各位晚安
幾個禮拜前
有個同學在我的微積分社團裡面提了一個問題
就是若 p_n 為從小排到大的第 n 個質數的話
則 2·3·5···p_n 開 p_n 次方當 n 趨近於 ∞ 時其極限恰好是尤拉數 e
我相信喜歡數學的人
都會覺得這個定理真的太美妙了
所以身為我團隊理數學顧問的丈哥在看到這個問題以後
就一股腦栽進去研究了
然後這就是他研究以後的心得
如果你也喜歡數學
歡迎你看看丈哥整理的證明
如果覺得不錯
請記得按讚或留個言鼓勵丈哥
他真的很用心整理
我沒有要所有人都按他讚
我是說,如果你對這個主題有興趣
看完以後覺得這部影片不錯的話
就幫丈哥按個讚或留個言鼓勵他吧!
同時也有1部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 從質數定理的一個引理出發,來證明前 n 個質數的乘積開第 n 個質數的次方,其極限會是歐拉數 e 【加入會員】 歡迎加入張旭老師頻道會員 付費訂閱支持張旭老師,協助本頻道發展並獲得會員專屬福利 👉 https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5...
e的次方 在 數學老師張旭 Youtube 的精選貼文
【摘要】
從質數定理的一個引理出發,來證明前 n 個質數的乘積開第 n 個質數的次方,其極限會是歐拉數 e
【加入會員】
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👉 https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g/join
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【質數定理系列】
質數定理的習題 👈 目前在這裡
質數定理的習題:高微子習題 (https://youtu.be/VHM_ffVZxyE)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道,謝謝
FB:http://www.facebook.com/changhsu.math/
IG:http://www.instagram.com/changhsumath/
![post-title](https://i.ytimg.com/vi/wp_683ILbyA/hqdefault.jpg)
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微積分考前速記
注意,本PO針對對微積分一竅不通、鴨子聽雷者。
所有的重點著重考試的計算。
所以裡面沒有申論題或證明題,不可能會討論微積分基本定理這些題目。
或許會有些人覺得很簡單,
但我也是到大二(還是微積分莫名PASS後)才……往事就讓它過去吧~
希望對大一學弟妹們的期中有幫助~
因為bbs上無法用太複雜的符號,會儘量附加中譯說明。 ps:次方 = ^。
盡量拿紙筆寫下才不會被符號搞混^^
--
(一)微分
f(x)= a(x^n) 中譯:a乘以x的n次方
f'(x)= an[x^(n-1)] 中譯:a乘以n(原次方移下)乘以x的n-1次方
ex:
f(x)= 3(x^4)
f'(x)= 3*4*(x^3)= 12(x^3)
(二)常數的微分 ╭────────╮
│ 兩者合體 │
f(x)= C(表示常數) │ │
│ f(x)= 2(x^3)+5 │
f'(x)= 0 │ f'(x)= 6(x^2) │
╰────────╯
ex: 基本中的基本,希望有好一點的老師
f(x)= 3 能配個40分在這裡(做夢吧~)
f'(x)= 0
--
(三)對數的微分
f(x)= ㏑[g(x)] 中譯:g(x)函數取自然對數,g(x)可以是x的任何形式。
g'(x)
f'(x)= ───── 訣竅:分母是原封不動的原函數,分子為原函數的微分。
g(x)
╭──────────╮
ex: │㏑(a*b)= ㏑a+ ㏑b │
f(x)= ㏑[3(x^2)+4] │㏑(a/b)= ㏑a- ㏑b │
│㏑1= 0 │
6x ← 3(x^2)+4 的微分 │㏑(x^n)= n*㏑x │
f'(x)= ─────── ╰──────────╯
3(x^2)+4 (原來的) ↑對數的"次方項"能往前搬喔~
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(四)指數的微分
f(x)= e^g(x) 中譯:e的g(x)次方
f'(x)= e^g(x)*g'(x) 中譯:e的g(x)次方乘以g(x)的微分
訣竅:原來指數函數完整不動乘以指數次方項的微分
ex:
f(x)= e^(3x+2)
f'(x)= e^(3x+2)*3= 3*e^(3x+2)
因為怕太亂不敢用太複雜的數字,
基本上只要按照訣竅走就沒錯了。
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(五)鏈鎖律 chain-rule
重點!以後不管看到什麼函數形式都得記住!!
一定得由外往內一層層微分,這樣才不會亂掉!
f(x)= [g(x)]^n
f'(x)= n* {[g(x)]^n-1} * g'(x) ←3.最後再乘以裡面函數的微分
↑  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄↑
1.n在最外頭, 2.裡頭函數不變,
次方往前乘。 次方項減一。
訣竅:就像剝橘子一樣,一定要由外往內,在處理外面次方項時,千萬不要動裡面函數。
--
ex:
f(x)= 1/√[2(x^3)+3x] 中譯:分子是1,分母是2乘以x的3次方加上3x。
先稍作整理變成
f(x)= [2(x^3)+3x]^(-1/2) 中譯:開根號是1/2次方,在分母則是負號。
(應該都知道吧.....)
f'(x)= (-1/2) * [2(x^3)+3x]^(-3/2) * (6x+3)
步驟1↑ ↑步驟2 次方減一 ↑步驟3
(完整不動!!) (裡面微分)
寫完後再整理一下就是答案了,整理時小心計算錯誤。
--
(六)乘法模式微分
f(x)= g(x)*h(x)
f'(x)= g'(x)*h(x) + h'(x)*g(x)
訣竅:微前乘後 加 微後乘前
(七)除法模式微分
f(x)= g(x)/h(x)
g'(x)*h(x) - h'(x)*g(x) 微上乘下 減 微下乘上
f'(x)= ───────────── 訣竅:────────────
[h(x)]^2 分母平方
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五六七合體常見試題
╴╴╴╴╴╴╴╴╴
√ 4(x^2)+3x 4(x^2)+3x
f(x)= [ ─────── ] 整理→ [ ─────── ]^(1/2)
5(x^3)-7(x^2) 5(x^3)-7(x^2)
微上乘下減微下乘上↓已經算好整理後
4(x^2)+3x -20(x^4)+15(x^3)-24(x^2)+42x
f'(x)= (1/2)*[ ─────── ]^(-1/2)* { ────────────── }
5(x^3)-7(x^2) [5(x^3)-7(x^2)]^2
分母平方
═════════════════════════════════════
f(x)= (3x-5)[(-5x+2)^2]
f'(x)= 3*[(-5x+2)^2] + [2(-5x+2)*(-5)](3x-5)
微前 乘後 加 微後 乘前
(↑有個鏈鎖律)
最後整理一下就是答案,我這麼寫就是不想算了……|||
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不好意思手邊沒有題目所以數字可能設計的不太好……
我在看BBS時最不喜歡數學了,因為不像Word那麼好弄qq
希望可以被看的懂……如果有錯誤請指正^^
如果真的覺得太勉強就記住訣竅部分即可。
由外往內,乘除法、指數對數微分方式牢記,應該可以解微分80%以上的計算題了。
祝大家期中順利!
>>>會有人想要積分的速記嗎(光速逃XD)
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