【指數函數的微分?高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
.
a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 = 本身 × ln(底數)
.
其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
.
而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71,是無理數
.
關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念(補充教材)
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) = 1 而是微分等於自己
.
【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 = 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 = e^x
.
上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎?
留言告訴我唄~
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
同時也有3部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 這個影片主要說明複數冪級數的微分可以逐項微分,而且微分以後收斂範圍不變 【勘誤】 11:05 應該是 1+q+q+...+q^(n-1) = [1-q^n]/(1-q) 才對 (李建偉) 有任何錯誤歡迎留言告知 【習題】 無 【講義】 本系列影片配合 Stewart & Tall 的...
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蘇聯作曲家索菲婭·古拜杜麗娜(Sofia Gubaidulina)的雙鋼琴作品「S-H-E-A主題幻想曲」在德國漢堡的易北愛樂廳小廳於正在舉行的國際音樂節上首演,由來自俄國-保加利亞的Schalamov雙鋼琴組合演奏。這一首奇特之處在於其中一架鋼琴的音準必須要調到比另一台低於1/4的微分音。
Sofia Gubaidulina :《Fantasie über das Thema S-H-E-A》gespielt an zwei Steinway D Flügeln
Shalamov Piano Duo
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【摘要】
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【附註】
本影片專門為數學系的學生拍攝,證明較多
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【微分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgNc7FMA0WatOTlZmRdHbCZ)
重點一:定義與性質 (https://youtu.be/I0rD0ppXmAs)
重點二:柯西黎曼方程式 (https://youtu.be/8lfL5XmRUXk)
重點三:連通與微分 (https://youtu.be/i25DNoA94aU)
重點四:冪級數的微分 👈 目前在這裡
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#冪級數微分 #逐項微分 #收斂範圍不變
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【摘要】
這個主題主要說明在域 (domain) 上複變函數,在滿足某些條件以後可推得該函數為常數函數
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#連通 #微分 #常數函數條件
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【摘要】
複變函數可微則必滿足柯西黎曼方程式,但滿足柯西黎曼方程式的複變函數不一定可以微分,除非他的偏導數都存在
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請問e^[(-x^2)/2]的微分為什麼會是-xe^[(-x^2)/2],這是怎麼微的我還以為e為底都會一樣. ... <看更多>
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微積分考前速記
注意,本PO針對對微積分一竅不通、鴨子聽雷者。
所有的重點著重考試的計算。
所以裡面沒有申論題或證明題,不可能會討論微積分基本定理這些題目。
或許會有些人覺得很簡單,
但我也是到大二(還是微積分莫名PASS後)才……往事就讓它過去吧~
希望對大一學弟妹們的期中有幫助~
因為bbs上無法用太複雜的符號,會儘量附加中譯說明。 ps:次方 = ^。
盡量拿紙筆寫下才不會被符號搞混^^
--
(一)微分
f(x)= a(x^n) 中譯:a乘以x的n次方
f'(x)= an[x^(n-1)] 中譯:a乘以n(原次方移下)乘以x的n-1次方
ex:
f(x)= 3(x^4)
f'(x)= 3*4*(x^3)= 12(x^3)
(二)常數的微分 ╭────────╮
│ 兩者合體 │
f(x)= C(表示常數) │ │
│ f(x)= 2(x^3)+5 │
f'(x)= 0 │ f'(x)= 6(x^2) │
╰────────╯
ex: 基本中的基本,希望有好一點的老師
f(x)= 3 能配個40分在這裡(做夢吧~)
f'(x)= 0
--
(三)對數的微分
f(x)= ㏑[g(x)] 中譯:g(x)函數取自然對數,g(x)可以是x的任何形式。
g'(x)
f'(x)= ───── 訣竅:分母是原封不動的原函數,分子為原函數的微分。
g(x)
╭──────────╮
ex: │㏑(a*b)= ㏑a+ ㏑b │
f(x)= ㏑[3(x^2)+4] │㏑(a/b)= ㏑a- ㏑b │
│㏑1= 0 │
6x ← 3(x^2)+4 的微分 │㏑(x^n)= n*㏑x │
f'(x)= ─────── ╰──────────╯
3(x^2)+4 (原來的) ↑對數的"次方項"能往前搬喔~
--
(四)指數的微分
f(x)= e^g(x) 中譯:e的g(x)次方
f'(x)= e^g(x)*g'(x) 中譯:e的g(x)次方乘以g(x)的微分
訣竅:原來指數函數完整不動乘以指數次方項的微分
ex:
f(x)= e^(3x+2)
f'(x)= e^(3x+2)*3= 3*e^(3x+2)
因為怕太亂不敢用太複雜的數字,
基本上只要按照訣竅走就沒錯了。
--
(五)鏈鎖律 chain-rule
重點!以後不管看到什麼函數形式都得記住!!
一定得由外往內一層層微分,這樣才不會亂掉!
f(x)= [g(x)]^n
f'(x)= n* {[g(x)]^n-1} * g'(x) ←3.最後再乘以裡面函數的微分
↑  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄↑
1.n在最外頭, 2.裡頭函數不變,
次方往前乘。 次方項減一。
訣竅:就像剝橘子一樣,一定要由外往內,在處理外面次方項時,千萬不要動裡面函數。
--
ex:
f(x)= 1/√[2(x^3)+3x] 中譯:分子是1,分母是2乘以x的3次方加上3x。
先稍作整理變成
f(x)= [2(x^3)+3x]^(-1/2) 中譯:開根號是1/2次方,在分母則是負號。
(應該都知道吧.....)
f'(x)= (-1/2) * [2(x^3)+3x]^(-3/2) * (6x+3)
步驟1↑ ↑步驟2 次方減一 ↑步驟3
(完整不動!!) (裡面微分)
寫完後再整理一下就是答案了,整理時小心計算錯誤。
--
(六)乘法模式微分
f(x)= g(x)*h(x)
f'(x)= g'(x)*h(x) + h'(x)*g(x)
訣竅:微前乘後 加 微後乘前
(七)除法模式微分
f(x)= g(x)/h(x)
g'(x)*h(x) - h'(x)*g(x) 微上乘下 減 微下乘上
f'(x)= ───────────── 訣竅:────────────
[h(x)]^2 分母平方
--
五六七合體常見試題
╴╴╴╴╴╴╴╴╴
√ 4(x^2)+3x 4(x^2)+3x
f(x)= [ ─────── ] 整理→ [ ─────── ]^(1/2)
5(x^3)-7(x^2) 5(x^3)-7(x^2)
微上乘下減微下乘上↓已經算好整理後
4(x^2)+3x -20(x^4)+15(x^3)-24(x^2)+42x
f'(x)= (1/2)*[ ─────── ]^(-1/2)* { ────────────── }
5(x^3)-7(x^2) [5(x^3)-7(x^2)]^2
分母平方
═════════════════════════════════════
f(x)= (3x-5)[(-5x+2)^2]
f'(x)= 3*[(-5x+2)^2] + [2(-5x+2)*(-5)](3x-5)
微前 乘後 加 微後 乘前
(↑有個鏈鎖律)
最後整理一下就是答案,我這麼寫就是不想算了……|||
--
不好意思手邊沒有題目所以數字可能設計的不太好……
我在看BBS時最不喜歡數學了,因為不像Word那麼好弄qq
希望可以被看的懂……如果有錯誤請指正^^
如果真的覺得太勉強就記住訣竅部分即可。
由外往內,乘除法、指數對數微分方式牢記,應該可以解微分80%以上的計算題了。
祝大家期中順利!
>>>會有人想要積分的速記嗎(光速逃XD)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.230.128.29
※ 編輯: fff0722 來自: 61.230.128.29 (11/03 21:24)
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