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【指數函數的微分？高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
.
a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71，是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念（補充教材）
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) ＝ 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 ＝ e^x
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上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎？
留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容：
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧？
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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［香港人好富貴—你身家係咩冧把？］今日今日仲講百萬富翁實在太out．所以彭博又有新搞作 （https://bloom.bg/2odR9Az）
首先一個gag，神版友（唔tag佢，雖則佢係medium作者，仲係深烤我介紹佢用。我其實好驚佢的）成廿年前已經講：Millionaire譯百萬富翁，冇問題。但根本中文係譯唔到billionaire 呢個字。億萬富翁？但billion明明係十億（即係一千個million，一後面九個零）
事實係，百萬富翁已成為笑話。一百萬港紙？首期都未夠畀。小弟都一早係百萬富翁（搞移民台灣都要百萬五港紙啦大佬）。一百萬美金？好啲，但其實應該都唔多夠退休。有數得計，好進取當你收五厘息一年，一個月三皮嘢左右，都勉勉強強咋。冇得即時拍枱起身嘅，有乜可能係「富翁」？真係老夫子咁中頭獎都返去餵猩猩，秦先生咁中頭獎仲返去拖地咩。
百萬富翁呢個詞成為笑話，又畀你見到通脹有幾緊要，所以唔投資真係死路一條。但今日重點唔係講呢個。
彭博話，millionaire 上一級就係billionaire（以下所有都講美金，除非另有注明），實在太闊。入面已經一條歧視鏈。剛好百萬嘅，真係仲要Benz for the mouth為口奔馳，中端打工仔咋，但去到幾億（several hundred million）身家嘅，仲係millionaire，未到billionaire，但肯定已係唔使做嘅富人級。
但去到billionaire，一樣都係又分好多種，又係歧視鏈。Billionaire入門嘅，十億美金身家，當然係富豪。但只係普通富豪。Jay-Z，趙薇嗰啲明星入面嘅富豪咪十億美金身家水平（當然呢啲榜多數低估，但講故唔好駁故），係富，但唔係去到流傳千古嘅水平。你去到另一端嘅，標基呀光頭佬呀，過百Billion，千億美金身家，何止富可敵國，直頭more money than god，就唔係Jay-Z，趙薇或者NBA英超球星嗰啲級數
而在低端嘅，我地又唔會叫人做thousandnaire 或者even worse，hunderdnaire．但明明正係我地好多人嘅寫照
（埃汾按：原文咁寫咋，我肯定我啲讀者唔止咁，個撚個都一年去幾次日本，食米芝蓮，電話又成皮嘢。所以你睇美國佬幾咁窮。舊文都有講，幾千銀都拎唔到出嚟呀）（http://bit.ly/2oi4ZSk）（http://bit.ly/2mDE9DU）
正如我講，用字係好講究。我到而家都認為講「年薪二十萬」十分滑稽，正如我冇可能講我間屋「佔地四百尺」，埃汾FB Page「坐擁六千粉絲」，恒指亦冇得「勁跌300點」。用字咁極端，等同廚師勁落味精，係缺乏自信嘅表現。
彭博就話，好簡單，用scientific notation。你副身家，10 to the power幾多。就係你嘅Wealth Score
由十分忘恩嘅負2，去到湯大狀最愛嘅11（如是我聞，其實我都唔知係乜），應該包晒全人類咁滯。入門嘅百萬富翁，6分。光頭佬同標基，11分，全宇宙就係佢兩個。另一極端嘅，一蚊雞美金身家嘅小朋友，咪1分。一毫子美金身家嘅（我啲勞蘇？），咪-1。去到十分忘恩嘅-2，人類極限了。再少啲？你都唔會得閒睇文。
負資產嗰啲點算？係undefined的．10嘅幾多次方都唔會變成負數（你唔知？又證明香港地講STEM真係算鳩數）。log負數計數機只會出error．《那些年》話你知唔識log 都可以好好生活下話，可能。但負資產嘅，唯有計入忘恩嘅-2級，冇計，你突破晒人類底線。
其實，講咁多嘢，好撚似開心大發現咁。我地華文傳媒一早有講啦，身家幾多位數字嘛。嘻。根本就係運媒去紐卡素，輪子再發明。所以唔好以為鬼文一定好。不過我冇去譯（算係啦），你邊有得笑。仆街，仲要畀錢彭博先有得睇架。但你就唔使畀錢。係咪好爽先。記得畀個讚同share。未like我FB Page嘅快去，等我唔好再「坐擁六千粉絲」
不過唔止係呢類士哥嘅。彭博下面個表，有啲意思。除咗睇個士哥，負由十分忘恩嘅負2，去到湯大狀最愛嘅11外，仲有係，有幾多人，例子係乜，同埋你可以負擔到乜。大約講下
忘恩嘅負2去到你個個網友最鍾意嘅正2：少過一百蚊身家。十五億人。大鑊。基本上係一無所有，貧農。或者玩到負資產嘅人。記住，你已經幸福過十五億人。咩話？你負資產？咁只有祝你好運。我知唔啱聽，但咁嘅樓市都可以負資產，其實應該真係抵撚死的
3，一千蚊身家：十七億人。已經幾好架啦。不過香港啲小朋友一部電話都唔止。代表你唔使借錢都可以應急（有幾急？一千蚊美金做到幾多嘢）。典型嘅美國租樓者就係咁。係呀。
4，一萬蚊身家：十三億人。夠買架新車（唔係法拉利啦下），如果冇讀大學嘅美國中產家庭，就係咁上下。
5，十萬身家：得返四億人。代表你可以供樓了，嘻。典型嘅？就係美國左翼（膠？）民主黨明星（都新咗好耐）AOC，Alexandria Ocasio-Cortez。當然係佢出咗國會糧之後。之前仲係冇錢交租要做侍應的。
6，百萬身家millionaire：四千萬人。典型嘅？ Boris Johnson。代表你可以在海邊買多間屋了。又， Boris Johnson都係講緊百萬美金身家咋？你睇香港人幾咁富貴。普通一個公務員退休金都有。做食環都住千幾萬樓 （http://bit.ly/2ogR3rO）
7，千萬身家：百幾萬人咋。基本上鍾意邊度買多層樓都得（但唔係山頂掛）。典型嘅，Ginni Rometty，IBM CEO．大企業CEO頂級打公仔大約就係呢啲級數。好勁嘅可以勉強突破，例如霍建寧
8，億億聲美金：五萬個。可以在大學有楝樓係你個名。典型？Rex Tillerson。美國國務卿，已被炒。ExxonMobil蓬佩奧上手。
9，十億美金，billionaire：幾千個，夠你有間大學用自己命名。但我懷疑，得咁少？例子係意大利政棍，AC米蘭前（？）班主，萬惡嘅貝魯斯科尼 Silvio Berlusconi。或者頭先上面講嘅，Jay-Z，趙薇
10，百億美金身家：百五個，全部係富豪榜上數得出嘅名人。例如真人Iron Man，Tesla 嘅Elon Musk嗰種級數。可以買隊波（唔係西甲愛斯賓奴之類啦大佬）返嚟自己玩。但其實達拉斯小牛班主（？）Mark Cuban都講緊係9分咋下。「不過幾十億美金身家」。
11，千億美金：就係兩條友，光頭佬同標基。可以上太空呀，或者消滅天花呀咁。能人所不能，神奇頂級超卓。
12？冇了。仍需努力。
留意，企業就有four comma club（http://bit.ly/2JISKXf），講過啦，one thousand 一撇，one million 兩撇，one billion三撇，one trillion市值（美金啦）咪四撇，four comma．有幾間企業先後上過去four comma club，一萬億市值。呢刻微軟同蘋果都仲係。但人，暫時冇人接近呢個four comma club。光頭佬同標基都「只係」千億美金，要多九倍十倍先去到，似乎冇乜希望，亦冇乜必要。
睇完，都冇乜得著。不過都係睇你點睇。知足嘅，咪對下睇。香港地，人工點都皮幾兩皮嘢（洗碗都有啦），儲到一萬蚊（美金啦頂）應該唔難。當然有人飯都冇得開執紙皮，但唔係你啲網友啦。咁已經至少好過地球上45億人，一大半。但我話你知你幸福過北韓啲小朋友，唔會令你對個社會少啲不滿架，對不？因為人只會同身邊嘅人比
唔知足嘅，望上去，仲有成百萬人有千萬美金身家。你估你幾時先追到？
咁你估都估到，個分佈梗係一個金字塔啦，窮人最多，底下三層幾十億人，11分嘅得兩個。而每個士哥之間，係爭10倍。對數嘛，叫咗你唔好睇咁多《那些年》。正如早排推特有人講 7.2級同8.1級地震「等級接近」，我就唯有話佢知 振幅爭差不多10倍！強度爭30倍！十年一遇同百年一萬嘅分別。學好數學好重要的說。
最後引返原文最後一句，唔譯，原汁原味，畀你嗒下
It’s a bit appalling that disparities in wealth have gotten so big that we need logarithms to describe them. But that’s the world we live in.
記住聽日準時起身返工啦
常用對數表下載：https://drive.google.com/file/d/13ZMlMFbmhpNqAFFdxTcQ8rSr6RrG6ZX6/view?usp=sharing
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學測總複習：
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
數學思考題型：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
高中數學重要觀念解析：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
指考數甲數乙總複習
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
高中數學講座：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
國中會考總複習：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
抖音精選：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
統測考前猜題：
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
則可由對數表查出log x, 其法如下：. 例：log 8.72 = .[PDF] §3−5 指數與對數的應用- 建中數學科7364 .0 log. 17 .9. 16 .9. 58 .7. 07 .1. 45 .5 x x. ，. 若a= 3. ... <看更多>
則可由對數表查出log x, 其法如下：. 例：log 8.72 = .[PDF] §3−5 指數與對數的應用- 建中數學科7364 .0 log. 17 .9. 16 .9. 58 .7. 07 .1. 45 .5 x x. ，. 若a= 3. ... <看更多>
log對數表 在 Re: [請問] 不用計算機或對數表求指數? - 看板ask - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《higger (朝鄉而行2019)》之銘言：
: 比如3^x=87
: 我們頂多知道x的整數部份介於4到5
: 更不用說把87換成更大的數字
: 如果是要用手算
: 這個算的方法是什麼?
: 國高中有教過嗎?
: 不會是十分逼近法吧?
: 謝謝
我高中還真的有教過。
首先要先死背 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 (此處的 log 以 10 為底)
然後 log 5 不必背, log 5 = log (10/2) = 1 - log 2 = 0.6990
回到題目，算指數起手式一定是兩邊取 log
log (3^x) = log 87
x*log 3 = log 87 = log 3 + log 29
x = 1 + (log 29 / log 3)
然後 log 29 是多少就卡住了對不對？但我們可以知道：
log 30 = log (2*3*5) = log 2 + log 3 + log 5 = 1.4771 (抄前面數字)
log 27 = log (3*3*3) = 3 * log 3 = 1.4313
log 29 介於 1.4313 和 1.4771 之間
x 介於 4.000 和 4.096 之間
好，忙了半天，我比你的答案準確度多了一位數，還不如手機拿出來算
針對你的問題，其實正解是計算尺
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%B0%BA
家父大學時買過一把，但等他一有錢就買了 Casio 工程計算機，供您參考。
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桃樂絲: 可是, 如果你沒有頭腦, 為什麼會說話?
稻草人: ㄝ, 我也不知... 但是有些人沒有頭腦也能說超～多話呢。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.164.195.217
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/ask/M.1557898372.A.E0F.html
所以原 PO 問的問題，是想知道這個無窮級數囉？
e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + .....
以前寫過用 C 語言和 GNU MP library 計算這個級數的程式
#1IDptFlV (C_and_CPP)
理論上可以計算到無限位數，實際上這個寫法的瓶頸卡在 RAM
我寫成 x 固定是 1 但可以簡單修改成計算任意的 x
在泰勒公式之前的對數表是用微分方程式的有限差分法求值，
它不會比上面那個泰勒公式好懂好計算
正整數指數表和小數指數表是兩回事了，兩者都有用來製作過對數表
※ 編輯: Schottky (1.164.195.217), 05/15/2019 16:09:58
... <看更多>