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Title:
賭場VS賭波VS賭馬，如何預測賽果？
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Subtitle:
天有不測之風雲，何以天文台能夠預測天氣？
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Script:
賭場、賭波和賭馬，形式上非常不同：
賭局 賠率 機率
賭場遊戲 己知 己知
足球博彩 己知 未知
賽馬博彩 未知 未知
由於形式不同，戰術亦截然不同。但戰術不同，目標卻始終如一：「正EV」。只要EV是正數，賭博便佔優。重溫一次EV的計算方法：
EV = 淨贏注 × 贏錢機率 － 淨輸注 × 輸錢機率
換言之，賭場遊戲的賠率固定、機率固定，因此EV都是固定，而且一般來說都是固定的負數（因為對賭場來說便是正數）。對賭客來說，除非遇上賭場犯錯，例如推出新遊戲，規則上容許賭客獲得正EV#，否則於賭場遊戲長賭必敗無疑。
#《爽爆：全職賭徒鑽賭場漏洞 月贏80萬 》
http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20121017/18042618
至於足球博彩，雖然是固定賠率制，但由於足球比賽變化莫測，不似賭場遊戲純粹訴諸物理力學，因此機率是未知之數，自然EV也是未知之數。只要有一定方法，便有可能取得正EV。
或許你會問：既然足球比賽變化莫測，一個不慎擺烏龍、一個不智領紅牌、一個球證誤判越位入球等，都會影響賽果，試問又怎能夠計算呢？
這個問題就等如天有不測之風雲，天文台為何能夠預測天氣呢？當然間中亦有錯判，但雖不中亦不遠矣，這就是數學的力量。其實博彩公司訂立賠率的時候，都會先以數學計算賽果機率，然後輕微調低作抽水。由此可見，只要比博彩公司計算機率計算得更準確，便能夠於賭局中佔有上風。
舉個例，朋友和你在街頭足球場看見兩隊業餘球隊比賽，朋友見一隊年輕力壯，另一隊白髮蒼蒼，於是開盤：「年輕隊1賠0.8、和局1賠2.1、元老隊1賠3.1」，這個時候，你發現元老隊球員原來是前甲組職業球員，年輕隊則是自己兒子的球隊，而你知道自己的兒子和他的朋友是乒乓球隊友，根本不懂得踢足球，因此，你預算元老隊的勝率遠超年輕隊。明顯地，這個賭局是你佔了上風。
換言之，這是一場資訊（Information）戰，擁有更多資訊的佔優。為什麼？因為資訊較多的一方，更能較準確地計算賽局機率（這也是馬評家晨早起床看晨操的目的，獲取一般馬迷不知道的資訊）。於上述例子，雖然不涉及數學運算，但仍算是一種粗略估算。當然，面對博彩公司，粗略估算是不足夠的，你需要比博彩公司更精確的機率計算，而方法就是：建立一個數學模型（Mathematical Model）。
提供重要資訊
計算預測結果
你先從現實世界搜集重要資訊，例如對賽兩隊的近績、對賽往績、預計陣容等，而對賽果影響力較小的，可選擇性地抽取，例如天氣溫度、領隊教練、花邊新聞等。然後，將這些資訊輸入到電腦程式，並由電腦進行運算，得出答案後，把電腦程式輸出的賽果，視之為對現實世界的預測賽果。程序大致如此，天文台預測天氣也是透過數學建模（Mathematical Modeling），量化重要的氣候現象，來預測未來天氣。
然而，電腦程式是如何使用現實資訊的呢？首先預設一些公式，然後匯入大量球賽歷史資訊，例如上述的近績、對賽往績、甚至天氣溫度等，從而利用公式計算預測賽果，將它與真實賽果比較，便可得知每一條公式的預測準繩度，繼而從中選出預測力最高的公式，加以使用，計算EV。
最常見的疑問是：「公式的準繩度源於球賽歷史資訊，包括真實賽果，準繩度自然必被高估，試問對比真實賽果又有什麼意思？」
這個問題可以利用一個名叫回溯測試（Backtesting）的小聰明手法，匯入資訊時，只匯入一部份，留下剩餘的部份歷史賽事當作未來賽事，執行公式模擬投注。
舉例說，你找了1000場相關賽事，你可匯入首900場，來挑選公式，然後用尾100場作模擬投注，計算出使用公式的EV。
賽馬博彩也是透過數學建模，你除了需要計算機率之外，你也要模擬最後賠率。因為賽馬博彩是實行彩池制（Pari Mutuel，又稱同注分彩法），賠率會因應投注額的分佈而時刻調整。假設你投注的時候，一號馬是1賠10，臨開閘的時候可以變了1賠3，到最後派彩可以變了1賠6，而你最後獲得的賠率，就是根據最後派彩，而不是你投注的時候。
由此可見，如使用數學建模，賭馬比賭波容易獲得正EV。主要原因如下：
賽馬是賭客與賭客之間的對賭。實施彩池制，博彩公司抽取投注額的手續費獲利，無論賽果如何，博彩公司已經賺了，派彩只是用輸家的注碼賠給贏家。只要有大量非理性的賭客，賭局佔優的機率便會較高，就好像到麻雀館打麻雀，遇著三位菜鳥，贏面自然較高。
相反，足球博彩是固定賠率制，是莊家和賭客直接對賭，莊家自然費盡工夫調整盤口，為公司獲得正EV，博彩公司正EV，即是賭客負EV。要從足球博彩中使用數學模型取勝，就得比博彩公司計算得更精確才有機會成功。
實際操作上，數學模型的構造當然比以上描述複雜得多，例如考慮的因素、各個因素的比重、賽事的數量，甚至注碼大小等，都絕不簡單。然而，原理大致上就是如此。
這一堂不教任何數學建模的方法，因為所需要的數學水平起碼要有大學程度，如想擊敗賭場，開始學習數學吧，有心不怕遲，只要沒有了考試的壓力，學習數學其實很愉快，也很輕鬆，或許最後你做不了賭神，卻成了數學家呢！
就算不打算學習數學，也希望你明白背後的原理，不致於大庭廣眾之下獻醜，不會再說由於隨機因此無法預測，而別人提起數學模型的時候，你起碼聽得明白。
天氣預測的科學發展已成熟多年，人類掌控隨機事件的能力已遠超一般人所想。天文台雖然無法完美預測每一秒的天氣變化，但大概準確，已造福人群；同樣地，賭局預測，雖然不會場場中，但只要大概準確，使贏的多過輸的，已足夠使賭客獲利。數學並非萬能，但只要適當地使用，絕對是強大的武器。
Summary
賭場遊戲的賠率和機率都是固定。
足球博彩實行固定賠率制（Fixed-odds betting），賠率固定，但機率不知。
賽馬博彩實行彩池制，賠率不定，機率亦不知。
賽果預測的原理，與天氣預測的原理大致相同。
將現實世界重要資訊，匯入數學模型計算，用結果預測現實世界賽果。
把部份歷史賽事當作未來賽事，用以驗證數學程式的準繩度。
天氣預測無須分秒不差，賭局預測亦無須場場中，只要正EV就可以。
Terminology
資訊（Information）
數學模型（Mathematical Model）
數學建模（Mathematical Modeling）
回溯測試（Backtesting）
彩池制（Pari Mutuel）
固定賠率制（Fixed-odds betting）
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
backtesting意思 在 台大財金大好人提供:陳業寧金機管期中考題- 精華區NTU-Exam 的推薦與評價
台灣大學財務金融學系
金融機構管理期中考參考答案（班次02）
04/20/2004
壹、簡答題 (共15題，每題4分)：答題時請儘量精簡扼要
1. 為什麼景氣不好、借款客戶違約機率提高時，銀行可能寧願選擇減少放款金額的方式
，而不願意以提高利率的方式來因應？扼要解釋答案。
Answer: 當景氣不好時，潛在借款人的組成變差（高風險的比率提高）。由於高風險借款
人願意付較高的利率，若銀行提高利率，借款客戶的組合會更偏向高風險借款人。如果高
風險借款人可能帶給銀行損失，則銀行可能不願提高利率而寧願減少總放款金額。
* 鬆，意思對的就給分
2.在delegated monitor的例子中，銀行破產機率趨近0。造成此不合理結果的假設是什麼
？扼要解釋答案。
Answer: 所有的計畫報酬均為獨立。在此假設下，若借款企業之家數趨近無限大，則其違
約比率(不是違約家數)的變異數趨近於0，故銀行的破產機率趨近0。在實際世界借款企
業的報酬為正相關。
* 沒提到「所有的計畫報酬均彼此獨立」者扣分。寫well diversified者扣1分，寫M趨
近無限大者扣4分
3.共同基金是否有擠兌的問題？扼要解釋答案。
Answer:與存款契約相比，共同基金較無擠兌問題。存款契約所約定的提領金額是固定的。
當銀行資產虧損嚴重且無存款保險時，先提款的人無須承擔任何損失，故其能領到的遠比後
提款者能領到得多。相對的，共同基金贖回時受益人領到的是基金當時的單位淨值。當基金
虧損嚴重時，不管先贖回後贖回者均需承擔損失，故先贖回能領的不一定比後贖回領的多
。因此共同基金較無擠兌問題。
但值得注意的是，若基金投資標的的流動性很差且其價格不一定反映其真實價值，則共同基
金也可能發生擠兌的問題。
* 嚴格。沒寫到共同基金贖回方式與銀行存款差異者不給分
4.造成台灣基層金融機構問題最主要的兩個原因是什麼？扼要解釋答案。
Answer:
(i) 公司治理差。在公司治理上，基層金融機構採取一人一票而非依股金多寡決定其
投票權。當共同關係無法發揮效果時，此方式會造成經營者不一定擁有高現金權的現象，
這使基層金融機構經營者的道德危險問題嚴重。
(ii) 風險分散程度低。由於基層機構放款對象限於某地域甚至某產業，故其無法達
到有效的風險分散。
* 嚴格。意思不對者不給分。(i)中未提到一人一票者至少扣1分
5. 就美國資料來看，為什麼金主要在創投契約中限制下列項目：
(i) 創投基金可投資每一家企業的金額大小，(ii) 創投經理人自己拿錢投資創投基金所
投資之企業
Answer:
(i) 由於創投經理人報酬型態類似call option，故其有過度追求風險之動機。因此
，在契約中要要求其風險不得過份集中於少數企業。
(ii) 為防止利益衝突問題。若不限制，則當創投經理人與基金均投資之企業發生財
務危機時，基金經理人可能為了自己的利益而不願及時抽回基金的資金或進行清算。
* (i)中只提到風險分散，未提到創投經理人有追求風險動機者扣1分。(ii) 可較鬆，合
理者均給分，但只說「道德危險」或「利益衝突」而未解釋者不給分
6. 政府為何要規定工業銀行的存款及外匯業務對象限於法人？又政府為何不允許工
業銀行吸收其他金融機構之轉存款？
Answer: 兩者的目的均在降低工銀對於社會大眾的影響。由於工銀在直接投資（生產事業
、金融相關事業與創投）上的限制遠比商銀低，又能承做承銷業務，故其承受之風險可
能較高。有了上述限制後，即使工銀發生問題，也不會波及個人存款人以及其他存款機構
。
* 未提到工銀業務（直接投資或承銷）風險大者至少扣2分(寫工銀放款風險大者亦扣2分)
7. 扼要解釋下列有關殖利率曲線的理論： Unbiased expectations theory。
Answer: 該理論認為殖利率曲線反映了市場目前對於未來利率的預期。
* No specific comments
8. 扼要解釋什麼是standardized (repricing) gap。為什麼與用簡單repricin
g gap計算利率風險相比，用standardized gap來計算利率風險所得的結果較為精確？
Answer:
(i) Standardized gap: 考慮了殖利率變動敏感度後的repricing gap。也就是說，在
計算repricing gap時，在各項RSA與RSL的金額前乘上該工具之殖利率相對於benchmark
rate的波動幅度。
(ii) 當不同工具之殖利率波動程度不同時，殖利率波動幅度較大的RSA或RSL對於net
interest income會有較大的影響。而計算standardized gap的過程中，殖利率波動程度較大
的RSA或RSL可有較大的權數。因此，用standardized gap來計算利率風險所得的結果較為
精確。
* 鬆。意思對了就給分
9. 某銀行的adjusted duration gap為正，則當利率上升時，該銀行的自有資本比
率會上升或下降？扼要解釋理由。
Answer: 不一定。Adjust duration > 0 → DA > k DL ，但不一定代表DA > DL
而自有資本比率變動的符號決定於DA是否大於DL
* 嚴格。得出股東權益絕對金額下降者得1分
10. 為什麼當其他條件不變時，coupon rate 上升會導致duration的下降？
Answer: 當coupon rate上升時，本金的現值佔全部現金流量之現值比重下降，而本金是
到期日最遠的現金流量。故平均的現金到期日下降，duration 也因此下降。
* 沒寫本金佔現值的比例變小（或類似意思）者酌量扣分
11. 當以Exponential smoothing volatility法計算VaR時，λ越大會使每日VaR的變動
越「活潑」或越「僵固」(在橫軸為時間，縱軸為VaR的平面上)？扼要解釋答案。
Answer: 應該會越「僵固」。λ越大，新資料的權重越低，故VaR的變化就越少。
* 嚴格
12. 在計算VaR時，Historical simulation與Hybrid method最主要的差別是什麼？
Answer: 主要差別在於資料的權重（或發生機率）。Historical simulation中，所有的資
料權重均相同，而在Hybrid method中越新的資料的權重越大。
* No specific comments
13. 當採取開根號法則，由一日VaR推算J日VaR時，你認為所得出的J日VaR會高估或低
估真正的J日VaR？扼要解釋答案。
Answer: 取決於你認為每日報酬的相關係數為正或為負。如認為正相關，則開根號法則所算
出之VaR低估真正的VaR。如認為負相關，則開根號法則所算出之VaR高估真正的VaR。
* 未提到每日報酬間可能有相關者不給分，但只要說因有相關故低估者則算對
14. 為何在進行風險管理時需要做stress testing與scenario testing?又Stress
testing與scenario testing主要的差別是什麼？
Answer:
(i) 因為一般的VaR算法可能無法完全解決fat tails 與correlation breakdown
的問題，故算出來的VaR在較極端的狀況發生時可能無法適用。因此還需要做stress
testing與scenario testing。
(ii) 兩者主要差別在：stress testing是有系統性的變動各種風險因子，而scenario
testing則是假設某一情境發生時各種風險因子的值是多少。由於這種差別，stress
testing所能假設的風險因子相關程度較為簡略(不是1就是0)；而scenario testing則可
較為細膩。但就可測試的情況組合數目來說，stress testing則較多。
* 鬆
15. 在目前的巴賽爾協定(BASEL I)中，若銀行在市場風險的計算上採內部模型法，則
在協定中採取什麼方法來防止銀行藉著「低報」VaR來減少所需提列之自有資本？扼要解釋
答案。
Answer: 要求銀行作backtesting，檢驗在過去一年中實際損失超過VaR的次數有多少。超過
越多則需提列越多的自有資本。若超過的次數太多則不能使用內部模型法。
* 鬆。提到「實際損失超過VaR的次數有多少。超過越多則需提列越多的自有資本」的意
思就給分
貳、問答題與計算題：計算題務必列出重要計算步驟，否則不計分。
1. （8分）假設你共有950筆收盤價資料。扼要(但務必清楚)敘述你如何在Excel中以
Historical simulation的方法計算每日之VaR。請務必列出你用到的Excel函數。
Answer: 略。
2. （7分）
(a) 為何外部資金比內部資金昂貴？請列出你認為最重要的兩點原因。
(b) 為何當外部資金比內部資金昂貴時公司需要避險？扼要說明理由。
Answer:
(a)
(i) 舉債引起代理成本(追求高風險或是因debt overhang而放棄好的投資計畫)
(ii) 舉債增加破產成本
(iii) 發股票增加代理成本(如empire building:管理者與小股東之間的代理問題)
(iv) 發股票會因資訊不對稱而使投資人低估公司價值 (Pecking order theory)
(b) 當外部資金昂貴時，公司可能因缺乏內部資金而放棄好的投資計畫。避險使得內部資
金較為穩定。在投資邊際報酬率遞減的假設下，較穩定的內部資金可以獲致較高的投資報
酬（在此假設下投資獲利為投資金額之concave function）。也可說：避險使公司可以
把內部資金由「獲利多之情境」移到「獲利少之情境」。由於在後者的狀況中投資邊際
報酬率較高，故這樣的移轉可增加投資效率。
* 嚴格。意思不對者不給分
3.
(a) （6分）Consider the following balance sheet information (in millions
) for an FI.
Assets: $200 (duration = 2)
Liabilities: $180 (duration = 3)
Equity $20
Suppose that the FI macro-hedges using Treasury bond futures. It is known
that PF (price of each contract) = $95,000. Also, assume that the deliverab
le Treasury bond has a duration of 8 years. If the FI wants a perfect m
acro-hedge, how many Treasury bond futures contract does it need to buy o
r sell?
(b) (5分) You have discovered that the price of a bond fell from 1,020 to
980 when the yield to maturity rose from 8.50% to 8.75%. What is the duration
of the bond?
(c) (4分) 以repricing gap的觀念管理利率風險有哪些缺點？請列出你認為其中最
重要的三種。
Answer:
(a) N = - (2 – 0.9*3)*200 / (95000*8) = 0.000184211 (單位不同沒關係)
(b) 利用duration公式，Duration =
- [(1 + 0.085)/(0.0875 – 0.085)]*[(980 – 1020) / 1020] = 17.0196
（可有不同算法）
(c) 沒考慮市值變化、over-aggregation、runoffs、不同工具殖利率波動幅度不同
4. (10分) 某公司為市場風險準備之自有資本金額為1。該公司交易A、B兩種資產，兩資
產之月期望報酬率均為1%，而月報酬率之標準差均為4%。又兩資產報酬率之相關係數為
0.5。在交易A、B兩種資產時該公司不能放空。令某公司目標為：在投資組合之每月
VaR(α = 0.05)不得超過自有資本金額的限制下極大化預期收益。求某公司對於兩種資產
之投資金額各是多少。
提示：(i) 計算VaR時請勿忽略平均報酬。(ii) 大約等於1.732。(iii)由於兩資產之報
酬率與標準差均相同之事實，你可以假設該公司在這兩資產上投資金額將會相同。
令在兩資產上各投資x元
月期望報酬 μ = 2*x*0.01
月報酬率標準差 σ = [(x*0.04)2 + (x*0.04)2 + 2*x*x*0.5*0.04*0.04] =
*0.04*x
由題目可知： 1.65 σ – μ = 1 → x = 10.6027 (1/[1.65*1.732*0.04 – 0.02] )
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.245.64
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