คณิตศาสตร์ของ "หวย"
"หวย" น่าจะเรียกได้ว่าเป็น "กิจกรรมประจำชาติ" ของไทยอย่างหนึ่งที่เรามาร่วมกันโอดครวญกันเป็นประจำกับการถูกหวยแ-ก หวยไม่เพียงแต่เป็น national pastime ประจำชาติเพียงเท่านั้น แต่ยังมีอิทธิพลเป็นอย่างมากต่อวัฒนธรรม ศาสนา และความเชื่อของเรา และเนื่องจากนี่เป็นเพจวิทยาศาสตร์จึงไม่สามารถปฏิเสธได้ว่าหวยนั้นมีส่วนที่เหนี่ยวรั้งความพัฒนาสู่ scientific literacy ในประเทศเราไม่มากก็น้อย ดั่งที่เราทุกคนน่าจะคุ้นเคยกันดีกับลูกหมูพิการ ต้นกล้วยงอกกลางต้น รวมไปถึงท่อน้ำทิ้งจากส้วมที่แตกและผุดขึ้นมาบนดิน ที่แทบทุกเหตุการณ์ ทุกอุบัติเหตุ ทุกข่าว ทุกปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นในบ้านเมืองนี้จะถูกตีความไปเป็น "ตัวเลข" เสียทั้งหมด
ในวันนี้เราจะมาลองดู "หวย" จากในแง่มุมของคณิตศาสตร์กันดูบ้าง โดยเฉพาะในเรื่องของรางวัล "เลขท้ายสองตัว"
รางวัลเลขท้ายสองตัวนั้นมีความเป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ด้วยกัน 100 แบบ โอกาสที่จะถูก จึงมีเพียงแค่หนึ่งในร้อย (ในขณะที่โอกาสที่จะถูกแดกกลับมีถึง 99%) ทั้งนี้ทั้งนั้น นี่มาจากสมมติฐานว่าหวยทุกเลขนั้นมีโอกาสออกเท่ากันหมด ว่าแต่ว่าสมมติฐานนี้เป็นจริงหรือไม่?
จากกราฟบนในภาพ แสดงถึงการกระจายตัวของหวยเลขท้ายสองตัวตลอด 20 ปีที่ผ่านมา[1] ทั้ง "ตัวบน" และ "ตัวล่าง" รวมกันทั้งสิ้น 477 งวด จากการดูคร่าวๆ เราจะพบว่ารางวัลนั้นมีการกระจายตัวที่ค่อนข้างสม่ำเสมอ ไม่มีตัวเลขใดที่เด่นกว่าอย่างเห็นได้ชัดอาจจะมีบางตัวเลขที่ออกเยอะกว่าเลขอื่นบ้างเล็กน้อย แต่ก็ดูเหมือนจะไม่ได้มากจนเกินไป
ในทางสถิตินั้น หากเราต้องการจะทราบว่าข้อมูลชุดหนึ่งมีการกระจายตัวที่สอดคล้องกับการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ (uniform distribution) หรือไม่ เราสามารถทำได้โดยการคำนวณค่า Pearson's chi-squared test ซึ่งหากเรานำข้อมูลรางวัลเลขท้ายสองตัวตลอด 20 ปีนี้มาคำนวณดู เราจะพบว่า ข้อมูลที่ได้นั้น มีค่า chi-squared อยู่ต่ำกว่า Upper-tail critical values of chi-square distribution ทั้งที่ 95% และ 99% confidence interval สำหรับทั้งตัวบนและตัวล่าง นี่หมายความว่า เราไม่สามารถ reject null hypothesis ได้ และไม่มีหลักฐานเพียงพอที่จะยืนยันว่าข้อมูลชุดนี้มีการกระจายตัวที่ต่างออกไปจาก uniform distribution ด้วยความมั่นใจกว่า 99%
ทั้งนี้ทั้งนั้น นี่ไม่ได้เป็นการยืนยันหรือปฏิเสธว่าหวยมีการล๊อคหรือไม่ เราบอกได้เพียงแค่ว่า เลขที่ออกนั้นมีการกระจายตัวที่ค่อนข้าง uniform และมีโอกาสลงทุกเลขอย่างใกล้เคียงกัน อยู่ที่ว่าเราจะเลือกเลขที่ถูกหรือเปล่า
วิธีหนึ่งที่เราอาจจะเลือกเลขที่จะแทง "หวย" ก็คือการ "สุ่ม" ด้วยตัวเราเองโดยการนึกเลขมั่วๆ ขึ้นมาหนึ่งตัวเลข อย่างไรก็ตาม วิธีนี้นั้นมีปัญหาเป็นอย่างมาก เนื่องจากมีการศึกษามายืนยันเป็นอย่างมาก ว่าสมองของมนุษย์นั้นทำการสุ่มตัวเลขได้ค่อนข้างแย่ และตัวเลขที่เรา "สุ่ม" ขึ้นมาจากหัวนั้น ไม่สามารถเป็นเลขที่เกิดจากการ "สุ่ม" ได้อย่างแท้จริง
กราฟล่างซ้ายของภาพ เป็นกราฟที่ได้มาจาก reddit ที่เก็บข้อมูลที่ผู้เข้าร่วมมา "สุ่ม" ตัวเลขลงบนโซเชียลมีเดียกว่า 6750 ครั้ง จากกราฟเราจะพบว่ากราฟนี้ไม่ได้มีการกระจายตัวที่สม่ำเสมอทุกตัวเลขเท่ากัน ตัวเลขที่ได้รับการ "สุ่ม" มากที่สุดนั้นได้แก่เลข "69" (ด้วยเหตุผลบางประการ) "77" และ "7" ตามลำดับ ซึ่งมากกว่าตัวเลขอื่นอย่างเห็นได้ชัด นอกไปจากนี้ ตัวเลขระหว่าง 1-10 ถูกเลือกมากกว่าตัวเลขอื่นอย่างมีนัยะสำคัญ ซึ่งนี่สอดคล้องกับการศึกษาทางจิตวิทยา และอีกการเก็บข้อมูลหนึ่งที่พบว่าเลข 7 จะถูกเลือกบ่อยที่สุดถึงกว่า 28% เมื่อเราให้คน "สุ่ม" เลขระหว่าง 1-10 ขึ้นมากว่า 8500 ครั้ง[5] เนื่องจากสมองของเรานั้นมีความรู้สึกว่าเลข "7" นั้นควรจะเป็นเลขที่ "สุ่ม" ที่สุด เราจึงเลือกกันแต่เลข 7 จนกลายเป็นเลขที่ไม่สุ่มอีกต่อไป
ซึ่งหากเรานำ Pearson chi-square test มาทดสอบกับข้อมูลชุดนี้ เราจะพบว่าค่า chi-square ที่ได้นั้นเกิน Upper-tail critical values of chi-square distribution ที่ระดับความเชื่อมั่น 90% ไปอย่างไม่เห็นฝุ่น ซึ่งเป็นการแสดงให้เห็นว่าเลขท้ายสองตัวที่ได้จากสมองมนุษย์นั้น ไม่ได้มีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอเหมือนอย่างที่หวยออกมาจริงๆ
แล้วการที่สมองมนุษย์ไม่สามารถ random เลขออกมาได้อย่างสม่ำเสมอนั้นมันสำคัญตรงไหน? เมื่อสมองมนุษย์ไม่สามารถ generate distribution แบบเดียวกันกับหวยได้ ก็ย่อมหมายความว่าต่อให้คนที่เชื่อว่ามี "สัญชาติญาณ" ดีที่สุดในการ "เดา" หวย ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะถูกหวยอย่างต่อเนื่อง เพราะว่าเราไม่มีทางที่จะเดาหวยได้ถูกอย่างต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ ในเมื่อหวยนั้นออกทุกเลขอย่างสม่ำเสมอ แต่สมองของเรานั้นไม่สามารถสม่ำเสมอได้
ซึ่งนี่นำไปสู่กลวิธีทุดท้ายที่เรามักจะนำมาเป็น "แรงบรรดาลใจ" ในการแทงหวย นั่นก็คือ การมองหาตัวเลขรอบๆ ข้างที่ไม่เกี่ยวกับตัวเราเอง ไม่ว่าจะเป็นจำนวนผู้เสียชีวิต ลำดับประธานาธิปดี เวลาท้องถิ่นขณะที่นายกทุ่มโพเดี้ยม ฯลฯ
อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ก็มีปัญหาอีกเช่นกัน.... โดยเจ้าปัญหาที่ว่านี้ รู้จักกันในนามของ Benford's Law[6]
Benford's Law นั้นถูกค้นพบโดยบังเอิญโดย Simon Newcomb ในปี 1881 และอีกครั้งโดย Frank Benford ในปี 1938 โดยในยุคก่อนที่จะมีเครื่องคิดเลขของพวกเขานั้น การหาค่า Logarithm ทำได้โดยการเปิดสมุดเล่มหนาๆ เพื่อหาค่าจากในตาราง โดยนายทั้งสองคนนี้พบว่าหน้าแรกๆ ของสมุด logarithm table ของพวกเขานั้นเปื่อยเร็วกว่าหน้าหลังๆ เป็นอย่างมาก นาย Benford จึงตั้งสมมติฐานว่า ตัวเลขหลักหน้าของค่าที่พบในธรรมชาตินั้นอาจจะมีการกระจายตัวที่ไม่สม่ำเสมอกัน โดยที่ตัวเลขน้อยๆ ควรจะมีการพบได้บ่อยกว่า ตามกราฟแท่งสีน้ำเงินที่ด้านล่างขวาของภาพ และเขาได้ทดสอบกับตัวเลขในธรรมชาติที่ไม่ควรจะมีความเกี่ยวข้องกัน ตั้งแต่ พื้นที่ผิวของแม่น้ำ 335 สาย, ประชากรของเมืองในสหรัฐ 3259 เมือง, ค่าคงที่สากลทางฟิสิกส์กว่า 104 ค่า มวลโมเลกุลกว่า 1800 โมเลกุล, ตัวเลขที่ได้จากคู่มือคณิตศาสตร์กว่า 5000 ตัวเลข, ตัวเลขที่พบในนิตยสาร Reader's Digest กว่า 308 เลข, บ้านเลขที่ของคนกว่า 342 คนที่พบใน American Men of Science และอัตราการเสียชีวิตกว่า 418 อัตรา รวมทั้งหมดนาย Benford ได้นำตัวเลขที่ได้มาแบบสุ่มกว่า 20,229 เลข และพบว่าเลขเหล่านั้นมีตัวเลขหลักหน้ากระจายตัวตาม Benford's Law
กราฟด้านล่างขวา แสดงถึง Benford's Law เทียบกับการกระจายตัวของตัวเลขหลักหน้าของค่าคงที่ทางฟิสิกส์ ซึ่งจะเห็นได้ว่ามีการกระจายตัวสอดคล้องกับ Benford's Law เป็นอย่างมาก นอกไปจากนี้ Benford's Law ยังใช้ได้อยู่ ไม่ว่าเราจะแปลงค่าต่างๆ ที่พบไปเป็นเลขฐานใดๆ หรือหน่วยใดๆ ก็ตาม ตัวอย่างเช่น Benford's Law ทำนายเอาไว้ว่า ตัวเลขกว่า 30.1% จะขึ้นต้นด้วยเลข 1 ซึ่งหากเรานำความสูงของตึกที่สูงที่สุดในโลก 58 ตึก เราจะพบว่าตึกกว่า 41% นั้นมีความสูงในหน่วยเมตรขึ้นต้นด้วยเลข 1 และแม้ว่าเราจะเปลี่ยนหน่วยเป็นหน่วยฟุต เราก็ยังจะพบว่าตึกกว่า 28% นั้นมีความสูงในหน่วยฟุตขึ้นต้นด้วยเลข 1 ซึ่งมากกว่าเลขอื่นใดๆ
แล้วเพราะเหตุใดเราจึงไม่พบเลขในธรรมชาติในจำนวนที่เท่าๆ กันทุกเลข? คำอธิบายที่ง่ายที่สุดก็คงจะเป็นเพราะว่า สิ่งต่างๆ หลายสิ่งในธรรมชาตินั้นมีความสัมพันธ์เชิง logarithm ซึ่งหากเราแปลงเลขในฐานสิบให้อยู่ในสเกลของ logarithm เราจะได้เส้นจำนวนดังภาพล่างขวาในภาพ จากเส้นจำนวนนี้ เราจะพบว่าหากเราจิ้มตำแหน่งโดยสุ่มบนเส้นจำนวนนี้ โอกาสส่วนมากที่สุดนั้นจะตกอยู่ในเลขที่มีหลักนำหน้าเป็น 1 ตามด้วย 2,3,4 ลดหลั่นลงไป ตาม Benford's Law
Benford's Law นี้มีประโยชน์เป็นอย่างยิ่ง ในการตรวจจับการโกง เนื่องจากสมองของมนุษย์นั้นมีความคาดหวังที่จะให้ทุกตัวเลขตกลงเท่าๆ กัน ตัวเลขที่ได้จากการเมคข้อมูลของคนจึงไม่เป็นไปตาม Benford's Law ซึ่งสามารถใช้เป็นหลักฐานบ่งบอกว่ามีอะไรบางอย่างตุกติกเกิดขึ้นในข้อมูล
ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดตัวอย่างหนึ่งก็คือ ข้อมูลของจำนวนผู้ติดเชื้อ COVID-19 เนื่องจากการติดเชื้อนั้นมีการแพร่กระจายตัวแบบ exponential ตัวเลขจำนวนผู้ติดเชื้อนั้นจึงควรจะเป็นไปตาม Benford's Law ทีมนักวิจัยจึงได้มีการนำตัวเลขจำนวนผู้ติดเชื้อที่รายงานในแต่ละประเทศมาเปรียบเทียบกับ Benford's Law[7] และพบว่าข้อมูลจากประเทศรัสเซียและอิหร่านนั้นไม่เป็นไปตาม Benford's Law ในขณะที่จำนวนผู้ติดเชื้อจาก สหรัฐ บราซิล อินเดีย เปรู อาฟริกาใต้ โคลอมเบีย เม็กซิโก สเปน อาร์เจนตินา ชิลี อังกฤษ ฝรั่งเศส ซาอุ จีน ฟิลิปปินส์ เบลเยี่ยม ปากีสถาน และอิตาลี เป็นไปตาม Benford's Law ไม่ผิดเพี้ยน
ทั้งหมดนี้ก็วกกลับมาที่ปัญหาหลักของการนำค่าที่พบในธรรมชาติมาทำนายหวย: ค่าที่พบในธรรมชาตินั้นไม่ได้มีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ แต่หวยนั้นกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ (ซึ่งยังไม่นับกรณีเช่นเอาวันที่ซึ่งไม่มีทางเกิน 31 มาแทง) ตัวเลขที่เราพบในธรรมชาตินั้นจึงเปรียบได้กับลูกเต๋าที่ถูกถ่วงน้ำหนักเอาไว้ให้ได้ค่าต่ำๆ คำถามก็คือ ลูกเต๋าที่ถ่วงน้ำหนักเอาไว้นั้น จะเป็นตัวแทนที่จะทำนายผลของลูกเต๋าที่มาตรฐานได้แม่นจำจริงหรือ?
ทั้งนี้ทั้งนั้น การเล่นหวยหรือไม่เป็นเรื่องของแต่ละบุคคล และถึงแม้ว่าส่วนตัวในฐานะนักวิทยาศาสตร์นั้นจะไม่เห็นด้วยกับเรื่องงมงาย แต่การลงทุนหวยเพียงไม่กี่ร้อย และกับเสี้ยวเวลาเล็กๆ ที่จะได้ลุ้นถึงอนาคตที่ดีขึ้น บางทีก็อาจจะเป็นการลงทุนที่คุ้มค่าสำหรับคนหลายๆ คนก็ได้
หมายเหตุ: บทความนี้เราไม่ได้พูดถึง "โต๊ด" และ Benford's Law นั้นมีผลกับเลขหลักหน้าๆ มากกว่าหลักท้ายๆ แต่คำเตือนนี้ไม่ใช่การใบ้หวย...
อ้างอิง/อ่านเพิ่มเติม:
[1] https://horoscope.thaiorc.com/lottery/stats/lotto-years20.php
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-squared_test
[3] https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3632045/
[4] https://www.reddit.com/r/dataisbeautiful/comments/88m2mj/pick_a_number_from_1100_results_from_6750/
[5] https://www.reddit.com/r/dataisbeautiful/comments/acow6y/asking_over_8500_students_to_pick_a_random_number/
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law
[7] https://www.researchgate.net/publication/344164702_Is_COVID-19_data_reliable_A_statistical_analysis_with_Benford's_Law
同時也有3部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 本影片承接上回許願池影片,講解連續變數的機率分布,包含均勻分布、指數分布、常態分布、Gamma 分布和 Beta 分布及他們的機率密度函數與期望值和變異數 【加入會員】 歡迎加入張旭老師頻道會員 付費定閱支持張旭老師,讓張旭老師能夠拍更多的教學影片 https://www.youtube...
「uniform distribution」的推薦目錄:
- 關於uniform distribution 在 มติพล ตั้งมติธรรม Facebook 的精選貼文
- 關於uniform distribution 在 Huyen Chip Facebook 的最佳解答
- 關於uniform distribution 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Facebook 的精選貼文
- 關於uniform distribution 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
- 關於uniform distribution 在 JPN DORUDORU Youtube 的最讚貼文
- 關於uniform distribution 在 prasertcbs Youtube 的最讚貼文
- 關於uniform distribution 在 Lesson 34 Uniform Distribution | Introduction to Probability 的評價
- 關於uniform distribution 在 Convergence to a Uniform Distribution - Cross Validated 的評價
uniform distribution 在 Huyen Chip Facebook 的最佳解答
Áp dụng cách suy nghĩ xác suất vào trong cuộc sống
Gần đây, một người bạn hỏi nếu mình có thể quay ngược thời gian để có thể nói 3 từ với mình năm 15 tuổi, mình sẽ nói những gì. Mình bảo: “Học xác suất.”
Xác suất thống kê không chỉ quan trọng trong công việc (nó là nền tảng của ngành trí tuệ nhân tạo) mà còn là cần thiết để đưa ra những quyết định đúng đắn trong cuộc sống.
Khái niệm đầu tiên mình muốn nói đến là distribution (hàm phân phối xác suất). Distribution hiểu nôm na là hàm số cho phép bạn biết xác suất xảy ra của một sự kiện nào đó. Ví dụ, xổ số với 100 vé được bán ra và mỗi vé đều có khả năng được chọn giống hệt nhau. Việc mỗi vé được chọn là một sự kiện, vậy là có 100 sự kiện có thể xảy ra. Nếu bạn có 1 vé, xác suất vé của bạn được chọn là 1%.
Vì tất cả cả sự kiện này có xác suất xảy ra như nhau, xổ số được gọi là phân phối đều (uniform distribution). Ví dụ khác của uniform distribution là tung đồng xu (mỗi mặt có thể xảy ra là 50%), gieo xúc xắc, đẻ con trai hay con gái, chơi roulette.
Hầu hết các ví dụ đưa ra ở trên là do con người tạo ra, bởi uniform distribution trong tự nhiên rất hiếm. Một distribution phổ biến trong tự nhiên là phân phối chuẩn (normal distribution). Normal distribution nghĩa là nếu có một loạt giá trị, các giá trị nằm ở giữa có xác suất xảy ra cao nhất, và các giá trị nằm ở hai cực (quá nhỏ hay quá lớn) có xác suất xảy ra thấp. Một giá trị càng nằm ở cực (càng khác thường), xác suất nó xảy ra càng thấp.
Ví dụ về normal distribution là chiều cao. Hầu hết phụ nữ trường thành ở Việt Nam sẽ có chiều cao dao động xung quanh 1m55. Phụ nữ trưởng thành với chiều cao là 1m30 hay 1m70 là hiếm hơn nhiều. Các ví dụ khác bao gồm cân nặng, điểm thi, cỡ giày, thời gian bạn đi từ nhà đến công ty.
Normal distribution là một cái bẫy. Chúng ta dễ dàng coi nhiều thứ là normal distribution mặc dù nó không hề normal tí nào. Ví dụ, giá trị tài sản của người dân ở một quốc gia không phải là normal distribution. Khi nói: “Tài sản trung bình của người Việt Nam là 1 tỷ”, người nghe dễ hiểu rằng một người trung bình có tài sản khoảng trên dưới 1 tỷ, nhưng sự thật là vài người sẽ có tài sản trên 10,000 tỷ, còn phần lớn mọi người sẽ có tài sản dưới 100 triệu. Ở Mỹ, 0.1% người giàu nhất có tổng tài sản lên tới 20% tài sản của cả quốc gia, nhiều hơn tổng tài sản của 80% người nghèo nhất.
Hình dung một thành phố ảo với 100 người dân. 5 người giàu nhất có 10000, 8000, 7000, 5000, 5000 USD. 5 người tiếp theo có 3000 USD. 20 tiếp theo có 1000USD. 70 người còn lại có 100 USD. Như vậy, 10 người giàu nhất có tổng tài sản là 50000 USD, còn 70 người nghèo nhất có tổng tài sản 7000USD. Nếu tính trung bình, người dân thành phố này sẽ có (50000 + 20000 + 7000) / 100 = 770 USD — gấp 7.7 lần số tiền mà phần lớn người dân thành phố này có.
Nhiều cơ quan, tổ chức dùng con số trung bình này để che giấu thực trạng chênh lệch giàu nghèo. Công ty có thể khoe rằng họ tăng gấp đôi mức lương trung bình của nhân viên, nhưng thực ra tăng mức lương của lãnh đạo 10x nhưng chỉ tăng lương của nhân viên 1%. Ở Mỹ, lương của CEO tăng chóng mặt có khi lên đến hàng trăm triệu USD một năm, nhưng lương tối thiểu cho nhân viên thì vẫn tàng tàng 15,000 USD/năm. Nhà nước có thể khoe họ tăng thu nhập bình quân đầu người của người dân, nhưng thực ra chỉ tăng thu nhập cho một bộ phận rất nhỏ CÔCC.
Khi một nhóm sự kiện với giá trị cao có xác xuất xảy ra nhỏ trong khi phần lớn sự kiện thường xuyên xảy ra lại có giá trị rất nhỏ, những giá trị này theo Pareto distribution hay long-tail distribution. Lượng bán ra của sách, phim, âm nhạc đều theo distribution này. Mỗi năm, chỉ có vài cuốn sách đạt doanh số lên đến triệu bản, nhưng sẽ có hàng ngàn cuốn sách chỉ bán được vài cuốn.
Hiểu rõ cái gì là normal distribution, cái gì là Pareto distribution sẽ giúp chúng ta đưa ra quyết định đúng đắn trong cuộc sống. Một ứng dụng là trong hướng nghiệp. Những nghề có mức thu nhập theo normal distribution như giáo viên, kế toán, lập trình, … được coi là an toàn. Phần lớn những người theo nghề này sẽ có thu nhập ở quanh mức trung bình. Họ sẽ không quá giàu, nhưng cũng sẽ không quá nghèo.
Những nghề có mức thu nhập theo Pareto distribution như nhà văn, ca sĩ, làm công ty khởi nghiệp, … có tính rủi ro cao hơn (và các phụ huynh thường cấm không cho con theo). Phần lớn những người theo nghề này sẽ có thu nhập rất thấp (phần lớn các công ty khởi nghiệp phá sản), nhưng một phần rất nhỏ sẽ vô cùng giàu có. Phần lớn nhà văn sẽ không bán đủ sách để mà sống. Nhưng một vài người như J.K. Rowling trở thành tỉ phú.
Người hiểu về xác suất sẽ không mong làm giàu từ đánh bạc, bởi vì sòng bạc được thiết kế để người chơi mất tiền. Ví dụ chơi trò roulette với 37 số từ 0 đến 36, mỗi số có xác suất được chọn như nhau (uniform distribution). Người chơi đánh cược vào một số từ 1 đến 36. Nếu số được chọn, người chơi thắng gấp 35 lần. Giả sử người chơi đánh cược 10 USD. Nếu thắng (xác suất 1/37), họ được 350 USD. Nếu thua (xác suất 36/37), họ mất 10 USD. Trung bình, số tiền người chơi nhận được là (350 * (1/37) - 10 * (36/37)) = -10/37. Người chơi có thể thắng một vài lần, nhưng nếu chơi lâu dài, người chơi luôn luôn thua.
Người hiểu về xác suất sẽ hiểu tầm quan trọng của may mắn trong thành công. Nếu bạn rút 2 lá bài ra từ trong bộ bài, xác suất bạn có được 2 con át là (4/52) * (3 / 51) = 1/221 — khá thấp. Nhưng nếu bạn rút khoảng 1000 lần, khả năng một trong những lần rút đó cho bạn 2 con át khá là cao.
Thay vì bạn rút 1000 lần, bạn có thể cho 1000 người rút 2 lá bài từ bộ bài của họ. Khả năng cao là một vài người sẽ rút ra được 2 con át. Những người rút được 2 con át này chẳng phải là do tài năng gì, mà chỉ là do ngẫu nhiên.
Tương tự như vậy trong cuộc sống. Trong 1000 hoạ sĩ với tài năng tương đương nhau, sẽ có vài người thành công hơn số còn lại chỉ vì họ may mắn hơn. Hay với 1000 người mở cửa hàng, 1000 công ty khởi nghiệp. Ở Mỹ có câu nói: “Once is chance. Twice is coincidence. Thrice is a pattern.” Thành công một lần là may rủi. Thành công hai lần là trùng hợp ngẫu nhiên. Thành công ba lần thì mới tin là tài năng.
Hiểu tầm quan trọng của may mắn trong thành công không có nghĩa là phủ nhận tất cả các yếu tố khác. Như nhà triết học Seneca đã nói: “May mắn xảy ra khi sự chuẩn bị gặp cơ hội.” Bạn phải đủ khả năng để biết cái gì là cơ hội (hình dung hàng trăm bạn học cùng Mark Zuckerberg nhưng không hiểu tầm quan trọng của Facebook nên không làm cùng). Bạn cũng phải đủ khả năng để nắm bắt lấy cơ hội đó (hình dung Zuck cần người giúp lập trình và bạn là người lập trình giỏi nhất mà Zuck biết).
Nhiều người gặp may mắn thành công, không hiểu được cái may mắn của mình, mới sáng tạo ra “bí quyết thành công” của bản thân và đi truyền bá cho người khác. Nhiều người thất bại, không hiểu được rằng may mắn của bản thân chưa đến, lại bỏ cuộc.
Bài viết cũng dài rồi nên mình tạm dừng ở đây. Mình học xác suất thống kê bằng tiếng Anh, nên có khái niệm nào viết sang tiếng Việt không chính xác/khó hiểu thì các bạn chỉ ra với mình nhé. Cảm ơn các bạn!
uniform distribution 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Facebook 的精選貼文
<3 俐媽英文教室:鴉片篇
昨晚電視播出「大稻埕」,劇情提及台灣人與鴉片及日軍對抗的過程,俐媽趕緊送上鴉片的英文資訊。
吸鴉片令人上癮,但如果俐媽的教學可以像鴉片一樣,讓你一來再來,百吸(知識)不厭,我可就開心了!
<3 opium (n.) 鴉片
cf. opinion (n.) 意見/ onion (n.) 洋蔥
<3 monopoly (n.) 壟斷;獨賣
衍:Monopoly 大富翁(遊戲)
字首:mono-: one (e.g. monogamy, monarch, monotonous, monologue, monograph...)
<3 latex (n.) (植物)乳汁∕膠
<3 obtain (v.) 獲得
字根:tain-: keep, hold (e.g. abstain, attain, contain, detain, entertain, retain, maintain, sustain, tenacious, tenant, tenure...)
<3 unripened (a.) 未成熟的
原:ripe (a.) (果實)成熟的
<3 opium poppy (n.) 罌粟花
<3 anesthetic (n.) 麻醉藥;(a.) 麻醉的
衍:anesthetize (v.) 使麻醉
cf. aesthetic (a.) 美學的
<3 narcotic (n.) 麻醉藥;(a.) 麻醉的
<3 classify (v.) 分類
片:classified ad 分類廣告
cf. clarify (v.) 釐清
<3 distribute (v.) 分佈/配
衍:distribution (n.) 分佈/配/ distributor (n.) 經銷商
cf. tribute (n.) 貢品/ contribute (v.) 貢獻/ retribution (n.) 報應;懲罰
<3 temperate (a.) 溫帶的
衍:temperature (n.) 溫度
<3 subtropical (a.) 亞熱帶的
原:tropical (a.) 熱帶的
字首:sub-: under
<3 region (n.) 區域
衍:regional (a.) 區域的;地方的
<3 Laos (n.) 寮國
<3 Myanmar (n.) 緬甸
<3 border (n.) 國界
<3 be derived from (ph.) 源自於
cf. deride (v.) 嘲弄
<3 transform (v.) 變形
衍:transformation (n.) 變形
字首:trans-: through, across
字根:-form: form, shape (e.g. inform, conform, deform, reform, formal, uniform, perform, formula...)
uniform distribution 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本影片承接上回許願池影片,講解連續變數的機率分布,包含均勻分布、指數分布、常態分布、Gamma 分布和 Beta 分布及他們的機率密度函數與期望值和變異數
【加入會員】
歡迎加入張旭老師頻道會員
付費定閱支持張旭老師,讓張旭老師能夠拍更多的教學影片
https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g/join
【會員等級說明】
博士等級:75 元 / 月
- 支持我們拍攝更多教學影片
- 可在 YT 影片留言處或聊天室使用專屬貼圖
- 你的 YT 名稱前面會有專屬會員徽章
- 可觀看會員專屬影片 (張旭老師真實人生挑戰、許願池影片)
- 可加入張旭老師 YT 會員專屬 DC 群
碩士等級:300 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 每個月可問 6 題高中或大學的數學問題 (沒問完可累積)
學士等級:750 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 每個月可問 15 題高中或大學的數學問題 (沒問完可累積)
- 可許願希望我們拍攝講解的主題 (高中、大學數學)
- 可免費參加張旭老師線上考衝班 (名額不可轉讓)
家長會等級:1600 元 / 月
- 享有博士等級所有福利
- 沒有解題服務,如需要,得另外購入點數換取服務
- 可許願希望我們拍攝講解的主題 (高中、大學數學)
- 可免費參加張旭老師線上考衝班 (名額可轉讓)
- 可參與頻道經營方案討論
- 可免費獲得張旭老師實體產品
- 可以優惠價報名參加張旭老師所舉辦之活動
股東會等級:3200 元 / 月
- 享有家長會等級所有福利
- 一樣沒有解題服務,如需要,得另外購入點數換取服務
- 本頻道要募資時擁有優先入股權
- 可加入張旭老師商業結盟
- 可參加商業結盟餐會
- 繳滿六個月成為終生會員,之後可解除自動匯款
- 終生會員只需要餐會費用即可持續參加餐會
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
無
【講義】
無
【附註】
本系列影片僅限 YouTube 會員優先觀看
非會員僅開放「單數集」影片
若想看到所有許願池影片
請加入數學老師張旭 YouTube 會員
加入會員連結 👉 https://reurl.cc/Kj3x7m
【張旭的話】
你好,我是張旭老師
這是我為本頻道會員所專門拍攝的許願池影片
如果你喜歡我的教學影片
歡迎訂閱我的頻道🔔,按讚我的影片👍
並幫我分享給更多正在學大學數學的同學們,謝謝
【學習地圖】
EP01:向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02:泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03:級數審斂法統整與習題 (https://youtu.be/qXCdZF8CV7o)
EP04:積分技巧統整 (https://youtu.be/Ioxd9eh6ogE)
EP05:極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06:極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07:常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08:重製中
EP09:反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10:多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
EP11:Laplace 轉換 (https://youtu.be/GZRWgcY5i6Y)
EP12:Fourier 級數與 Fourier 轉換 (https://youtu.be/85q-2nInw7Y)
EP13:換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14:Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 (https://youtu.be/9c-lCLV4F0M)
EP15:極限、微分和積分次序交換的條件 (https://youtu.be/QRkGLK7Iw4c)
EP16:機率密度函數 (上) (https://youtu.be/PR1NSAOP_Z0)
EP17:機率密度函數 (下) 👈 目前在這裡
持續更新中...
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道,謝謝
【張旭老師其他頻道或社群平台】
FB:https://www.facebook.com/changhsu.math
IG:https://www.instagram.com/changhsu.math
Twitch:https://www.twitch.tv/changhsu_math
Bilibili:https://space.bilibili.com/521685904
【其他贊助管道】
歐付寶:https://payment.opay.tw/Broadcaster/Donate/E1FDE508D6051EA8425A8483ED27DB5F (台灣境內用這個)
綠界:https://p.ecpay.com.tw/B3A1E (台灣境外用這個)
#連續型機率分布 #機率密度函數 #pdf
![post-title](https://i.ytimg.com/vi/tDQ3o8uQ_Ks/hqdefault.jpg)
uniform distribution 在 JPN DORUDORU Youtube 的最讚貼文
超怖い心霊 Ghost Research 怪奇現象が起きやすいせどむら坂と踏切4k画質編
廃墟探索は2017年~ 87回
今回は
かなり怖いせどむら坂と踏切ですです、この土地柄が昔から
言い伝えが多くあり怪奇現象が良く起こる場所です。
親子の霊と少女の霊が目撃されるそうです。
1人で行ってます。
ではご覧下さい。
This time
It is quite scary, but it is a non-uniform slope and a railroad crossing, this land pattern has been from long ago
There are many legends and a strange phenomenon occurs well.
Parent and child spirits and girls' spirits are seen to be witnessed.
I am going alone.
4k image quality
这一次
这是非常可怕的,但它是一个不均匀的斜坡和铁路交叉口,这种土地模式已经很久以前
有很多传说,一个奇怪的现象发生得很好。
人们可以看到父母和子女的精神和女孩的精神。
我一个人去。
4k图像质量
Kali ini
Ini cukup menyeramkan, tetapi merupakan kemiringan yang tidak seragam dan penyeberangan jalur kereta api, pola tanah ini sudah ada sejak dulu.
Ada banyak legenda dan fenomena aneh terjadi dengan baik.
Roh orang tua dan anak-anak dan roh perempuan terlihat untuk disaksikan.
Saya pergi sendiri.
Kualitas gambar 4k
生配信 line live
https://live.line.me/r/channels/25159
ブログ
http://ameblo.jp/dorudorujpn/
生配信 ustream
http://www.ustream.tv/channel/dorudoru7
twitter
https://twitter.com/DORUDORU7
チャンネル登録も宜しくお願いします。
Thank you also for channel registration.
※ 廃墟探索も続行中です
※ 注意 リスナーさん同士の挨拶周りは禁止になります
揉め事に繋がりますので宜しくお願いします。
揉め事になってもこちらでは対応は出来ません。
#心霊 #ライブ #Ghost Live
#心霊探索 #怪奇現象
![post-title](https://i.ytimg.com/vi/F5DMeXQrA1s/hqdefault.jpg)
uniform distribution 在 prasertcbs Youtube 的最讚貼文
ดาวน์โหลด/git clone ไฟล์ Jupyter Notebook ที่ใช้ในคลิปได้ที่ ► https://github.com/prasertcbs/learn_numpy
เชิญสมัครเป็นสมาชิกของช่องนี้ได้ที่ ► https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=prasertcbs
playlist สอน Numpy ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GFNEpzsCBEnkUwgAwOu_PWw
playlist สอน Jupyter Notebook ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GErrygsfQtDtBT4CloRkiDx
playlist สอน Jupyter Lab ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GEour5CiwfSnoutg3RyA76O
playlist สอน Pandas ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GGsOHPCeufxCLt-uGU5Rsuj
playlist สอน matplotlib ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GGRvUsTmO8MQUkIuM1thTCf
playlist สอน seaborn ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GGC9QvLlrQGvMYatTjnOUwR
playlist สอน Python สำหรับ data science ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GFVfRk_MmZt0vQXNIi36LUz
playlist สอนภาษาไพธอน Python เบื้องต้น ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GH4YQs9t4tf2RIYolHt_YwW
playlist สอนภาษาไพธอน Python OOP ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GEIZzlTKPUiOqkewkWmwadW
playlist สอน Python 3 GUI ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GFB1Y3cCmb9aPD5xRB1T11y
playlist สอนการใช้งานโปรแกรม R: https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GGSiUGzdWbjxIkZqEO-O6qZ
playlist สอนภาษา R เบื้องต้น ► https://www.youtube.com/playlist?list=PLoTScYm9O0GF6qjrRuZFSHdnBXD2KVIC
#prasertcbs #prasertcbs_numpy
![post-title](https://i.ytimg.com/vi/4hMkHWL9_QM/hqdefault.jpg)
uniform distribution 在 Convergence to a Uniform Distribution - Cross Validated 的推薦與評價
Show that if P(Xn=i/n)=1/n for every i=1,...,n, then Xn converges in distribution to a uniformly distributed random variable X. Convergence in ... ... <看更多>
uniform distribution 在 Lesson 34 Uniform Distribution | Introduction to Probability 的推薦與評價
Lesson 34 Uniform Distribution. Motivation. How do we model a random variable that is equally likely to take on any real number between ... ... <看更多>