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課程說明
世界上所有電腦科學、資訊工程、資料管理主修的學生，都在學習電腦科學!
隨著電腦科學的飛速發展，離散數學的重要性則日益彰顯。它為許多資訊學課程提供了數學基礎，包括資料結構、演算法、資料庫理論、形式語言與作業系統等。如果沒有離散數學的相關數學基礎，學生在學習上述課程中，便會遇到較多的困難。
離散數學包含邏輯、證明、遞迴關係、演算法、數論與密碼學、演算法分析、圖形理論、路徑選擇、機率、排列組合、以及其他重要的程式開發演算法! 這堂課會深入淺出探討這些概念，並且用 Python 或JavaScript (二擇一) 來做演算法練習!
在學習這堂課之後，你將能夠:
1. 學會推導邏輯與驗證程式碼邏輯正確性。
2. 用邏輯來證明數學理論，做為資料科學的的重要演算法基礎。
3. 了解遞迴演算法與遞迴數列關係，準備好你自己回答Coding Interview面試中的問題。
4. 能夠用程式碼表現出「歐幾里得演算法」、「歐拉函數」、「河內塔問題」、「最小公倍數演算法」、「斐波那契數列」、「線性遞迴關係式」、還有其他重要的演算法!
5. 學習數論與集合理論，作為學習質數與密碼學的重要演算法基礎。
6. 學習基本圖形理論，判斷圖形資料結構。
7. 學會圖形演算法，例如「Floyd-Warshall 演算法 (Dynamic Programming)」、「Dijkstra’s Algorithm」、「Depth First Traversal」、「Breadth First Traversal」。
8. 計算離散架構中的排列組合，並了解機率計算方法。
9. 能夠判斷與分析不同的演算法。
10. 用 Python 或 JavaScript 來實現離散數學的演算法與架構!
https://softnshare.com/discrete-math-with-python-and-javascript/
遞迴數列 在 Re: [中學] 遞迴數列證明- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: 標題: [中學] 遞迴數列證明
: 時間: Mon Mar 28 14:58:29 2011
:
: ___ __ __
: 若n屬於正整數，利用遞迴數列關係求証√1+√2+√3+...+√n < 2
:
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 211.79.59.62
: 推 springman :根號 1 + 根號 2 就超過 2 了，題目有錯吧？！ 03/28 15:07
: 推 agga :根號2是在根號1裡面的 03/28 15:09
: → Intercome :恩 不好意思 編輯關係 根號是一層包一層的 03/28 15:14
: 推 springman :哦、原來如此，謝謝說明 03/28 15:19
這個"級數"想當年我也想了很久,是在學校教√(1+√(1+√(1+...)))之後沒多久.
當時有用計算機算過,其值大約收斂至1.7579327566...
當時想證明 √(1+√(2+√(3+...+√(n)))) < 2
想了將近兩個星期才想出要用什麼方式證明,不到5分鐘就搞定!
我的作法是:把 2 化成左式的格式: 2 = √(1+√(2+√(3+...+√T_n)))
然後證明 T_n > n
T_1=4, T_2=9, T_3=49, ... T_(n+1) = (T_n - n)^2
用數學歸納法
T_1=4 > 1
又 T_(k+1) = (T_k -k)^2 ＝ (T_k)^2 -2 k T_k + k^2
＝ T_k ( T_k - 2k ) + k^2
卡住了? 沒關係, 改證 T_n ≧ 2n + 2
T_1=4 ≧ 2 * 1 + 2
又 T_(k+1) = (T_k -k)^2 ＝ (T_k)^2 -2 k T_k + k^2
＝ T_k ( T_k - 2k ) + k^2
≧ T_k ( 2 ) + 2
用數學歸納法 T_n ≧ 2n+2 > n
另:其實當年我所想的"怪題"不只這個,此題還有"推廣"...
例如:
把加號改為乘號:
√(1*√(2*√(3*...*√(n)))) 是否收斂? 若是, 如何證明?
甚至於:把1, 2, 3...改成其它數列, 譬如說 2^n, n^2 或 Pn(第n個質數)
即:
√(2+√(4+√(8+...+√(2^n))))
√(2*√(4*√(8*...*√(2^n))))
√(1+√(4+√(9+...+√(n^2))))
√(1*√(4*√(9*...*√(n^2))))
及:
√(2+√(3+√(5+√(7+...+√(Pn)))))
√(2*√(3*√(5*√(7*...*√(Pn)))))
其實,
4 8 2^n
√(1*√(2*√(3*...*√(n)))) = √1 * √2 * √3 *... * √(n)))
log 1 log 2 log 3 log n
要取對數log(以2為底) = ─── + ─── + ─── + ... + ───
2^1 2^2 2^3 2^n
1 2 3 n
≦ ── + ── + ── + ... + ──
2^1 2^2 2^3 2^n
(後面這個同時也是√(2*√(4*√(8*...*√(2^n))))取對數log(以2為底)的結果)
後面這個級數有公式(我忘了要如何導出公式,也找不到該公式>_<;)
但是當n→∞時上式是收斂的,即原式≦一個常數
而2^n, n^2的加號,乘號的證法大約相當於上面兩個證法(加號、乘號方法不同)
但它們都是收斂的,且收斂的數並不大,例如:
√(1^2+√(2^2+√(3^2+√...+√(N^2+√(...))))) 小於2 !! (約為 1.9426554228...)
最好玩的是 Pn, 它不難證但有技巧,須要另一個定理: n與2n之間必有一質數.
可推論 Pn ≦ 2^n
既然2^n(+,*)是收斂的, 那當然Pn也是收斂的...
再推廣:
(一)：
為了方便起見,讓我們定義:
Ｇk(n)=√(1^k+√(2^k+√(3^k+√...+√(N^k))))
及Ｇk = lim(n→∞) Ｇk(n)
用電腦跑了以下的數據:
Ｇ0=1.6180339888...
Ｇ1=1.7579327566...
Ｇ2=1.9426554228...
Ｇ3(1000)=2.1767885971...
Ｇ4(1000)=2.4674045317...
Ｇ5(1000)=2.8234815128...
Ｇ6(1000)=3.2559047055...
Ｇ7(1000)=3.7777293308...
Ｇ8(1000)=4.4045817067...
其中Ｇ3～Ｇ8在 n = 25 時就已收斂至上列各數值了...
想問各位高手的是,是否對任意的正整數(含0) k ,
Ｇk都是存在(收斂)的嗎?? 若將 k 擴域為含0正實數,結果呢??
(二)：
k
以下的 √(n) 表示對 n 開 k 次方根,即 n^(1/k) ...
定義:
k k k k k
Ｈk(n)=√(1^k+√(2^k+√(3^k+√...+√(N^k))))
及Ｈk = lim(n→∞) Ｈk(n)
用電腦跑了以下的數據:
Ｈ2=Ｇ1=1.94265542276398739...
Ｈ3(1000)=1.47876756975755750...
Ｈ4(1000)=1.32570677390967455...
Ｈ5(1000)=1.24872966410654559...
Ｈ6(1000)=1.20195838018005489...
Ｈ7(1000)=1.17029992953725631...
Ｈ8(1000)=1.14734196843445051...
Ｈ9(1000)=1.12988529975635458...
...
Ｈ16(1000)=1.0710756108...
其中Ｈ3～Ｈ9在 n 不到 25 時就已收斂至上列各數值了...
想問各位高手的是,是否對任意大於 1 的 k ,
Ｈk都是存在(收斂)的嗎?? 若將 k 擴域為大於 1 的正實數,
結果又會是如何呢??
P.S.:以下是電腦RUN出來的結果:
H1.1(1000) = 12.53410585557828590
H1.2(1000) = 6.13604718511129448
H1.3(1000) = 4.28183589687729080
H1.4(1000) = 3.41158081093683555
H1.5(1000) = 2.90808856305886036
H1.6(1000) = 2.58021018164883998
H1.7(1000) = 2.34977778857460427
H1.8(1000) = 2.17897221960723880
H1.9(1000) = 2.04728926381158334
H2.0(1000) = 1.94265542276398739
H2.1(1000) = 1.85750102827822843
H2.2(1000) = 1.78684000215898997
H2.3(1000) = 1.72725445822784638
H2.4(1000) = 1.67632314342543058
H2.5(1000) = 1.63228282477950049
H2.6(1000) = 1.59381893361093989
H2.7(1000) = 1.55993135720569942
H2.8(1000) = 1.52984568895849260
H2.9(1000) = 1.50295293453370525
H3.0(1000) = 1.47876756975755750
H3.1(1000) = 1.45689774804368154
H3.2(1000) = 1.43702374023264418
H3.3(1000) = 1.41888206945652522
H3.4(1000) = 1.40225365972820962
H3.5(1000) = 1.38695486126584230
H3.6(1000) = 1.37283056934463784
H3.7(1000) = 1.35974888804698328
H3.8(1000) = 1.34759694867342899
H3.9(1000) = 1.33627760131768917
H4.0(1000) = 1.32570677390967455
H4.1(1000) = 1.31581134661751609
H4.2(1000) = 1.30652742787750617
H4.3(1000) = 1.29779894613920717
H4.4(1000) = 1.28957649180391198
H4.5(1000) = 1.28181635893782894
H4.6(1000) = 1.27447974763745815
H4.7(1000) = 1.26753209645065515
H4.8(1000) = 1.26094252074741938
H4.9(1000) = 1.25468333791538415
H5.0(1000) = 1.24872966410654559
H5.1(1000) = 1.24305907026146037
H5.2(1000) = 1.23765128748928995
H5.3(1000) = 1.23248795373837009
H5.4(1000) = 1.22755239516595923
H5.5(1000) = 1.22282943679304497
H5.6(1000) = 1.21830523797554104
H5.7(1000) = 1.21396714898655412
H5.8(1000) = 1.20980358562383778
H5.9(1000) = 1.20580391926165534
H6.0(1000) = 1.20195838018005489
H6.1(1000) = 1.19825797234503848
H6.2(1000) = 1.19469439809446364
H6.3(1000) = 1.19125999141796296
H6.4(1000) = 1.18794765871362517
H6.5(1000) = 1.18475082606676499
H6.6(1000) = 1.18166339223254146
H6.7(1000) = 1.17867968661905676
H6.8(1000) = 1.17579443166461946
H6.9(1000) = 1.17300270908510336
H7.0(1000) = 1.17029992953725631
H7.1(1000) = 1.16768180530342495
H7.2(1000) = 1.16514432565413363
H7.3(1000) = 1.16268373458865424
H7.4(1000) = 1.16029651069126442
H7.5(1000) = 1.15797934887326041
H7.6(1000) = 1.15572914379875040
H7.7(1000) = 1.15354297481646070
H7.8(1000) = 1.15141809224079537
H7.9(1000) = 1.14935190484365629
H8.0(1000) = 1.14734196843445051
H8.1(1000) = 1.14538597541961393
H8.2(1000) = 1.14348174524513911
H8.3(1000) = 1.14162721563625926
H8.4(1000) = 1.13982043455779887
H8.5(1000) = 1.13805955282693838
H8.6(1000) = 1.13634281731739616
H8.7(1000) = 1.13466856470043682
H8.8(1000) = 1.13303521567377778
H8.9(1000) = 1.13144126963447979
H9.0(1000) = 1.12988529975635458
H9.1(1000) = 1.12836594843637171
H9.2(1000) = 1.12688192307805899
H9.3(1000) = 1.12543199218302056
H9.4(1000) = 1.12401498172448562
H9.5(1000) = 1.12262977177929439
H9.6(1000) = 1.12127529339695505
H9.7(1000) = 1.11995052568640214
H9.8(1000) = 1.11865449310287568
H9.9(1000) = 1.11738626291894483
文末贅語:
這些都是當年曾經玩過的東東(當然不只這些),
我的電腦內當年PO文的有記錄的文件最早的日期居然是1999年11月12號!!(好遙遠的日子)
真是歲月不待人、歲月催人老...>_<;
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話說有一天 問 說： "你知不知道 鍾欣愉 是誰？"
"當然知道啊！ 粉紅豬 嘛，胖胖的..." "那個是 鍾欣凌 !!"
"要不然就是那個 威寶妹 ..." "那個是 鍾欣怡 !!"
"難不成是那個 好傻好天真 ..." "那個是 鍾欣桐 !!"
"那 鍾欣愉 她到底是誰？" "她是 莎莎公主 !!"
"厚，她們的老木怎麼生這麼多藝人哪？" ╧══╧ ︵＼(／‵Д′＼)／︵╧══╧
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◆ From: 112.105.241.206
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