《我嘅新朋友： #WforWhisky 》
前言：之前預告過，賴叔今年會試新嘢，其中一樣就係寫威士忌喇。 Patreon 、Medium 及 Facebook Page 讀者都可以睇，希望與眾同樂。
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W for Whisky. 威士忌，香港人讀音係「威士己」，常用俗語包括「威過威士忌」 (而我唔清楚咁即係有幾威？) 。
喺進一步寫落去之前，我要戴個頭盔先：賴叔係鼻敏感患者，嗅覺係正常人一半；又由於青春期喪食白烚翠玉瓜同娃娃菜，味覺都係正常人嘅一半。
所以，我講啲咩都好，大家最好 take it with a pinch of salt 。唔好阿叔講乜就講乜，自己用個鼻、用條脷，試真佢。
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我同威士忌嘅第一次接觸，應該係 2011 年左右，某次中學預科同學食飯，有個做 retail marketing 嘅朋友 (仆街佢最近 like 咗我個 page ，唔知佢記唔記得呢單嘢) ，一人醒咗支實驗室 test tube 類嘅物體。
我返屋企一打開，哇， 43% 濃度酒精。咁當年我都出名係一個「酒精」嚟嘅，中學飲 Diamond Black (唔係 Jolly Shandy 已經好叻) ，大啲飲樽裝 Smirnoff Vodka Premix ，之後十年八載主要都係青島啤。純粹鍾意飲酒，冇咩品味可言。
咁一個「酒精」遇到高濃度酒精，當然就係試咗先講。一嘢 good 落喉嚨度，下一次噴返落鋅盤度。哇屌你鹵味，火燒喉嚨咁撚樣。沖完水之後，我二話不說成支 test tube 掉咗落垃圾桶。
就咁樣，第一次，完咗。就好似，青頭仔第一次想一桿入洞，點知卡咗喺對方大髀內側，動彈不得，磨多兩嘢，就繳械。
嗰一次，我以為自己呢世人都唔會再飲啲咁高度數嘅嘢。
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又幾年後，日本威士忌風潮席捲全港，連原本孤寒度縮，啤酒都要飲獅威 (又好似冇咁誇) 嘅大學同學都要買支「響」嚟飲。咁人家盛意拳拳攞支唔知 17 定 21 (後來好似仲喺佢屋企見過特別版嘅盒) 年日威出嚟，點好意思拒絕呢又？
於是，一人一隻玻璃水杯 (真係飲水或者飲可樂嗰啲) ，斟少少，懶係聞下香，哇好和諧好 harmonic (按：「響」洋名叫 “Harmony”) ，然後慢慢咪少少，咪少少。吖，又唔係咁嗆喉啫，仲幾順喉添！
呢位朋友日後好似仲有買過啲唔知竹鶴定白州同大家分享，不過我印象一般，感覺麻麻地。或者係先入為主，覺得「響 17 」嘅順喉舒服啲。
後來我去日本旅行都有嘗試搵威士忌，睇下帶唔帶到支返香港。但係香港人去旅行真係唔係人咁品，啲舖頭見到你係香港人已經避之則吉。而去到免稅店見到嗰啲都係冇年份但又一啲都唔平嘅東西，就索性放棄。
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2016 年，某次行誠品，我見到有個叫 vomFASS 嘅專櫃，賣油賣醋賣威士忌。咁我又膽粗粗去望下啦。酒精嚟架嘛。
吖，主打係蘇格蘭威士忌，另外有啲愛爾蘭嚟嘅。其他地方如美國嘅、其他品種如 VSOP 之類，都好似有少少。
咁我唔識飲威，就純粹按地方同名字去揀喇。我一向對愛爾蘭呢個國家有啲好感 (曼聯一代隊長堅尼 Roy Keane 都係愛爾蘭人) ，而當時有支出品叫 “Brothers in Arms” ，我鍾意。
店員當時講咗一堆嘢，大致意思係酒廠兩兄弟，各自釀咗桶嘢，一桶醞釀咗 21 年，一桶 14 年熟成，溝埋一齊，就係呢支神嘢。咁好啦，買支試下， 500 mL 都要近千銀。
咁當年賴叔好明顯係唔識嘅 (而家都唔見得好好多) ，當時飲嘅感覺，就係，吖，幾有層次，餘韻都幾強烈，吖，咁。
2020 年，我再做返少少功課，發現原來 Brothers-in-Arms 出自 Teeling ，酒源分別係一款 21 年 Sherry (雪莉桶，唔係雪梨) 同另一款 14 年 Bourbon (波本桶) 。
釀酒嗰兩兄弟姓 Teeling ，佢嘅祖先同長輩都先後開過酒廠，近代啲嗰間叫 Cooley ，1987 年成立，大約十年前被 Beam 收購，現為日本 Suntory 子公司 (因為 Beam 畀 Suntory 食咗) 。相信由 vomFASS 自家裝瓶嘅 “Brothers-in-Arms” ，酒源可能出自 Cooley 。
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呢篇大致寫咗我初嚐 Whisky 嘅第一段路，下次，會再講下我喺朋友嘅介紹、薰陶同荼毒 (!!) 之下，點樣走過 2019 年。
harmonic意思 在 [情報] 物化整理補完計畫(粒子在盒子中的運動、簡諧振子) 的推薦與評價
文件連結如下：
https://0rz.tw/yFlTl
因為時間緊迫，因此這份內容其實蠻精簡的，也算是最後一份整理
也因此可能會有些地方講得不夠清楚
如果有任何疑問可以立刻詢問或是嘗試自己想想看
如果想通了，就會是自己真正學到的=)
想不通也歡迎詢問別人或我，討論可以複習以及獲得更多新的想法
祝明天起一週大家都能安然度過
謝謝大家
馮啟瑞
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.42.116.134
※ 編輯: jui8048 來自: 114.42.116.134 (03/27 22:52)
物化二－量子化學整理與心得：粒子在盒子中的運動，簡諧振子
B98203046 化學二 馮啟瑞
前言：
考量到時間問題，於是原先該分成兩份的內容就精簡成這份了，也是這次期中考範圍預計
的最後一份，也因為我考
量到這部分需要很多推導的部分，而這部分相信各位筆記都有抄詳細，跟已經花一點時間
去理解，因此這份內容我會比
較著重在一些該注意的細節跟試圖把一些我知道的物理意義打進去，也因此會簡略不少。
另外，之前的規則可以適用在
這份整理中，不過我會減少許多廢言，多花點時間在正文上。只是我還是免不了想說一句
，Particle in a box 的中文翻譯
是參照CEIBA 的，所以對名子有疑問就請教老師吧XD。
我覺得這部分該著重在：
推導過程：如何從Schrödinger Equation 以
及邊界條件(Boundary condition)推導出粒子
在盒子中的運動(Particle in a Box)的
eigenvalues、eigenfunctions，再進一步推廣
到三維空間的情況。
解完Particle in a Box這個系統之後得到的物
理意義：包括能階、節點、各個物理量的期
望值代表的意涵、甚至是測不準原理等。
同理，簡諧振子Harmonic Oscillator 的推導
過程(這部分YCC 沒有多提，是因為用到級數解、遞
迴關係，相對複雜地多，知道推導過程的大致步
驟即可)、以及使用Ladder Operator Method
解出簡諧振子的eigenfunction、eigenvalue
也是同理，解完Harmonic Osillator 這個系統
之後得到的物理意義：包括能階、節點、各
個物理量的期望值代表的意涵、甚至是測不
準原理等。
（一）為什麼要解這兩個系統？
這部份我簡單帶過，直接舉例會好理解，在
巨觀世界中物體的基本運動模式有移動、振動、
轉動三種模式，同理，量子的世界中也有這些模
式，而描述移動的模型就是Particle in a Box、振
動則是Harmonic Oscillator、轉動則是Rigid Rotor。
透過理解那些模型，可以更進一步了解量子力
學。
（二）Particle in a One-dimensional Box
這邊先嘮叨一下，解薛丁格方程式的過程中
可以發現：解薛丁格方程式這個微分方程本身可
以得到General Solution，而導致量子力學之所以
是量子力學在於Boundary Conditions的限制下
產生，Boundary Condition 視物理的情境不同而有
所不同，也導致不同的結果，而Normalization
則決定了General solution 的係數。
解完後得到的結果是能量的量子化、以及只
有特定的eigenfunctions 才能滿足
time-independent Schrödinger Equation，可以發現
它的能量由box 的長度、particle 質量、以及所處
的能階量子數(quantum number)所影響，box 越
長、質量越大、量子數越小則能階的能量越低，
但是特別地是，不同於巨觀世界的粒子可以有總
能為零的情況，Particle in a 1-D box 的particle至
少得有一定的能量(zero-point energy)，不能是0，
這是導因於Heisenberg uncertainty principle所致，
若能量是0，由於Hamiltonian項裡面只有動能項，
即：
=
2m
+ 0 =
2m
這也意味著動量以及動量平方必須是0，那麼就
會導致動量的不準度Δp = 0，違反測不準原理。
除了最低 >不為零，代表這個particle就平均來
講有一個偏向某個方向的動量，那麼最後會發生
什麼事？會發生這個particle跑出box外的現象，
這與我們所設的邊界條件是矛盾的，當時所設為
無窮的位能井，使之完全無法脫離box。因此動
量的期望值必須為0。
（三）Particle in a Three-dimensional Box
其實大致內容跟一維很相近，不過比較不同
的是，解薛丁格方程式的過程用到了偏微分方程
中常用的分離變數法。以及Normalization
constant 有所不同，以及各個維度各有一個
quantum number 而總計有三個量子數，還有能階
會受到盒子的長寬高所影響。
其中比較特別的是，如果盒子的長寬高其中
至少有兩者是等長的，就會有簡併態(degenerate
state)的發生，簡併態是指能階相同但是系統卻是
處於不同的狀態，很常見的例子就是p 軌域，這
不多提了。
（四）Harmonic Oscillator
同樣地先嘮叨一下，不同於Particle in a Box
的情況，Harmonic oscillator 的Hamiltonian
operator是有位能項的（其實我是要暗指，算動
量平方的期望值時，不能像particle in a box般輕
鬆解決），這也導致直接用微分方程解出
eigenfunctions及eigenvalues比起Particle in a Box
是件更困難的事。所幸剛好有ladder operator
method 可以簡化許多繁雜的過程。另外之後學
到Angular Momentum時會再用到ladder
operator method，因此要好好理解它的操作方
式。
那麼我盡量快地把一些該注意的細節講過
去，先講講跟Particle in a Box 相異的部分。首先
是eigenvalue 的部分，可發現Harmonic Oscillator
的能階（energy level）是呈現等差的，即英文所
謂的equally spaced，Particle in a Box 我猜測這也跟
ladder operator 能夠applied 在H.O.有關。至於
eigenfunction 的部分，相較於Particle in a Box都
是奇函數(Odd function)而言，Harmonic Oscillator
的eigenfunction 則由Hermite Polynomial決定是
否為奇函數(Odd function)。
而另外與Particle in a Box 的不同點在於
Harmonic Oscillator一定會有穿隧效應(tunneling
effect)，tunneling effect 簡單說就是指particle有
機率會在古典力學中不可能出現的地方(classical
forbidden region )出現。題外話一下，由於波函數
在classical forbidden region是對距離呈現
exponential decay(不完整描述就是遞減很快的意
思)，而使得在掃描式電子顯微鏡STM(Scanning
Tunneling Microscopy)中探針對距離的敏感度
(sensitivity)很高，也因此提升它的解析度
(resolution)。而Particle in a Box 的話，則只要把
位能井(potential well)的位能為一個非無窮大的
定值就可以有穿隧效應。
以及最後我能想到的不同點在於：Harmonic
Oscillator 的ground state，其位置不準度跟動量
不準度的乘積剛好是測不準原理的最小值，據
YCC 的說法是因為Ground state 的eigenstate 為
simple Gaussian 造成，希望另能有高明解釋。
Harmonic Oscillator 跟Particle in a Box（這邊
都是指一維空間而言）相同之處在於，它們的節
點數跟能階的量子數成正比，動量的期望值也都
是0。而且都沒有簡併態的現象（超過一個維度
時也就都會發生簡併態）。此外，Harmonic
Oscillator 以及Particle in a Box 的eigenfunctions
都滿足正交歸一化(Orthonormal)。
至於Ladder Operator，強烈希望能熟悉它的
操作方式，不只是因為它的重要性在於可以簡化
求解、而且之後也會碰到，以及現實點的說法，
我覺得還會考的機率不小這樣子XD。不過要注意
的是，由於Ladder Operator 可以表達出x、p，也
因此所有的operators、observables都可以用
Ladder operator表達。而且Ladder operator得到
的eigenvalue為system處在哪一個state。
量子力學的公設部分，我覺得課本、筆記的內容
就足夠了，因此不多花篇幅講這部分。能量，即基態(Ground State)的能階
不為0 之外，還可以發現eigenfunction(或
eigenstate)會隨著量子數n 的值而伴隨出現n個
節點(node)，節點的意思就是該粒子出現機率為
0 的位置。而且當n 值接近無窮大的時候，其實
可以把它視為在box 中可以在任何地方發現
particle，這也就跟古典力學、巨觀世界一致了。
另外一個值得注意的部分是，這些滿足
time-independent Schrödinger Equation 的
eigenfunctions，它們都是穩定的狀態(stationary
state)，換言之，即particle的state並不會隨著
時間而改變。然而，它們的線性組合就不是
stationary state（相關推導請見筆記），這也像先
前提到的，它反映了不是所有的解都滿足
time-independent Schrödinger Equation。
而關於期望值的部分，先延續上面所說的部
分，如果將時間的函數考量進去，仍舊可以得到
能量的期望值不隨時間而改變，這代表能量守恆
的意涵在裡頭。另外可以發現不管是
eigenfunction，或者是它們的線性組合(即一般在
這個系統下可能有的wavefunction)，其動量的期
望值都為0，為什麼會如此？不妨這樣考慮看看，
如果說< PP +V= TH
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