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好書推介（十一）

Weapons of Math Destruction： How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy
by Cathy O'Neil

大家如果睇過Netflix 嘅The Social Dilemma，可能會對對畫位藍頭髮嘅女士有印象：數學家Cathy O'Neil，喺哈佛大學攞到佢嘅博士學位，曾經喺各大精英院校，包括麻省理工、哥倫比亞大學等任教，亦都係華爾街嘅Hedge Fund工作過，寫了一本書之前佢亦都做過Data Scientist。

喺次按風暴前一年，佢加入左華爾街嘅金融圈工作，見證住次按風暴發生，後來認真研究數學喺當中嘅角色。其實唔同嘅演算法同埋大數據都可以令到社會更加分化、產生更多不公義。不過一般人，尤其是對數學或者演算法認識唔多，好難會睇得出。

有冇諗過，小小嘅教育改革，可以令到一班有質素嘅老師失去份工？你住邊一區，居然可以影響到你攞唔攞到銀行貸款買樓？遲咗還卡數，甚至影響你搵唔搵到工？仲有近日比較熱門嘅話題：數學系統同大數據其實可以對個別社群產生非常之唔公平嘅對待。雖然呢一啲例子主要喺美國發生，難保有一日會影響到喺世界各地唔同嘅人。

大數據本身可以好中性；但產生同闡述嘅過程可以充滿傲慢與偏見。如果唔加以糾正，長期咁落去只會導致惡性循環；少部份人嘅生活越嚟越好，但更多嘅係本身已經處於不利位置嘅人生活只會越嚟越差。

今次想推介呢本書，正正係因為最近世界各地發生好多事。亦都好鼓勵大家睇返Netflix嘅呢一個作品；社交媒體、演算法、大數據等等，不斷改變緊我哋日常生活。若然繼續咁落去，其實已經好難再分辦真假，後患無窮。希望大家仔細去思考一下。

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感謝筠昕，提供了一個俐媽一輩子也不可能涉足的大餐—「數學專有名詞」🔢🆙
除了圖片中的老師，台大補習班•李傑數學還有很多很專業、十分願意為學生付出的老師，請大家多多支持哦🙏🏼
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➕➖昕姊+俐媽英文教室✖️➗
1️⃣ 數與式
1.有理數 rational number
2.封閉性 closure property
3.算幾不等式 Arithmetic and Geometric Mean Inequality
2️⃣ 多項式
1.除法原理 Division Principle
2.餘式定理 Remainder Thm
3.因式定理 Factor Thm
4.牛頓定理 Newton Rational Root Thm
5.插值多項式 Interpolation Polynomial
6.標準式 standard form
7.共軛複數 conjugate complex number
8.一元二次方程式 quadratic equation
9.根與係數(韋達定理) Vi`ete Thm
10.虛根定理 Complex Conjugate Root Thm
11.勘根定理 Intermediate Value Thm
12.二次函數 quadratic function
13.奇函數 odd function 偶函數 even function
14.分式不等式 fractional inequality
3️⃣ 指數對數
1.指數律 law of exponent
2.指數函數 exponential function
3.凹凸性 concavity
4.對數律 law of logarithm
5.對數函數 logarithmic function
6.真數 antilogarithm
7.尾數 mantissa
8.首數 characteristic
9.線性內插 linear interpolation
10.單利 simple interest 複利 compound interest
4️⃣ 數列級數
1.等差(A.P) Arithmetic Progression Sequence
2.等比(G.P) geometric progression or geometric sequence /geometric series
3.遞迴 recursion
4.數學歸納法 Mathematical Induction
5️⃣ 排列組合
1.樹狀圖 tree diagram
2.加法原理 addition principle
3.乘法原理 multiplication principle
4.取捨原理 inclusion and exclusion principle
5.直線排列 permutation
6.組合 combination
7.二項式定理 Binomial Theorem
6️⃣ 機率與數據分析
1.古典機率 classic probability
2.統計機率 statistic probability
3.條件機率 conditional probability
4.貝氏定理 Bayes Theorem
5.獨立事件 independent event
6.標準差 Standard Deviation
7.眾數 Mode
8.中位數 Median
9.平均數 Mean
10.線性變換 Linear Transfer
11.數據標準化 standardization
12.相關 linear correlation
13.散布圖 scatter plot
14.相關係數 correlation coefficient
15.迴歸直線 regression line
7️⃣ 三角函數trigonometric function
1.斜邊 hypotenuse
2.對邊 opposite side
3.臨邊 adjacent side
4.始邊 initial side
5.終邊 terminal side
6.同界角 coterminal angle
7.廣義角 generalized angle
8.極座標 Polar coordinates
9.正弦定律 Law of Sine
10.餘弦定律 Law of Cosine
11.和角公式 angle addition formula
謝謝筠昕，其他數學達人請接棒🏹
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#辣媽英文天后林俐carol #俐媽英文教室 #俐媽英文教室徵稿中 #mathematics #jackmath #李傑數學 #品質保證

我不太認同這種解釋收入不均的說法，幾個問題如下：

1. 對真實世界侷限條件過度簡化與忽略。

2. 錯誤的學科類比，拿「流動結構」來類比財富分配，我認為不恰當。況且流動結構本身之所以形成那種形狀的支流，也有其背後物理侷限條件影響，過去我在土木工程修過的「水文學」就專門在討論這一塊。

3. 「演員vs理髮師」之舉例也不當。文中宣稱前者職業可以縮放，後者不可，完全是悖於事實。

三流演員的收入肯定無法與國際一流美髮師相較，這個真實世界的現象就把這個理論給反駁了。

我認為比較正確的「收入不均」緣由，還是要回歸經濟學的「比較優勢定理」。

天生萬物，人人不同，也造就人人有不同的比較優勢。

而在市場經濟、裙帶資本制度或共產制度下，分別有不同的遊戲規則來分配財富。三種制度下都有人特別勝出、有人特別失敗。但某種遊戲規則下的勝出者不見得能在它種制度下同樣勝出。

因此我認為真正能說明解釋收入不均的理論，應該是從人人比較優勢不同（先天具備與後天學習），佐以遊戲規則之不同來解釋。

而我們可以確定的是：越是市場經濟導向，越有利於那些「無從攀親帶故」、「政治不正確」但「願意勤奮工作努力學習者」獲得較高報酬。

反之，越是摒棄市場制度，論資排輩、論關係、論政治正確、論門路賄絡手法等等它種競爭規則必然引進，對白手起家者越不利。

而台灣這30年來是不是從尊重市場經濟越來越往排除市場競爭的方向走？大家可以自己感受與思考。

#好文推薦 【物理看經濟：收入差距增大的必然性】

一早讀到一篇好文，作者是得到APP上的知識網紅萬維綱。

歸納起來，這篇文章提出了三個觀點：
1. 財富正比於東西的流動

2. 貧富不均是經濟發展必然的副產品

3. 不平等是自然界的本質現象

正確與否，我只能說現實狀態確實可印證。


然而，這篇文章讓我想起西薩‧希達戈在《資訊裂變》中提出的三個觀點：

1. 知識創造了想像，把想像力結晶化的結果，讓知識成為了本領。

2. 一個國家資訊的量與複雜度的，等於一個國家的經濟競爭力。（這裡的資訊，意指各種知識、技術與訊息等可連結、結晶為產品的資訊。）

3. 經濟是資訊成長的世俗展現



兩者觀點維度不同，但完全可互補，所以我在心裡私自這麼歸納：
1. 財富正比於東西的流動，流動是重點，而東西的複雜度等於資訊的複雜度，等於想像力結晶化的複雜度。

2. 而隨著複雜度增加，分配必然會傾向於效益導向，因而產生不平等。

3. 換言之，財富與經濟的增及代價，其實是資訊成長的世俗展現。



以上作為萬維綱好文的補充，於此分享，雅俗共賞。



＊＊＊


〖一個對收入差距增大的物理學解釋〗by 萬維鋼

很多人工作是為了賺錢，物理學家搞物理則幾乎都是出於興趣。而如果你對物理學感興趣，你就對很多東西都感興趣……也包括賺錢。

當然我的意思不是說物理學家琢磨自己怎麽賺錢，這個興趣是研究全社會的人都是怎麽賺錢的。傳統上賺錢的事兒都是經濟學家研究，但是有時候物理學的方法也能幫上忙。我們今天就講一個用物理學方法解釋收入差距增大這個現象的新研究。

人和人有收入差距，這個一般人都能接受，畢竟絕對的平均是不存在的，適當的收入差距還能刺激人們努力工作。但現在的問題是這個世界不但有收入差距，而且收入差距還越來越大。那這是為什麽呢？

以前普遍的解釋是富人是通過投資、用錢賺錢，這是一個正反饋的過程。但我今天要說的這個研究則說明，哪怕沒有股票之類的投資手段，所有人都靠做實業賺錢，局面也會是收入差距越來越大。這個研究就是物理學家做的。



1.財富來自流動
阿德裏安·貝揚（Adrian Bejan）是杜克大學工程物理系的教授，他是個“非典型”的物理學家，他的研究五花八門 [1]。貝揚賴以成名的工作，是他總結了一個適用於不同領域的熱力學定律，叫“構造定律（Constructal Law）” [2]。

這個定律的大概意思是說，對於任何一個存在某種“流動”的系統，比如說河流的脈絡，它的長期演化趨勢必定是要慢慢調整結構，讓這個流動越來越容易。

比如說有一條河來到了一片平原地帶，它會慢慢分叉，分出各種支流，支流還會再分支流。構造定律就是說，在河水經年累月的沖擊之下，這些支流的分布會越來越合理，讓水流越來越順暢。

（見圖一）



植物的葉脈、哺乳動物的血管，都具有這種特點。我們前面講《規模》那本書的時候說過，這其實具有分形的特點，但貝揚的關註點不是分形的結構，而是流動的順暢性。

構造定律是貝揚二十多年前就提出來了，現在已經被人接受，今年還剛剛得了一個工程力學的大獎。好，現在貝揚把構造定律的思想給用到了財富上。貝揚2017年有一篇論文 [3]，用構造定律解釋了為什麽收入差距越來越大。

財富是從哪來的呢？貝揚的洞見是財富正比於東西的流動。

比如你擁有一座礦山，這不能算你創造了財富。你得把礦石挖出來運送都別的地方去，才算是創造財富。當然這是一個簡略的模型，像房租收入之類的都沒算進去。不過這個模型已經能說明問題，比如說，統計表明，各國的 GDP，都和花費在交通運輸上的總能量成正比 ——

（見圖二）


好，現在構造定律說，經濟系統必然向越來越有利於財富流動的方向演化。這完全符合歷史數據！咱們看下面這張圖 ——

（見圖三）


這張圖上有三條曲線，從上到下，分別表現了1971年以後世界人均能源消耗、單位GDP能源消耗、和總能源消耗。
一個有意思的趨勢是明明我們創造單位GDP要消耗的能源在減少 —— 也就是我們對能源的使用是越來越有效率了 —— 但是我們使用的總能源卻還在增加。以前人們不理解這個現象，稱之為“傑文斯悖論（Jevons paradox）”。貝揚認為這個現象完全可以用構造定律解釋：能源使用效率增加是經濟系統演化、東西流動的阻礙越來越小的結果；而也恰恰是因為經濟系統在進步，總的流動反而越來越多。

用中國話說這差不多就是“要想富先修路” —— 你是通過技術進步也好、多修路也好，盡量增加商品的流動，你創造的財富就增加了。

好，現在請記住：財富正比於東西的流動。

這一點已經有宏觀經濟數字的證據。但接下來貝揚把它推廣到了微觀 —— 你控制的流量越大，你創造的財富就越多。




2.流量的分叉
想象你運送一批貨物。貨物的重量是 M，你運送的距離是 L，那麽你要花費的汽油錢，應該正比於 ML。前面我們說了財富正比於能量消耗，所以我們基本上可以說，你做這個工作的收入，正比於 ML。

（嚴格地說貨物重量越大，能源效率也越高，用大車運送十倍的貨物比用小車運送一倍的貨物省錢，所以收入應該正比於 M^(1-α)L，其中 α 代表能源利用效率，但這個細節並不重要。）

假設有一批來自哈爾濱的商品，要賣給北京的市民，而現在我們只考慮運輸。第一步是讓一個人，用火車把貨物整體從哈爾濱運到北京，這個工作的貨物重距離長，所以這個人收入是最高的。

接下來一層，我們把北京分成四個大區，讓四個人從火車站出發，把貨物分別送到四個區的分發中心。那麽顯然，這四個人的人均收入肯定就不如第一個人了。

下一層是從四個大區的分發中心把貨物運到各個商店去，這個工作的收入就更低了。

這麽一層層下去，你看，收入差距就出來了。這是一個非常粗糙的模型，沒有這個模型你也能明白人和人有收入差距。但是這個模型的好處是它能解釋為什麽收入差距會越變越大。

假設這個貨物運輸系統一共分了 k 層，每一層分為 n 份。按照河流盆地的分叉規律來說，每層支流的長度差不多是它上一層長度的一半。根據這些信息，我們就可以計算整個這個系統創造的總財富，和整個系統一共有多少人參與運輸。

具體數學細節我就不講了，對照論文推導一下其實也很簡單。我直接說結論。通過財富在這些人群中的分布，我們可以計算，從底層往上數，到底需要多少人，才能擁有全部財富的50%。結果是下面這張圖 ——

（見圖四）


縱坐標這個 β_(1/2) 代表需要底層人數的比例。比如 β = 0.8，那就是說占總人數80%的人，擁有全部財富的一半 —— 然後剩下那20%的人分享另一半。β 越高，收入差距就越大。

而這個結果表明，收入差距跟系統的總層數（k）和每一層分的份數（n）密切相關。k 和 n 越大，收入差距就越大。
那你說這能說明什麽呢？說明收入差距是由經濟發展的深度決定的。流動分叉系統越精密，收入差距就越大。

所以經濟越發達收入差距就越大，恰恰就是因為發達的經濟分了更多層，每一層分了更多份，能把商品送到每一個角落去，能給更多的人提供服務，同時也養活了更多的人。




3.評論和啟發
《石英》雜志最近報道了貝揚的這個研究 [1]，如果你只看這個報道可能還以為物理學家一舉破解了貧富差距增大這個大問題。其實咱們了解一下他這個研究的細節，貝揚用的是一個非常簡單的模型，有很多東西都沒考慮到。

比如眾所周知股票和房產是富人的重要收入來源，貝揚這個模型裏完全沒有考慮。貝揚只考慮了運輸。但是我們仔細想想，財富到底是從哪來的呢？股票和房產升值並不創造新財富，它們只是社會財富增加的一個副產品。

真正對應到財富的，也許恰恰就是把這個國家能把多少東西分發到每個人手中。就算是發達國家實體經濟占的比重下降，人們的衣食住行最終也還是對應到交通上。所以貝揚這個模型的確有道理 ——

所謂財富，就是東西的流動。

那如此說來，這就對你個人有個啟發：你擁有多少流量，就創造多少財富。

當然我可不是說人人都應該去搞互聯網業務。流量，具有通用的含義。創造財富有個網絡效應。我們看貝揚的計算結果，想要增加收入，就要增加 k 值和 n 值。

比如傳銷網絡，就特別需要增加 k 值。你有若幹個“下家”，每個下家又有自己的下家，然後最好下家的下家還有下家……這樣分層越多，你站在高層的收入就越高。

對應到合法的商業，提高 k 值差不多就相當於提高你在食物鏈上的位置。你從商店買電腦，商店從聯想進貨，聯想從英特爾買芯片，這個過程裏英特爾賺錢是最愉快的。

而在政府看來，k 值越高系統就越不平等，層層分銷不合理。所以要禁止傳銷、減少中間商，降低 k 值，讓社會更平等。

擴大收入更合理的辦法是提高 n 值。n 值增加，雖然頂層的人收入還是增加很快，但每一層的 n 個人的收入是平等的。

網絡科學有個概念叫“可縮放”，英文是 scalable。所謂可縮放，就是你這個網絡能不能方便地擴大。

比如你是個理發師，你這個工作就是不可縮放的。你每天拼命幹也只能給這麽多人理發，你的收入完全由付出的勞動決定。就算明天有一千個人要讓你給理發，你也幹不了。

但如果你是個演員，你的工作就是可縮放的。拍個電影有十萬個人看，你是付出這麽多勞動；有一千萬個人看，你還是只付出了這麽多勞動。你的勞動是固定的，收入卻可以任意增長。

其實每個行業都有一定的可縮放成分。比如汽車制造，流水線上的工人每天只能生產固定數量的汽車，他們的工作似乎是不可縮放的。但汽車制造裏有相當大的部分是研發和設計，研發和設計是可縮放的。你只要做出一份圖紙，就可以覆制任意多輛車。如果品牌、研發和設計的 n 值高，汽車公司就會獲得高收入，連帶流水線工人也能有不錯的工資。

我們可以想象，收入越高的職業，可縮放的成分就越大，在商品流動網絡上的位置就越好。程序一旦寫好就能賣很多份，程序員就應該是個高收入職業。

所以財富的本質的確是東西的流動，不同職業收入不平等符合自然規律。那你說我就是個理髮師，我能不能也獲得高收入呢？可以，你可以間接從流量中獲益 —— 比如你可以做一個專門給高收入者理發的高級理髮師。不過你最好找演員別找程序員，程序員一般不重視理髮。



參考文獻
[1] Everything, including the growing income disparity, can be explained by physics, QUARTZ, https://qz.com/957711
[2] https://mems.duke.edu/…/energy-techno…/bejan-constructal-law
[3] A. Bejan and M. R. Errera, Wealth inequality: The physics basis, Journal of Applied Physics 121, 124903 (2017).


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#物理看經濟
《資訊裂變》by 西薩‧希達戈
http://www.books.com.tw/products/0010729811

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