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【頻道會員影片：張旭講複變｜微分】
上次一口氣整理了 6 集複數平面上的拓樸
這次一口氣整理了 4 集複數函數的微分
這個系列是根據 Stewart & Tall 編寫的 Complex Analysis 製作的講解影片
適合數學系的學生觀看
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【搬運計畫：連續篇｜重點二：連續函數的運算定理｜觀念講解｜張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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在了解連續函數的定義以後
接下來我們說明連續函數在四則運算與合成運算之下仍舊保持連續的特性
並透過許多例題強化連續函數的觀念
.
想一次看完所有影片
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各位午安
今天繼續跟大家分享連續函數的運算定理
我在教數學時的一個哲學
就是通常在給完定義以後
下一步是證明有哪些最基本的物件是滿足定義的
然後再講這些滿足定義的物件在運算的作用下會有怎樣的變化
再來才是性質、定理與應用
之所以這樣順序
是因為覺得這樣比較有系統一點
而且這也是數學所給我的一輩子的習慣
所以在講完連續函數的定義
並說明一般基本函數在其定義域上都是連續函數以後
(某些三角函數除外)
接下來當然就是連續函數的運算定理了
這個主題我放了不少例題
如果有興趣的話不妨點進來看一看吧～
然後一樣的
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也歡迎幫我分享出去給更多正在學習微積分的同學們
謝謝！
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這是萊恩老師「基礎數學系列」線上課程的第四集，
接下來開始進入函數篇，會開始有比較多的符號。
雖然高中課程當中已經有介紹函數，但我希望講得更完整～
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如果有任何問題或者想看的主題，歡迎在下方留言讓我知道！
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🦁萊恩老師的基礎數學系列影片：
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🎬萊恩老師個人頻道：
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🚀本次影片主題：
00:00 [0]Intro
01:06 [1]函數的定義
08:24 [2]常見的函數
15:28 [3]函數的特殊性質
23:32 [4]合成函數
【摘要】
本影片回歸學習微分的原點，為何需要微分；在數學上，我們因為需要求函數圖形在某點的切線，需要切線斜率，所以發展微分定義與工具，而在學習完這些基本工具以後，我們回歸最初的起點，利用這些工具來解決各式各樣的切線問題
【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知
【講義】
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【習題】
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【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
重點一：導數與微分的概念 (https://youtu.be/G9feQfwpdKU)
重點二：微分運算律 (https://youtu.be/SuAJkre9lh8)
重點三：微分合成律 (連鎖律) (https://youtu.be/tKrx2zqdSug)
重點四：反三角函數的導函數 (https://youtu.be/ffbAGtInqZg)
重點五：微分表 (僅講義，無影片)
重點六：萊布尼茲微分符號與隱函數微分法 (https://youtu.be/vP77TX3gzSg)
重點七：微分工具整合
├ 精選範例 7-1 (https://youtu.be/g4IQMtV4lYA)
├ 精選範例 7-2 (https://youtu.be/ywzWD1I8gd4)
├ 精選範例 7-3 (https://youtu.be/iodMYj5hgTA)
├ 精選範例 7-4 (https://youtu.be/8FSrlga-cKE)
└ 精選範例 7-5 (https://youtu.be/znjo3uZ-roQ)
重點八：切線專論 👈 目前在這裡
├ 精選範例 8-1 (https://youtu.be/dSwgJQ5nZLE)
├ 精選範例 8-2 (https://youtu.be/_4gtODINypU)
├ 精選範例 8-3 (https://youtu.be/awyFW5QZPes)
├ 精選範例 8-4 (https://youtu.be/LSTgLk0UUJA)
├ 精選範例 8-5 (https://youtu.be/eY65HUBHuYY)
└ 精選範例 8-6 (https://youtu.be/C47XzwlNVU4)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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【摘要】
這題也是回歸微分定義的一題，雖然單純，但又複習了一下求極限的經典題型
【勘誤】
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重點五：微分表 (僅講義，無影片)
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合成函數定義 在 Re: [中學] 合成函數- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《chpen (元)》之銘言：
: 請問為何 y=sin(2x) , y=sin(x^2) 是合成函數呢？
: 為何微分要用連鎖律去計算呢 ? 謝謝。
你的問題應該是 不用連鎖律 算的起來嗎??
答案是可以的
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我們的微積分課本很明確的說出
f'(x)= lim (f(x+h)-f(x)) / h
h→0
當我們求sinx的微分時 我們是把f(x)=sinx 帶進去 正好得到f'(x)=cosx
我們才會說sinx的微分等於cosx
===================================================================
至於sin(2x)會不會是cos(2x)呢?
那你就要帶進去上面那條 最原本微分的定義去計算 (事實上是不對的)
而且非常不好算(事實上也不會很難算啦....)
sin(2x)的微分 = lim (sin(2(x+h))-sin2x) / h (依照定義寫出來的)
h→0
= lim (sin(2x)cos(2h)+cos(2x)sin(2h)-sin(2x)) / h (和角公式)
h→0
= lim sin(2x) * (1-cos(2h))/h +cos(2x) * sin(2h)/h
h→0
網路上有很多資料 可以說明 sin(h)/h=1 (1-cosh)/h=0 當h→0時
https://www.youtube.com/watch?v=2Fo2dSDiZJI
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110130195223AALXMbI
用同樣的方法 會得到 sin(2h)/h=2 (1-cos(2h))/h=0
帶回去 就會得到 sin(2x)的微分=2cos(2x)
所以不用連鎖率是算的出來的
=====================================================
但是數學家就問你了
當我遇到sin(g(x))
想求他的微分 難道都要從 最基本的定義開始算嗎
答案是 不要 因為這樣好累
======================================================
所以我們就發展出連鎖律來解決 sin(g(x))的問題
舉例來說 我想求 sin(x^2)的微分 (這時候可以把x^2看成g(x))
我就用連鎖律
連鎖律告訴我們 df df dt
－ = －*－
dx dt dx
此時我們發現當我令 f(x)=sin(x^2)
t(x)=x^2
帶進去會得到 df/dx = [ d(sint) / dt * d(x^2) /dx ]
= cost * 2x
= 2x*cos(2x) (t是我假設的 所以最後我全部都要變x)
btw 當我對x的微分 那我被微分的函數 必須寫成x的函數才能微分
當我對t的微分 那我被微分的函數 必須寫成t的函數才能微分
所以我們發現用連鎖律才處理這樣的函數 會比從定義來作來的快
所以可不可以不用連鎖律計算呢？
答案是可以的 只是會很麻煩 有些醜ㄧ點的函數甚至更麻煩
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至於你在推文中的
chpen :請問 f(x)=sin(x) g(x)=x 我可以說sin(x)是合成函數? 06/24 20:36
當然可以囉！！！
按照合成函數的定義
f(g(x))就是合成函數 而你f(x)=sin(x) g(x)=x的假設
正好也說明了sinx可以寫成＂合成函數的形式＂
（所以你應該會發現任何函數都可以寫成＂合成函數的形式＂）
所以才會有板友說廣義上來說 是
我們發展出合成函數的初衷是因為要處理一些比較困難的函數
而不是要回頭針對一些簡單的函數說：你是合成函數嗎？
事實上直接說 ＸＸＸＸ是合成函數嗎 這樣的語法對初學者來說滿突兀的
所以你才會有這個問題
如果換個說法說法 ＸＸＸＸＸ＂可以寫成合成函數的形式＂
感覺你應該比較能接受吧？
=======================================================================
以上希望有回答到你的問題
如果有問題或著我有寫錯的可以ㄧ起討論
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.17.164.92
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403657592.A.393.html
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 06/25/2014 08:53:58
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 06/25/2014 08:55:24
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