。
法拉第電磁感應定律指出,移動的帶電粒子會同時產生電場與磁場,靜止的帶電粒子則只會產生電場,沒有磁場。但相對論說宇宙並沒有絕對空間,速度只有相對才有意義。而物理現象必須是唯一的,所以我們就有個問題:究竟有沒有磁場存在?把電磁鐵穿過線圈,我們可以做以下三個實驗:
(一)固定電磁鐵,移動線圈;
(二)固定線圈,移動電磁鐵;
(三)固定線圈及電磁鐵,改變磁場強度。
實驗結果:三個實驗之中都有電流通過線圈,而且數值完全一樣!
我們可以從實驗結果得出甚麼結論?基於完全不同的物理過程,實驗(一)與實驗(二)和(三)得到相同的電流。實驗(一)產生電流的是磁場,而實驗(二)和(三)產生電流的卻是改變的磁場所感生的電場。嚴格來說,實驗(一)的結果並非法拉第定律,因為法拉第定律所指的是磁場感生電場。正是這區別令愛因斯坦得到靈感,他在論文中說這個現象顯示無論是電動力學與力學,根本不存在絕對靜止這回事。
愛因斯坦預期相對論會在科學界引起廣泛討論,結果卻是異常安靜。愛因斯坦突然拋棄了物理「常識」,此舉令科學界摸不著頭腦。馬克斯・普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858-1947,1918 年諾貝爾物理奬得主)可能是唯一一個明白相對論重要性的人,他讀到論文後寫過信去問愛因斯坦解釋清楚一些理論細節,更派馬克斯・馮勞厄(Max von Laue,1879-1960,1914 年諾貝爾物理奬得主)去拜訪愛因斯坦。馮勞厄發現愛因斯坦竟然不是大學教授,而是瑞士專利局裡的小職員。回家路上,愛因斯坦送給馮勞厄一支雪茄,馮勞厄嫌品質太差,趁愛因斯坦不為意從橋上把雪茄丟了下去。
愛因斯坦導出那舉世聞名的質能關係方程式E=mc2,解釋了放射性同位素輻射能量來源和太陽能量來源。不過愛因斯坦後來在1921年獲頒的諾貝爾物理學獎並非因為相對論,而是因為他應用普朗克的量子論解釋了光電效應。
愛因斯坦並沒有滿足於狹義相對論。狹義相對論只適用於慣性坐標系,可是宇宙裡絕大部份坐標系都是非慣性的,例如地球就是個加速中的坐標系。愛因斯坦知道必須找出一個新理論去解釋加速坐標系中的運動定律。他幾乎是獨力地與新發展的數學分支「張量分析」在黑暗之中搏鬥了十年之久,最後才於1915年11月完成廣義相對論。我們已經觀賞過的宇宙大爆炸,都遵守廣義相對論的方程式。
愛因斯坦尋找正確的廣義相對論公式期間,米列娃與愛因斯坦的關已經變得非常惡劣,而且愛因斯坦的母親非常不喜歡他倆的婚姻,米列娃她就在1914年帶著兩個孩子離開他們的家柏林,到瑞士去了。與孩子分離使愛因斯坦非常傷心,因為他堅持留在德國做研究。不過,他與後來第二任妻子、表妹愛爾莎・愛因斯坦(Elsa Einstein,1876-1936)[4]的曖昧關係已經一發不可收拾。
我們穿越時間來到了1915年11月底,愛因斯坦就快發現能夠描述整個宇宙的新理論了。狹義相對論裡時空是平的,並且所有慣性坐標系都是等價的。廣義相對論描述的是更廣泛的彎曲時空,它能描述所有坐標系。只要指定一套時空度規、給定能量與物質密度分佈,就能夠計算出時空曲率如何隨時間改變。相對論大師約翰・惠勒(John Archibald Wheeler,1911-2008)曾說:「時空告訴物質如何運動;物質告訴時空如何彎曲。」[5]
狹義相對論改正了以往區分時間與空間的常識,而廣義相對論則把萬有引力描述成時空曲率,連光線也會被重力場彎曲,再次顛覆了常識。我們只需要把一組十式的愛因斯坦場方程式配合相應時空度規,任何宇宙的過去與未來都能夠計算出來。
當然很多人質疑廣義相對論的正確性,因為科學理論必須接受實驗驗證。終於在1919年,英國天文學家亞瑟・愛丁頓(Sir Arthur Stanley Eddington, 1882-1944)來到西非畿內亞灣普林要比島(Principe)以日全食觀測結果驗證了廣義相對論。1919年5月29日早晨,下著傾盆大雨。幸好到了下午1時30分雨停了,不過還有雲。愛丁頓努力拍攝了許多照片,希望能夠拍到太陽附近的星光偏折。最後結果出來了:在拍得的照片中,有一張與愛因斯坦的預測數值吻合。其實在科學裡,一個證據並不足以支持一個理論,但愛丁頓是個廣義相對論狂熱擁護者,他立即對外公佈廣義相對論已經被證實了。
廣義相對論場方程式顯示,宇宙若不是正在收縮就是正在膨脹。我們已經知道,當年愛因斯坦認為宇宙永遠存在,因此他在場方程式裡加入了宇宙常數,用來抵消重力,使宇宙變得平衡,不會擴張也不會收縮。但這樣的宇宙極不穩定,只要非常細微的擾動,宇宙就會膨脹或收縮。就好像把一個保齡球放在筆尖上,理論上保齡球可以停在筆尖上,但只要一點點風就能使保齡球滾下來。
不過,這個常被人說成是愛因斯坦一生最大錯誤的宇宙常數,其實的確存在。錯有錯著,歷史再次證明愛因斯坦正確,儘管這並非愛因斯坦的原意。1929年,愛德溫・哈勃(Edwin Hubble,1889-1953)發現星系正在遠離地球,而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋:要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後,他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數[6]。
今天,科學家已經發現宇宙不單正在膨脹,而且膨脹正在加速。暗能量、或者宇宙常數,因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙,比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數。而且事實上,即使有宇宙常數,宇宙亦不可能靜止。
愛因斯坦在第二次世界大戰時,因為擔心納粹德國會製造出原子彈,所以他曾寫信致羅斯福總統要求美國搶先研究製造原子彈。到戰後才發現,當時的德國根本無法造出原子彈,因為大多數的科學家已經被希特拉趕走了。那天早上,當愛因斯坦聽到原子彈已經把日本廣島夷為平地,他就呆坐在家,久久未能平復心情。從此以後,愛因斯坦極力主張廢除核武,導致他被50年代著名的FBI胡佛探長(John Edgar Hoover,1895-1972)認為他是共產黨間諜。理所當然,胡佛始終無法找到任何證據捉拿愛因斯坦。
愛因斯坦因以普朗克的光量子概念解釋了光電效應而獲得1921年諾貝爾物理獎。光電效應論文證明了光同時是波動和粒子,稱為光的波粒二象性,是量子力學的基本原理。不過,儘管量子力學和廣義相對論的所有預測都未曾出錯,兩者卻互不相容。現在的科學家十分清楚:要不是量子力學是錯的、或廣義相對論是錯的、或兩者都是錯的。
愛因斯坦於1923年7月11號在瑞典哥德堡舉行的Nordic Assembly of Naturalists會講上講了他的諾貝爾獎講座。雖然他得到的是1921年諾貝爾獎,可是因為諾貝爾奬委員會認為在1921年的提名名單中沒有人能夠得獎,跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發,所以愛因斯坦實際於1922年得到1921年的諾貝爾獎。而由於在1922年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行,直到1923年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提,愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前,他正在香港。
愛因斯坦雖然有份為量子力學打下基礎,後來卻變得不相信量子力學,例如他與兩個物理學家共同提出的愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論[7]就是為了推翻量子力學的。可是,科學家後來發現愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論的假設「局域性」是錯的。廣義相對論認為宇宙是「局域」的,只有無限接近的兩個點才能有因果關係,因此推翻了牛頓重力理論中的「超距作用」。但量子力學卻說,兩個相距非常遠的粒子也能夠互相影響,因此量子力學與廣義相對論的假設是不相容的。
愛因斯坦一生都在尋找量子力學的錯處,結果是一個都找不到。他晚年一直在研究統一場論,希望統一電磁力和重力。不過,在他死前,人類並不知道除電磁力和重力以外還有強核力和弱核力。所以愛因斯坦根本沒有足夠的資訊去進行統一場論的研究,歷史注定要他失敗。
愛因斯坦一生對金錢、物質、名譽等不感興趣,他喜愛的東西大概可說只有物理和女人。他希望找出大自然的終極奧秘,並以優美、永恆不變的數學方程式表達出來。愛因斯坦覺得「政治只是一時,方程式卻是永恆。」[8]愛因斯坦聲稱自己並不擅長政治,但他在一生中卻經常對種族平等、世界和平等政治大議題作公開演講。因此他也引來許多人對他的政治立場表達不滿。
當以色列的第一任總統哈伊姆・魏茲曼(Chaim Azriel Weizmann,1874-1952)於1952年逝世時,以色列官方曾邀請愛因斯坦擔任第二任總統。最後,愛因斯坦寫了一封回信感謝並婉拒。
1955年4月18號,愛因斯坦在撰寫祝賀以色列建國七週年的講稿中途逝世。他生前堅拒以人工方法勉強延長生命,他說:「當我想要離去的時候請讓我離去,一味地延長生命是毫無意義的。我已經完成了我該做的。現在是該離去的時候了,我要優雅地離去。」//
離心力公式推導 在 作者 Facebook 的最佳解答
有讀者問我係咪收咗無綫錢賣廣告,冤枉呀大人,你講我先知今晚明珠930播《Interstellar》,有冇咁巧合?我思疑係咪編節目表嗰位人兄被我嘅文章影響咗。
無論如何,不用再煩搵seed,今晚正是欣賞Nolan傑作的大好機會,就破例讓無綫賺一晚收視吧。請把全屋的燈關上,把音量校到最大。以下附上文章連結,全與《Interstellar》相關:
NASA偽造阿波羅計劃:
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=1450067081710092&id=972393926144079
Hans Zimmer用管風琴做主力配樂:
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=1501103036606496&id=972393926144079
Cooper錯過內在記憶:
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=1510019419048191&substory_index=0&id=972393926144079
五次元書房的理念:
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=1511439065572893&substory_index=0&id=972393926144079
《Interstellar》的缺點是太專業,沒有理科底子的觀眾會對很多細節一頭霧水,我姑且點出幾個「補習重點」吧。
地球缺氧
大氣21%氧氣不是自古已有,而是植物進行光合作用製造,故事中全球植物逐一染上萎黃病,全人類將缺氧絕種。(補充一點,在未有藍綠藻誕生之前,地球氧濃度超低,海水因鐵離子而呈啡色,後來因藻類釋出氧氣改變了地貌和生態,鐵離子氧化沉澱形成鐵礦,海水由啡變藍,90%物種因氧氣中毒而絕種。)
重力
質量愈大,重力愈大,人能站在地上因地球的重力牽引(1G),當太空人在質量較大的行星上行動會分外吃力,因為要抗衡超過1G的重力。Cooper說戲中的黑洞比較平和,意指它的質量不至於吞噬一切,容許行星繞着它運行。科學家至今仍未解釋到重力的本質是甚麼,而戲中的Murph藉黑洞數據破解了,NASA發明出巨型殖民太空船擺脫重力的辦法。
太空船設計
太空船內失去重力,太空人如何腳踏實地行走?全靠環狀設計,自軸旋轉形成1G的離心力,人就可以像倉鼠跑圈般在內環走動。當Cooper快到蟲洞按停了自轉,所有太空人就回到漂浮狀態。劇尾Cooper Station麥田也是地面延展到天花的環狀設計。
相對論
引力導致時空扭曲率愈大,時間就過得愈慢。新星系有黑洞主宰引力,地球的時間比黑洞區快,以致Cooper十幾天的冒險,地球已過了八十年。重力不是唯一影響時間的變量,其實還有速度,太空旅行者高速移動,相比「不動」的地球人,時針會轉得較慢,孿生子實驗證明在太空站生活的人比地球的兄弟年輕。
蟲洞
Nolan真的找了物理學家Kip Thorne去確保一切盡量合乎科學,Kip猜想蟲洞是負質量所構成的時空隧道。一個3D世界摺疊會有一個2D的洞,一個4D世界摺疊是一個3D的洞,所以戲中的蟲洞有別於以前的科幻電影,是一個球體的洞。據說Kip寫了一條複雜的公式模擬蟲洞,Nolan的科技團隊用了幾日幾夜才把方程式運算完成,模擬太空船穿過蟲洞的畫面。
超立方體
無限書房是4D的洞?這一幕是幾何學上四維超四方體(tesseract)的構想。人的視覺只處理到3D空間,4D空間換成3D視覺,形成多胞影像。一個3D的立方體可展開六個2D的正方面,而一個4D的超正方體可展開八個3D的立方體。
黑洞
無限小的空間存在無限大的質量,形成物理奇點,相對論和量子力學在裡面會失效。光不能逃離黑洞,所以是全然黑色,電影中黑洞被光環星屑圍繞,名為吸積盤。彌散物質被黑洞吸引,同時以自轉的離心力抗衡,在引力帶積成盤狀。有趣是,早前NASA發現土星環一顆星塵也沒有,是純粹的光圈。(在Cooper墮進黑洞一幕,留意畫面右上方,你會見到全宇宙變成一個球體。)
梅菲定律
任何有可能出錯的事,都一定會出錯。解釋了為何Cooper在三顆類地行星中選兩顆降落,偏偏兩次都選不中宜居星球,死得人多。
牛頓第一定律
物件按慣性移動,高速移動太空船即使關掉引擎,仍照原有速度前進。在地球上車子關掉引擎會減速,因為有摩擦力。太空沒有摩擦力。
牛頓第三定律
作用力與反作用力成反比,你打人一拳,自己會因反作用力退後。Cooper駕船彈向黑洞,確保Brand有足夠動量擺脫黑洞。
重力助推
太空船不夠燃料時,可借助行星軌道進行加速,像擲鐵餅那樣。Cooper借助黑洞外軌道加速太空船,節省燃料。
網上有很多文章指出《Interstellar》的科學謬誤,有興趣自己看吧。記住,電影是像真的,捉着犯駁位死鑽空子的人,試圖顯得自己高明,卻會表露出惡意。惡意者用理性扼殺藝術,無法欣賞美感。
作者
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作者首本小說《地球另一端》現已接受網購,每本連郵費港幣$75,歡迎inbox洽訂。亦請期待下一本小說《捉姦》面世。
離心力公式推導 在 徐國峰 HSU KUO FENG Facebook 的精選貼文
【運動物理:滑雪時坡度愈陡,體重愈輕】
今天在網路上聽了一堂很有趣的物理課,金.凡迪維爾教授(J. Kim Vandiver)在課堂上利用公式來解釋兩個有趣的問題。
第一個問題(第一張圖):「當坡道上的滑車滑下坡道時,滑車上的水面會朝哪一個方向傾斜?是a:保持水平?還是b:跟坡道平衡?或是c:與坡道垂直?」他先讓學生猜,再現場做實驗讓學生們看,最後用公式推導。
答案是b。凡迪維爾教授,用公式解釋是「假想力(fictitious force)」使水面向後移動。假想力事實上並不存在,它是為了方便解釋某些概念或為了方便解題時,所引進的一種概念。例如車子轉彎時車內的人會覺得好像受到一個力(離心力)把自己往外拋,這跟實驗中水面會被某股力向後拉一樣,這股力與離心力一樣都不存在,只是因為慣性所產生的現象。所以離心力、科氏力都是一種方便解釋慣性現象的假想力。
接著他提了另一個問題:「當滑雪選手在滑下角度為θ的坡道時,腳上要承受多少力量?下肢肌肉所花的力量是大於體重(mg),還是小於體重?」
滑雪選手的體重是mg,也就是身體站立在平地上雙腳所要承受的體重。當他開始滑下坡道後,身體總共受到四種方向的力(第三張圖):
一、假設此時雙腳所要承受的力道是N
二、滑下坡道的力是「mg‧sinθ」
三、下滑時所造成的假想力(fictitious force)
四、身體對地面施力為「mg‧cosθ」
在這四道力量中,
跟肌肉有關的是第一道的N,
N = mg‧cosθ = 體重×cosθ →坡度(θ)愈大,N愈小
因此,選手在下滑時,肌肉所花的力氣會小於一倍體重,而且當坡度愈陡時(θ愈大時),選手的腿部肌肉所需支撐的體重就會變得愈小。
跟速度有關的是第二道的mg‧sinθ,坡度(θ)愈大,速度愈快。也就是說,當坡度愈陡時,下滑的速度也就愈快。下滑的速度是從重力加速度(g)來的。
加速度只能從重力來,肌肉只是用來支撐體重(mg)。想要加速移動,就必須把g分配到想前進的方向,分配的比例愈多,腳上支撐的體重就愈少。當坡面變成垂直,失去了支撐,腳上就沒有體重可言了。所以唯有存在「支撐」才能創分前進的分力,這股前進的分力是從重力(g)分配過來的,不是肌肉。肌肉只是用來「支撐」體重。
有興趣的朋友可直接在YouTube上聽講這堂精彩的物理課:
https://youtu.be/zNCBDrnT05E?t=38m41s