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【指數函數的微分？高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
.
a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71，是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念（補充教材）
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) ＝ 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 ＝ e^x
.
上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎？
留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容：
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧？
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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［繼續鞭屍］你見過 2-7 ？你講大話。四萬場都冇一場
上篇文講返熱刺2-拜仁7 嗰場波，可以睇返舊文（http://bit.ly/35gDJoH），但其實舊文係配菜，你甚至可以唔睇。呢篇先係主角，你可以完全唔使理場波發生咩事，你知道德甲嘅拜仁慕尼黑作客大炒英超熱刺７ — ２就得。而足球比數當然主隊為先，所以賽果係２ — ７。
其實我都係想講個主題，呢場波，有今生，冇來世。你真係睇過２—７？
點解咁講？因為你可以諗下。真係撫心自問諗下，唔好出術，唔好Google
你咁大個仔有冇睇過一場波係２ — ７？任何一場。過去幾十年，有冇見過咁嘅比數？你真係有？
唔好計打機呀，睇港超呀（sorry）之類。我地講，歐洲頂級（任你四大五大定六大）聯賽，包埋世界盃，歐洲國家盃，歐聯，歐霸，夠老嘅包埋以前盃賽冠軍盃。你有冇見過一場波係２ — ７？
呢個亦係名記者／作家 Michael Cox嘅問題。佢話，佢睇咗咁多年波（我其實唔知佢幾大，但斷估唔會係廿歲出頭），都冇見過一個咁嘅比數。你地有冇人真係見過２—７？
然後好多人回（證明好多盲毛），有呀，見過入8球。係，我都見過。甚至有人見過７ — ２。但，Michael Cox強調，係２ — ７。唔要多唔要少。仲要係主隊２作客７，你有冇見過？
你呢？
聽落，好似唔係咁罕見。一季英超380場波，你計五大聯賽，加埋歐聯，一季加埋近2000場，世界盃之類豪畀你。計你三十幾四十歲，睇咗廿年波，即係40,000場波起碼。冇計埋足總盃呀外圍賽嗰啲。當然你唔會睇得晒40,000場，但個universe咁大，總會有一場？
40,000場都唔開一場２—７？答案就係，一場都冇
其他人舉得出嘅例子，全部都係其他啲非頂級聯賽。勉強最尾一場叫歐聯外圍賽。但你真係睇過？
呢個先係我篇文想講嘅嘢：盲點。一般人應該估唔到，係40,000場都冇一場咁嘅波。
咁我嘅另一問題係，呢個波膽，賠率應該幾多？
實際上大家都知，呢個波膽叫做客其他，撈埋入其他嘢度。但當我有間公司，畀你買晒每一個比數，呢個２ — ７波膽，應該幾多倍？
大家都知道仲有其他嘢影響，又要睇邊邊多人買之類，博彩公司又要賺錢，又可以射盤去其他公司。但，在好理想嘅情況下，即係等於讀物理嘅無磨擦力下，假設博彩公司冇成本又唔使賺錢下，個賠率，至少初盤，咪反映返贏嘅機會
講再簡單啲，你擲一粒骰仔，買6，應該賠6倍，因為係6份1機會（有啲煩膠堅持六面唔同重量，慢慢玩。正如公字都唔係一半半，有一邊重啲）。買出雙數，應該賠2倍，因為2份1機會。（不過玩魚蝦蟹唔同，就算HOUSE RULE都係，記住係做莊必勝的，下年記住爭住做，我會開篇新文講點解）
等於你去馬會買入球單雙數，都係2倍左右。原因亦係因為差不多2份1機會。不過留意，首先馬會要賺錢，所以兩個賠率都低過2倍。第二，雙數賠率係低過單數，因為入球雙數係開得多過單數。都好易理解，因為和波必然係雙數。
同埋道理，呢個２ — ７波膽，其實應該係40,000倍以上的。因為真係40,000場冇見過 ，雖然我唔知會唔會之後阿積士就作客大炒華倫西亞７ — ２（結果冇）。同埋唔好忘記，２ — ７波膽，40,000場都冇一次。你仲要買佢出現在熱刺身上，歐聯亞軍噃大佬。all due respect，60,000倍唔過份（當然，又要計返對手係拜仁）。即係你話巴西主辦世界盃在主場畀人炒１—７咁過份喎（而其實，1-7嘅波膽常見好多)。
但，我估你去叫人估，就一定唔會估到咁罕有。可能幾百倍已經覺得好抵。而忽略咗你買緊係幾萬場都冇出現過嘅嘢。
點解有呢種誤判？唔係個別人戇鳩或乜，呢啲又係同人性有關。
簡單嚟講，呢啲就係Fat Tail Risk。唔想乜都又講黑天鵝，但人（人類in general）係潛意識，系統性地低估咗極端事件嘅可能性。呢個同本能天性有關，亦都同我地一路嘅學術發展有關（http://bit.ly/2OoBPfB）
例如股票，或者股票指數（不過係一堆股票啫）。舊文有啲學術，但寫過，N咁多嘅股票數學模型，其實都係幾化學，基於常態分佈，Normal Distribution，bell shaped 。（http://bit.ly/2otY8p9）
你會話，股價係撚Normal Distribution。當然唔係，有樣嘢叫通脹，股價亦唔會變到負數。係話股票嘅回報係Normal Distribution，所以股價係log normal distribution （所以呢，識得log，生活係會好啲的）
有啲深，但非數撚都聽過Black Scholes Formula，幫你啲期權定價。呢啲公式，以及眾多金融數學嘅公式，都係基於log normal distribution。
原因？好簡單，靚，易計。缺點？靚咪有缺憾，咁話得model就梗係唔係完全同現實一樣。但Normal Distribution太深入民心，太靚，又易明，數學上亦都易處理。所以好多東西用咗佢你都唔知，潛移默化晒．
（反正你都睇唔到條式，但想講呢張10蚊德國馬克，上面正係印住Normal Distribution條線，條式，同埋條友。英國教授話德國佬真係堅，印條式在銀紙上面）（彩蛋留意埋條友，數學王子高斯，個名，係Gauß，德文獨有嘅字母，羅馬字母會變成ss）
咁會點影響我地去睇呢個世界？其中一個問題就係，fat tail，長尾。實證見到，股災，係比log normal distribution預計嘅，更常見。
咁所以，就有啲天才（真天才），可以借呢啲嘢搵食。Black Scholes Formula去計期權價，一般都OK- until not OK．每逢大升大跌，就會有錯價，就可以搵到食。
咁又所以，有電腦病毒就有防毒軟件（其實係掉轉），有fat tail risk，就會有人去特登人手去修正。Extreme Value Theory是也。特登研究啲百年一遇千年一遇嘅shock。
當年我讀個濕鳩Master都有玩呢啲嘢（我其實都有上過下堂的），導師就有講，拿，荷蘭在呢方面係先驅呀。點解？荷蘭多flooding咯。股災咪等於氾濫，你咪要計下個圍牆各樣嘢起幾多，要防幾多年一遇咯。太低嘅會出事，但太高又不切實際又嘥料。
順帶一提，該人正係荷蘭佬，而我仲同佢在Warwick一齊睇2002嘅世界盃外圍賽。拿，呢場波經典呀，正係雲戈爾教荷蘭，作客愛爾蘭，「四鬼拍門」四前鋒嗰場（小測驗：邊四鬼？）。
雲戈爾一貫佢串爆本色，話隊波勁撚到愛爾蘭球迷都想佢地晉級。結果愛爾蘭踢少個都贏，仲將荷蘭提前兩輪踢出局，無緣世界盃。荷蘭佬就同我講他朝君體也相同 ，今晚就到德國 。果然荷蘭人最想德國死— 結果嗰晚就到德國主場畀英格蘭大炒5–1！你可以查返，係同一日的。但放心，德國都仲入到決賽周，拎亞軍添，後話。
都係想講嘅係，搵食，就一定睇呢啲rare event．問球迷問賭仔，估賠率（其實大約即係估機會率），有經驗嘅去估，唔會爭好遠。例如佢唔會估英格蘭捧下屆世界盃係50倍，亦唔會估1.5倍。但，叫估2–7波膽，就可以爭好遠。可能有人以為幾百倍，比到盡兩千倍 — 但其實，40,000倍都嫌少
當然同講股災有啲唔同。股災就係講極端畀你想像中常見，買２—７就係極端畀你想像中少見—但結論都係你輸錢。所以嚴格嚟講，２—７係thin tail（或者，肥瘦，只係視乎你係莊定閒）
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5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
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Ａ ── IAL Mechanics 3
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