#八百回合經濟談
〔 #要相信直覺還是機率？ #願機會永遠對你有利 〕
▌願機會永遠對你有利！
假設超商推出了一個抽抽樂小遊戲，獎品是當次消費免費。
在結帳的時候，螢幕會出現A、B、C三個選項，只有其中一個是免費，其他兩個都是謝謝惠顧請支付全額。
當壯士選了A，螢幕會告訴你B、C選項中為謝謝惠顧的其中一個。此時，你可以決定要不要更換選項。
那麼今天壯士選了某個選項，螢幕顯示另一個是謝謝惠顧，你會換成第三個選項嗎？
▌經典的三囚問題
在告訴壯士們前述情境的解答之前，我們先介紹一下這個經典的三囚問題！
在古代的監獄裡有甲、乙、丙三個死刑犯，新皇帝在他上任那天打算特赦其中一位。
他把決定要特赦的那個人告訴獄卒，並交代他不可以明確地告訴犯人他到底會不會被特赦，否則第一個被解決的就會是獄卒本人。
甲聽到這個消息，很興奮地跑去問獄卒他有沒有被特赦，獄卒只回答：「乙沒有。」
聽完這個消息之後甲非常開心，他覺得他活下來的機率從1/3變成了1/2。
當他跑去跟隔壁房超聰明的政治犯丁說這件事之後，丁卻潑他冷水說：「沒有哦，你還是只有1/3的機會。」
▌到底誰對誰錯？
甲這時候就很焦慮，獄卒不會說謊的呀，丁又那麼聰明不會騙他，到底發生什麼事？
這時候可以確定的是：乙沒有被特赦。而在這件事的前提之下，會有兩種情況：
甲真的被赦免了，獄卒在乙丙之間隨便挑一個講，而這個情況出現的機率是1/3 X 1/2 = 1/6。
甲沒有被赦免，獄卒這時候不能說丙被赦免了，因此沒得選只能說乙沒有，這個情況出現的機率是1/3 X 1 = 1/3。
聰明的壯士就可以發現，這時候甲確實被赦免的機率跟沒有被赦免的機率的比例是1 : 2，所以甲被赦免的機率其實就是1/3！跟甲的直覺完全不一樣！
▌蒙提霍爾問題
回到最一開始超商的情況，假設A是免費，B和C是謝謝惠顧。
如果沒有換的話，表示說螢幕有沒有顯示其實沒差，一開始就選中免費的機率是1/3。
如果換了的話，會有三種情況：
1️⃣換失敗，表示原本就選中A
2️⃣換成功，因為原本選B，電腦螢幕只能顯示C是謝謝惠顧。
3️⃣換成功，因為原本選C，電腦螢幕只能顯示B是謝謝惠顧。
所以我們可以得知，更換選項免費的機會是2/3，而沒有換免費的機會是1/3，更換選項這個非直覺的做法居然可以提升中獎機會！
▌小結
今天向壯士們介紹賽局理論中很有趣的蒙提霍爾問題，是來自美國電視節目的遊戲呦！
以後做決定的時候不妨多想一想，看看你會選擇相信直覺還是機率呢？
✨不要滑掉！後面還有一個小彩蛋送給大家！✨
▌睡美人問題
睡美人會在星期天晚上睡著，而她在睡前會被告知說：她睡著之後會由硬幣來決定要在星期一還是星期二叫她起床。
如果是正面，就只會在星期一叫她；如果是反面，則兩天都會叫她。
但不管怎樣，她在睡前都會喝下孟婆湯，把所有記憶清除。
請問壯士們，睡美人醒來的時候她覺得硬幣是正面的可能性有多大？在底下留言告訴我們你的答案🥰🥰
蒙提霍爾問題機率 在 Re: [討論] 三門問題- 看板logic - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
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蒙提霍爾問題
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蒙提霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題或三門問題（英文：Monty Hall problem），是一
個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目 Let's Make a Deal。
問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。
這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選
中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參
賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一
扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題
是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件的話，
答案是會—換門的話，贏得汽車的機會率是 2/3。
這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分
違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。
問題與解答
問題
以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述，來自 Craig F. Whitaker 於1990年寄給《
展示雜誌》（Parade Magazine）瑪莉蓮·莎凡（Marilyn vos Savant）專欄的信件：
假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有
一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門
後面有甚麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問
你：「你想選擇二號門嗎？」轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？
以上敘述是對 Steve Selvin 於1975年2月寄給 American Statistician 雜誌的敘述
的改編版本。如上文所述，蒙提霍爾問題是遊戲節目環節的一個引申；蒙提·霍爾在
節目中的確會開啟一扇錯誤的門，以增加刺激感，但不會容許玩者更改他們的選擇。
如蒙提‧霍爾寄給 Selvin 的信中所寫：
如果你上過我的節目的話，你會覺得遊戲很快—選定以後就沒有交換的機會。
—(letsmakeadeal.com)
Selvin 在隨後寄給 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了「蒙
提霍爾問題」這個名稱。
一個實質上完全相同的問題於1959年以「三囚犯問題」（three prisoners problem）
的形式出現在馬丁‧加德納的《數學遊戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程敘述得十
分明確，避免了《展示雜誌》版本裏隱含的前提條件。
這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的
Calcul des probabilités 一書中。 在這本書中，這條問題被稱為「貝特朗箱子悖
論」（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個
問題的一種不含糊的陳述︰
* 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麼。
* 主持人知道每扇門後面有什麼。
* 主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
* 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
o 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
o 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有
山羊的門。
* 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
=====
（以上為問題完整的陳述，是達到 2/3 答案的重要前提）
=====
轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？
解答
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車
的機會將會加倍。
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰
* 參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
* 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
* 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者
透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以
透過轉換選擇而贏的機率是2/3。
如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽
者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主
持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會
是 1/2。
另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的
門，因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一
隻羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏
得汽車的機率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的機率一樣。
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