[想攝影145] 細說分鏡 Vol.22
🎥 影片時間連結:https://youtu.be/3XpWY8Xbe5U?t=316
🖍我的課程,每一堂課的設計
🖍並沒有華麗的外在標題
🖍既不追求速成、速效
🖍也無法讓你覺得大開眼界、值回票價
「老師,課程快結束了,你有開進階課嗎?」這問題這幾年教完基礎課,我一直被問到的問題,一開始是沒有什麼進階課程,但經過數次的課程更新,上課速度放得慢一點,增加更多說明與例子,再把一些我覺得「真的對學生稍難」的課程,另外獨立出來,我的入門課程,從 2012 年初的 6 堂課,到現在共有 12 堂,再另還有 6 堂進階課,所以這個問題答案是「有的」
🟥課程設計想法不同
「蛤? 你單就對焦、光圈,就花 2 堂課,4 小時來教哦?」 別人一節課不但都講完,也把快門、ISO 等等全都講完了,為什麼你要花這麼多時間來講?
嗯,雖然沒有上過別的基本攝影課,但有參考別人的課程大綱、講義,如果真的要我一堂課講完曝光三元素 – 快門、光圈與感光度,我當然可以,甚至快的話,可以在 10 分鐘全部講完,有什麼難的? 但為何我不這麼做? 單單「對焦」我就可以講近 2 個小時,因為背後對於「整個所有課程設計想法」是有很大的不同。
前面幾篇文章,約略談到「構圖」對我的意義,也提及到「構圖技巧」與「構圖」的關係,但有一點是沒有提到的,當要開始「構圖」,也就是要說一個故事之前,我們該如何進行第一步 – 對焦,先將一張照片主角放進去,透過對焦,讓主角更加清楚,讓觀眾一眼就看得出「誰,是這張照片該看的」,不用其它的言語輔助,對焦就能達到這一點。
這樣就要花 2 個小時去講嗎? 這當然不只如此,要簡單認識相機、鏡頭結構、如何達成對焦、對焦在不同處,清楚的「主角」不同,背後隱含的意義有什麼差別? 又或著問最根本的問題 「我們幹嘛要對焦」,一張照片可不可以不要對焦? 如果要對焦的話,在實際拍攝流程,該放在一開始? 還是邊構圖邊對焦? 構好圖再對焦可不可以?
更常看到的,很多初學者根本「完全不在意對焦」,無論是手動、自動對焦、對焦的形式,一點也不去管,彷彿「對焦」這件事,在他拍照過程完全消失,只管照片裡頭元素的擺放、呈現形式,遇上更誇張的是,有些初學者拍了一整天,相機一直切換至「MF 手動對焦」都不去在意。
🔹這些問題在這幾年都會被台下同學問到,進而重新調整講義,希望在同學舉手發問時,不是後頭的講義有準備到答案,不然就是等著同學提問,好讓我進一步來談談「對焦」更重要的意義 – 一張照片的故事、靈魂就從「對焦 – 主角」展開,一個故事,沒有主角,自然就沒有下文,更難去構圖,甚至就算拍完照片,這張照片也說不出個故事,也更無法呈現你與這張照片的「連結、關係」也答不出所以然。🔹
🟥談談故事的「主角」
.「即將上映的電影「007:生死交戰」終於要上映了」
.「電影 “魔戒” 若是一句話講完,就是一個人,千辛萬苦把戒子帶到大老遠的地方,把它熔掉的故事」
.「ㄟㄟㄟ,聽說 A 跟 B 他們有點曖昧,每天中午經常一起下樓買飯,他們會不會是情侶啊」
.「我聽說隔壁東西要漲價,這樣子以後我就可能不去吃了」
.「今年第 3 號颱風 – 櫻花颱風已經成形,位於我們東南方海面 1500 公里…」
任何一篇故事、小說、電影、戲劇、舞台劇、歌舞劇,還是我們市井小民日常生活閒談、八掛,或是電視新聞,甚至是氣象預報,無論時間長度、字數多少,以上每一種「故事」裡頭都隱含著我們討論的焦點 – 主角,在裡頭,整個故事才能繼續往下推展。
如果你打開電視,隨意看著一部播到一半的電影,你該如何判斷出誰是這部電影的主角?
「鏡頭最多的那一位」(這一定是)
「對話最多的」 (這通常也是)
「最帥的、最美的」 (大多都是)
「正義的一邊」 (通常)
「主角,通常不會死」,這是最常聽到的說法,總是死裡逃生,槍林彈雨總是沒任何一發子彈打中他,就算打中了也不會致命,總是在身體邊邊角角不礙事的角落,就算命中要害,沒事的,很快救援就來,沒事沒事,但也是有主角最後真的死去的故事,最有名的莫過就是「鐵達尼號」,裡頭主角「傑克」在全長近 3 小時的電影,最後十幾分鐘才沉入冰凍的海裡。
若是一部「沒有主角的電影」,主角在電影播放第一分鐘被賜死了、消失了,那故事還能如何推展下去呢? 即使主角真的第一分鐘就「消失了」,那應該也是採用「倒敘法」方式訴說後頭的故事,若整個電影沒了主角,自然就沒有意義,更不會被拍攝出來。
🟥對焦與主角
🔹電影,某程度可以說是「連續不停播放的照片」,在電影播放時,你按下「暫停鍵」,不就等於是一張「照片」了嗎? 🔹
無論在何時暫停,每一秒的鏡頭,都是導演與剪接精心設計的「分鏡」,想傳達一些概念在裡頭,讓故事合理、節奏流暢、或是輔助說明,沒有一個分鏡浪費時間,若是以奧斯卡眾多獎項中「最佳剪輯獎」或許可以說明,好的剪輯可以讓一部原有的故事更加出色,既然可此,無論電影播放到哪,任何一刻按下暫停所呈現的畫面,我們都可視為充滿「故事性」的照片。
🔹我們並不是拍電影,也不是微電影、短片,我們拍的是「靜態攝影」,相對就簡單多了,只需要拍攝「一張照片」就好,並且為了要訴說這張照片的故事,以及背後的「創作動機」,我們得要好好朝著這目標,在眼前的景像,眾多的事物中「尋找出主角」,並且搭配「構圖技巧」,好讓一張照片完成後,有著你想說的故事,有著這張照片代表的意義在裡頭。🔹
當在說明這張照片故事,必然說說創作動機,而「為何這個放這裡、為何比例是如此、為何曝光如此呈現」這些都構圖技巧,最後你仍需要說明這張照片,所要傳達的「故事」,故事自然是從主角開始展開,那麼「對焦」這件事情,必定為選定一張照片的「主角」,所有的故事都從主角開始展開,自然是故事的重心。
🔹照片的「重心」,並不是視覺上的重心,而是所有這張照片存在目的,就是為了「他」才開始一連串拍攝工作的準備、路途的跋涉,全都是為了「他」,照片才有存在,才有了背後的故事,又或著是說,這張照片就是為了證明事件的存在、證明你的心中的追求,又進一步可以說,在眾多你所拍照的照片,背後隱藏的主角,其實就是「你自己」。🔹
「好的導演,會從電影最後一幕開始推起整個故事」,當電影第一秒開始,所有的故事鋪陳、轉折、悲歡離合,就是為了最後一幕所準備,隨著電影謝幕升起才算是最後的 ENDING 。
我覺得這觀念跟「攝影過程」蠻像的,無論拍攝一張照片中間歷經多少曲折、起伏,觀眾所看到的「就是成果而已」,事前所有的準備,包含每個攝影工具的準備、行程規畫、拍攝技巧的磨練,不就是為了「最後的照片」存在嗎? 這所有的過程就是為了最後一幕能夠完美誕生 – 也就是這張照片,從這個角度去想你一張感動自己的照片,是不是讓你有著蠢蠢欲動的念頭,也來想試著動動筆、動動口,來為這些作品說說背後的故事,其實也就是交代與分享你自己的故事。
🟥HOW 很重要
但更重要的是「WHY」,我認為「為什麼 WHY」比「怎麼做 HOW」來得先、來得重要,也許這跟我從小學習的個性有關,我總是希望知道「為什麼這門課是必修」,而想著不是「如何把這門課學得好」。
讓我想到求學時期的故事,面對一題數學問題,不懂當然問懂得同學,他們給我的感覺通常是不假思索的說「就帶 XX 公式就好了啊」,心裡不免「蛤,你們都這樣子死記哦? 都不去想為什麼一定要這麼做嗎?」這種感覺,但最後到底誰對? 當然他們是對的,誰對或錯又該如何判別? 看誰考高分、誰過關、誰被當,一翻兩瞪眼,沒有好爭論的。
偏偏我又是理組的,計算數字哪怕差個 0.01 都是錯的,用誇張一點的比喻的話,這個 0.01 的誤差可能會炸掉一間工廠,或是燒掉一隻手機,確實數學「計算得精準」是很重要的,至於為什麼要用 XX 公式? 在那時候對我「並不重要」,若我真想證明可以不要用 XX 公式也能計算出來,可能要到研究所,或是更高深的學位,這問題才比較適合被提出來。
我這「WHY 比 HOW 看得更重的個性」,不大適合讀理組,轉到社會學門就太適合了,社會學門面對問題,通常比較不給定一個確定的答案,比較傾向思考答案之外,有沒有其它的可能,只要你說得通,理論帶進來解釋得好,就不像是理組考題「不是對就是錯」,而社會組的答案,比較像是「哪個理論解釋得更好、更適合」,這樣子我反而駕輕就熟,讀得自在也符合我的個性。
🟥課程設計精神
🔹若是在戶外拍攝時,你我只是片面之緣,問我「拍的太亮怎麼調整」,我用「十秒鐘的時間」告訴你如何操作「曝光補償」來達到你想要的;但如果是在課堂上,要清楚了解曝光補償,我得要花 4 小時時間先講講「測光」與「測光公式」,再花 2 小時講講曝光補償原理,以及實際相機操作過程學習,懂了以後你才了解「曝光補償」那不到 10 秒的動作,原來背後是 6 小時的學習,是這麼多要學的概念。🔹
你想要哪一種? 不同的學生要的不同,攝影教學快 10 年,遇上各式各樣、老的少的、男的女的各種形形色色的學生,總是得因應不同學生上課目的,選擇一種適合的教法來迎合學生才行,現在,不如也想想這問題「你願意花上近 6 小時間來學習 10 秒鐘就能操作完的動作」還是「我只要知道怎麼做,背後為什麼我不想知道」。
🔹課程設計大綱越是看起來精彩、豐富多元,當然在競爭的市場上,更容易得到學生的青睞,這一點我並不否認,我的課程大綱,無法帶著你爬上山、跳下海,讓你知天文通地理,因為每一堂課的內容,我總是希望帶著更多的 WHY 在裡頭,讓你在懂得 HOW 之前,是了解自己為何要「這麼做」,當你更了解每一個動作背後基礎是這麼一步步推展而來,這並不是走冤枉路,而是為你打下更多未來創作的基礎,也許課程結束短暫時間你無法體會,但相信若你繼續朝著更深、更多元的攝影主題鑽研,你所花的時間與精力,在那時會漸漸現出來,這點是我設計課程的精神,也正我對攝影教學的堅持的地方。🔹
你說若採用這樣子精神,設計每一課、每一個觀念、每一個章節、每一個投影片,直到每一句話,有辦法在短短的時間,教會你更多東西嗎? 我,是做不到的;但如果我們講求「速效」,簡單了解基本做法與原理,然後帶著設備直接開始拍攝,遇到不懂再回頭來討論問題,這樣子不好嗎?
也沒有什麼不好,這點在前幾篇文章我也提到過,因為學習攝影不是個「單程車票」,總是在「基礎 – 創作」之間不斷的來回,從偉大的作品中發現精華點,再回頭看看自己哪裡不足,再做更多嚐試重新創作,但如果你的基礎不夠好,是無法識讀那些讓人感動作品背後的心血如何達成,反之若你不適當踩個煞車停下來思考自己的缺失檢討,要再突破自己的界限也是有限。
先準備齊全後再出發、再回頭檢討? 還是先有了簡單的認識,先出發再說,遇到困難再回頭,哪一種教學課程設計比較適合? 沒有哪個比較好,只是哪種方法適合你,而我的課程設計採取「前者」,希望你準備更齊全後再出發,失敗了、遇上問題了再回頭檢討、再出發,同時我的求學過程那些挫折經驗,以及轉換不同領域後學習的經驗,讓我強調「為什麼 WHY」,比起告訴你「如何做 HOW」來得更重要,不希望你一開始朝著飛翔前進,只希望在往前踏第一步前,先試著問自己「為什麼」,而不是「如何走得好」。
🟥蘇格拉底之死
我常問學生「哲學家蘇格拉底是怎麼死的?」,大多數學生認為「人,總是一死」帶過這問題,知道故事的學生會說是被賜毒酒死的,但我總是開玩笑說「他是被人 “討厭” 死的」。
🔹為何這麼說? 蘇格拉底總是到處問人「為什麼、為什麼」,最敏感也不能問的問題 – 為什麼你要信上帝? 上帝是誰? 真的存在嗎? 信他有什麼好處? 這些不該問「為什麼」的問題惹怒了掌權的人,覺得他是個挑戰威權的無神論者,要他做二個選擇,要嘛認錯相信上帝,不嘛就喝下毒酒去見上帝,此時我相信蘇格拉底喝下毒酒後可能心裡還在想「喝下毒酒,人為什麼會死」吧,我猜。🔹
我不敢拿我自己跟蘇格拉底相比,我也不想淪落到蘇格拉底最後的結局,在面對有限的時間,以及市場彼此競爭之下,儘管我多麼想在一個觀念上做更多的「為什麼的討論」,但學生總是需要更多的實作,以應付未來,或是即將到來的問題 – 我需要學會攝影,來做一點什麼事情,而近期的課程,也試著平衡「WHY 與 HOW 」的比例,這才是我更該做的。
所以我自認我的課程大綱,沒有華麗的外在標題,本身設計也不追求速成速效,更無法讓學生能有一種「哇,一門課可以學到超多東西」的感覺,這些都是我自認的缺點,也只有認同我的想法的學生,願意嚐試上上我的課程,我都非常感激。
也有學生、朋友建議我「既然課程內容這麼多,再拆細一點,多元一點」讓不同需求的學生,選擇更多,如果一味追求「開課、賺錢」,似乎又與我的個性相違背,但這又是另外一個可以好好開一篇數千字的文章來分享,這裡,就讓我們跳過吧。
或許目前開設的線上課程 – 終生閱讀的線上課,較能解決這個問題,若想學得快一點,每天都看一集,並且用 1.5 倍速度播放,觀念學到了,不懂再重頭看;若想要慢慢看的也沒關係,一周看一集,一集看二次都沒關係,享受每天都進步一點的感覺。
再應因疫情下的困境,所以,這樣子的線上課程就這麼「上線」。
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【下一期進階班已開始收生】
由於更新進階班每次都好大工程,因此不會經常開辦,而一開就可能會開兩班(剛剛上完的第3、4期,都是一次過開兩班,更新資料及加內容,花了1、2個月時間)。以下係下一期進階班時間(第5期)現正式接受報名。2022年,第二季。
第一課:必需掌握的經濟與行業關鍵
第二課:企業價值與高息股投資術
第三課:活用財務比率尋寶術
第四課:年報拆解技巧進階
第五課:尋找資產隱藏型企業秘技
第六課:利用平貴把握最佳買賣時機
第七課:必學18種企業估值模式
第八課:實用大行報告尋寶術
第九課:10倍股選股術(上)
第十課:10倍股選股術(下)
【倍升股進階課程】(共30小時)(共10堂)
日期:2022年5月20, 27日
及6月10, 17, 24日
及7月8, 15, 22, 29日
及8月5日(逢星期五)
時間:1900-2200
地點:灣仔
費用:$18800(新學員)
費用:$12800(讀過「龔成投資倍升股課程」學員)
報名:https://www.80shing.com/register.php?id=3
(過往曾報讀「龔成投資倍升股課程」的學員,報讀進階班,可以享有優惠價$12800,注意:必須出示之前課程的付款證明。請於這次入數後,同時whatsapp上次與今次的入數紙)。
進階班是「投資倍升股課程」的延伸,對象是有基本投資知識,或已完成「投資倍升股課程」的學員。課程內容專業,集中實用層面。
進階班內容涵蓋價值投資法的全面應用,經濟、行業、企業的全面分析,財務報表進階分析,財務數據的運用,進階企業估值模式,全面掌握平貴。
更會用2堂時間講述進攻型股票,這類潛力10倍股的選股技巧,有系統的尋找過程,當中的投資策略,風險控制。
進階班9成以上內容,從未出現在本人過往的書及課程中,都是從未曝光的不傳投資秘技(之後亦不會出書公開),因為當一個投資方法太多人知,就會開始失效,就會由高回報跌至一般回報。
學員完成課程後,能掌握專業的投資技巧,大幅提升投資實力,投資回報進一步提高!
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以下是課程的詳細內容:
【倍升股進階課程】
第一課:必需掌握的經濟與行業關鍵
--股票與企業概念
--重要經濟數據講述與分析技巧
--如何用2個簡單指標,成功捕捉大市近20年的4次低位
--如何簡單判斷,大市處明顯貴的水平
--利率與樓市的關係
--利率與股市的關係
--孳息率倒掛分析與短期債息分析加減息
--重要行業結構講述與分析技巧
--各行業影響企業價值因素
--行業獨有關鍵分析位
--價值投資者必需掌握的行業進階分析技巧
--銀行業息差、壞賬、資本充足比率等分析技巧
--保險業浮存金、內含價值等估值概念
--博彩業的淨贏率及中場等分析指標
--地產業的土地儲備與凈資產價值估值法
--波特五力分析模型
--利用波特模型作行業與企業分析
--套戥概念簡介
--60大行業結構、特性、增長力、投資關鍵位(8頁紙詳細列表)
第二課:企業價值與高息股投資術
--企業價值與營運概念
--盈利與價值基本關係與計算
--再投資與增長對價值影響的計算
--高增長與企業市盈率的關係計算
--超實用價值投資網操作及選股
--利用網站快速為企業優質度評分
--利用網站為企業進行快速估值
--避開假高息股陷阱
--尋找8%高息股投資術
--推介多隻8%-10%優質高息股
--分析收息股技巧與入市策略
--收息股矩陣評估法
--收息股賺倍計回報術
--收息股循環投資術
--平買高息股技巧
--尋找潛力收息股技巧
第三課:活用財務比率尋寶術
--財務報表項目6大分類及列表
--損益表附註分析技巧
--資產負債表附註分析技巧
--學習填寫報表互動圖與比率應用
--負債年期息率與資產拆解分析
--24大財務比率柝解與應用
--善用財務比率選股與分析企業
--應收賬、應付賬、存貨的分析技巧
--生意完整週期圖分析與應用
--利用生意週期分析企業質素與營運現金
--現金轉換週期計算
--企業現金分析及評估方法
--杜邦分析法計算與應用
--4大財務報表關聯性全面拆解
--超實用24大財務比率分析與應用(4頁紙詳細列表)
第四課:年報拆解技巧進階
--現金流量表全面拆解
--應收賬及存貨如何影響現金流
--現金流入賬模式
--資本開支概念與分析
--現金流象限圖分析法
--從象限將企業歸為8大類
--8大類企業拆解特性列表
--分析股東權益變動表
--保留盈餘分析
--從保留盈餘比較法去分析企業質素
--較複雜的企業財務報表分析
--擁物業重估的企業估值
--銀行股損益表、資產負債表分析技巧
--銀行多個業務拆解及分析方法
--銀行壞賬與減值撥備分析
--企業年報實例分析
第五課:尋找資產隱藏型企業秘技
--附屬、聯營、合營入賬模式
--拆解綜合企業的年報
--附屬公司如何扭曲財務比率
--聯營、合營公司如何扭曲財務比率
--如何尋找資產隱藏型企業
--資產隱藏型企業年報分析
--尋找被市場低估的資產隱藏型企業
--尋找資產隱藏型企業的指標
--介紹一間資產隱藏型企業
--如何分析隱藏資產的實質價值
--問題企業的年報
--如何避開問題企業
--問題企業細節位分析
--如何分析一份物業估值報告
--計算物業估值的方法
--如何分析地產股的物業價值有無誇大
第六課:利用平貴把握最佳買賣時機
--企業價值概念
--如何分辨企業總價值與企業內在價值
--安全邊際與平貴概念
--不同類別企業的估值方法
--較常用及核心的估值法
--現金流折現法
--市盈率估值法
--估值法的簡易應用
--市盈增長率
--市賬率估值法
--股息折現法與股息率評估法
--簡易評估收息股平貴方法
--資本化法
--市場法
--重估淨資產估值法
--淨資產價值法
--輔助估值模式
--利用輔助估值去計算福壽園隱藏價值
第七課:必學18種企業估值模式
--如何利用多種估值法配合運用
--企業總價值與內在價值的應用與估值角度
--如何計算特別資產的價值
--未有盈利的企業估值概念
--市銷率估值法
--EV相關估值法
--EV / Sales估值法
--經營現金溢利EBITDA的應用與限制
--資產及折舊較大企業的估值模式
--EV / EBITDA估值法
--如何從企業總價值推算內在價值
--如何多角度計算賭業股的價值
--保險企業的估值模式
--市涵率估值法
--市評率估值法
--分類加總估值法
--18大估值法的應用與限制
--18大估值法公式、應用、特性、限制詳細列表
第八課:實用大行報告尋寶術
--利用學報告,提升投資實力至入門級分析員水平
--免費尋找大行報告(分析企業的研究報告)的途徑
--尋找擁詳細企業分析報告
--從分析報告中,得出有用的行業統計、企業研究
--利用報告圖表與數據,作出有用的推論
--從大行報告中,學懂專業的分析企業方法
--報告常用財務數據及字眼解讀
--報告常用分析指標如滾動市盈率、前瞻市盈率
--報告常用分析圖:PE band、PB band、估值指標走勢圖
--如何在報告尋找有用的企業估值及預測財務數據
--推論報告裡,企業估值的合理性,以及如何調整
--應用課堂所學的企業分析、估值方法,去閱讀分析報告及作出獨立判斷
--學習專業報告的企業估值模式
--這類分析報告如何為潛力企業進行估值
--自行寫股票研究報告的技巧
--學習分析企業的角度與重點位
第九課:10倍股選股術(上)
--不同類別10倍股的投資策略
--進攻型10倍股選股術
--成就10倍股的4大類別
--10倍股的34個企業特質
--尋10倍股6大選股法
--詳細講述6大選法及運用技巧
--利用程式去尋找10倍股的方法
--利用指數去尋找10倍股的方法
--潛力股大師選股15個要點
--利用分析大環境去投資10倍股
--利用評分的模式去尋找10倍股
--講述多個2020年代大環境潛力股
(部分內容要點不便公開,上課才會講述)
第十課:10倍股選股術(下)
--多種10倍股的選股技巧
--如何善用危機去尋找10倍股
--環境危機型10倍股的發掘模式
--企業危機型10倍股的發掘模式
--泡沫價值投資法的選股法
--利用泡沫價值投資法創造10倍股
--掌握泡沫4個階段並有效運用
--索羅斯泡沫投資法
--10倍股的投資技巧及買賣策略
--利用或然率及期望值計算投資10倍股
--以投資值博率計算10倍股風險與回報
--利用多種情況分析法投資10倍股
--各類10倍股的選股過程
(部分內容要點不便公開,上課才會講述)
進階班9成以上內容,從未出現在本人過往的書及課程中,都是從未曝光的不傳投資秘技(之後亦不會出書公開),因為當一個投資方法太多人知,就會開始失效,就會由高回報跌至一般回報。
所有進階班學員,都會得到由價值投資網站,送贈的6個月「進階版」操作版面,大大增加選股、企業優質度分析、企業估值的速度。
完成課程後,你會掌握:
☆更有效利用現時經濟數據作分析
☆掌握各行業特點以作投資
☆選8%-10%高息股技巧
☆深入利用財務報表選優質企業
☆全面利用財務數據分析企業質素
☆多種必學企業進階估值技巧
☆利用估值更有效掌握平貴買賣價
☆活用大行報告尋優質股
☆提升投資實力至入門級分析員水平
☆自行尋找10倍股的方法
☆10倍股的投資策略
【倍升股進階課程】(共30小時)(共10堂)
日期:2022年5月20, 27日
及6月10, 17, 24日
及7月8, 15, 22, 29日
及8月5日(逢星期五)
時間:1900-2200
地點:灣仔
費用:$18800(新學員)
費用:$12800(讀過「龔成投資倍升股課程」學員)
報名:https://www.80shing.com/register.php?id=3
(過往曾報讀「龔成投資倍升股課程」的學員,報讀進階班,可以享有優惠價$12800,注意:必須出示之前課程的付款證明。請於這次入數後,同時whatsapp上次與今次的入數紙)。
角速度公式證明 在 數學老師張旭 Facebook 的精選貼文
【為什麼學微積分要先學極限?】
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微積分是一門關於微分與積分的學問,微分是探究瞬間變化程度的學問,積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率(瞬時速度),那就需要微分;又例如計算一區域在地圖上的面積,那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動,又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形,那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積;但是,一般而言,運動物體不會是等速度運動,而地圖上的區域大多是不規則的,因此,微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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不過,既然是要學「微分」和「積分」,那關「極限」什麼事呢?是這樣的,在有微積分以前,人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度,也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題,我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索,看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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就瞬時速度而言,我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度,也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想,一個正在用不規律速度行駛的車子,他前進的速度本來就會有時快、有時慢,那麼,我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢?如果這個量值越大,就代表速度越快,反之代表速度越慢?這乍聽下來好像可行,但在還沒有微積分的時代裡,若再進一步細想下去,就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度,就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置;然而,瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說,實作上在求瞬時速度的時候,會遇到一個難題,那就是只有一個時間的位置,所以無法求速度。
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為了解決這個問題,我們退而求其次地,在所關心的時間點以外,物體運動的時間範圍內,離所關心的時間點附近再取一個時間點,然後用這兩個時間點的速度,來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字,顯而易見地,就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度,因為只要多取出來的時間點不一樣,就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用,而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡,我們必須引進一個新的概念,那就是「極限」。
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既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度,那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢?這是一個相當好的想法,雖然可能還有很多細節需要處理,但基本上這個逼近的動作,已經解決了算瞬時速度的問題,這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣,都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣(當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的,而這部分確實後來的數學家有順利解決,我們在此暫不討論,也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章)。
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因此,後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度,而這個方案裡面的計算方式,在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後,就發展成了日後我們講的微分,而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念,其動作最後也就是我們講的「取極限」,所以為什麼在學微分之前要先學極限?因為微分這個動作,其本質就是取極限的過程。
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積分也有類似的過程,為了算不規則的區域面積,我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形(邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點),然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積;但很顯而易見地,這些矩形面積和並非原本要求的區域面積,所以我們就把這些矩形分割得越來越細,只要這些矩形能夠分割得越細,他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近,姑且不論其實作的細節,這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程,也用到了「極限」的概念。
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所以如果你打開微積分的課本,卻在一開始看見要學一整章的「極限」時,請不要意外,因為學數學就像蓋一棟樓一樣,你或許期待微積分這棟樓能建得高大,但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基,而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好,後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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而要學習極限,雖然有一段路要走,但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片,如果想從零開始學習微積分的話,可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起,我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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