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黎曼和 在 Re: [微積] 一題黎曼和- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《kevin1212 (fur)》之銘言：
: 如標題
: 想找根號x在［0，1］的黎曼和
: 雖然可以把他寫成積分形式
: 可是想知道要怎麼用黎曼和求
: 寫到從根號1加到根號n就不知道該怎麼辦了
: -----
: Sent from JPTT on my iPhone
上和：
N
Σ √(i^2 / N^2) [i^2 - (i - 1)^2] / N^2
i=1
N
= Σ i[2i - 1] / N^3
i=1
= (2 / N^3)[(1/6)N(N + 1)(2N + 1)] - (N + 1)/(2 N^2)
= [2N^2 + 3N + 1] / (3 N^2) - (N + 1) / (2 N^2)
= [4N^2 + 6N + 2 - 3N - 3] / (6 N^2)
= [4N^2 + 3N - 1] / (6 N^2)
=> 取極限後 = 2/3
下和：
N-1
Σ √(i^2 / N^2) [(i + 1)^2 - i^2] / N^2
i=0
N-1
= Σ i[2i + 1] / N^3
i=0
= (2 / N^3)[(1/6)(N - 1)N(2N - 1)] + (N - 1)/ (2 N^2)
= [2N^2 - 3N + 1] / (3 N^2) + (N - 1)/ (2 N^2)
= [4N^2 - 6N + 2 + 3N - 3] / (6 N^2)
= [4N^2 - 3N - 1] / (6 N^2)
=> 取極限後 = 2/3
所以答案是 2/3
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